2024年高中数学(必修第一册)5.1任意角和弧度制精品讲义(学生版+解析)

这是一份2024年高中数学(必修第一册)5.1任意角和弧度制精品讲义(学生版+解析)，共14页。
1 任意角
① 角的定义与分类
(1) 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.
如下图，一条射线的端点是O，从起始位置OA按逆时针旋转到终止位置OB，形成角α，射线OA , OB分别是角α的始边和终边.

(2) 逆时针旋转为正角，顺时针旋转为负角，不旋转为零角.
如下图 α=210° , β=−150° , γ=−660°.
② 终边相等的角
与角α终边相同的角的集合为β β=α+k⋅ 360∘ , k∈ Z}.
PS表达式中的k∈ Z不能漏！
③ 象限角的概念
角α的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角.
PS α终边落在坐标轴上，不能称α为象限角.
2 弧度制
① 弧度的定义
弧长等于半径时，所对的圆心角为1弧度的圆心角，记作1rad.
即:半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角为α rad，那么
|α|=lr
② 角度与弧度的转化
180°=π⇒1∘=π180≈ 0.01745 1=180π°≈ 57.30∘
③ 特殊角的角度与弧度对应表
④ 弧长与扇形面积计算公式
弧长l=|α|∙R； 扇形面积S=12 lR=12 αR2 ，(R为圆的半径)
注 α为弧度制.
【题型一】角的集合表示及象限角的判定
【典题1】 已知集合M={锐角}，N={小于90∘的角}，P={第一象限的角}，下列说法：
① P⊆N ， ② N∩P=M ， ③ M⊆P， ④ (M∪N)⊆P.
其中正确的是 ．

【典题2】 写出如图所示阴影部分的角α的范围．
【典题3】 若α是第三象限的角，则α3可能是第 象限角.
【题型二】扇形的弧长及面积公式
【典题1】 −3弧度的角终边在第 象限.
【典题2】 已知2rad的圆心角所对的弦长为2，求这个圆心角所对的弧长．
【典题3】 已知一扇形的中心角是α(α>0)，所在圆的半径是R．
(1)若α=60∘，R=10cm，求扇形的弧所在的弓形面积；
(2)若扇形的周长是一定值c(c>0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？
巩固练习
1(★) 下列说法正确的是( )
A．终边相同的角相等B．相等的角终边相同
C．小于90°的角是锐角D．第一象限的角是正角
2(★) －870°的终边在第几象限 ( )
A．一 B．二 C．三 D．四
3(★) 2100°化成弧度是 ( )
A．353πB．10πC．283πD．253π
4 (★★) 已知α是第二象限角，则α2是( )
A．锐角B．第一象限角
C．第一、三象限角D．第二、四象限角
5 (★★) 已知圆O与直线l相切于点A，点P , Q同时从A点出发，P沿着直线l向右、Q沿着圆周按逆时针以相同的速度运动，当Q运动到点A时，点P也停止运动，连接OQ , OP(如图)，则阴影部分面积S1 , S2的大小关系是( )
A．S1=S2B．S1≤S2 C．S1≥S2 D．先S1S2
6 (★★) 与－2014°终边相同的最小正角是 ．
7 (★★) 中国扇文化有着深厚的文化底蕴，文人雅士喜在扇面上写字作画．如图，是书画家唐寅(1470－1523)的一幅书法扇面，其尺寸如图所示，则该扇面的面积为 cm2．

8 (★★) 已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2cm，圆心角为2π3的扇形，则此圆锥的高为 cm．
挑战学霸
河南大学自招真题
我们知道当12点时，闹钟的3个指针完全重合，请说出除了12点外，是否还有其他时间，3针完全重合.如有请举出；若无，给出理由.
角度
0∘
30∘
45∘
60∘
90∘
120∘
135∘
150∘
180∘
270∘
360∘
弧度
0
π6
π4
π3
π2
2π3
3π4
5π6
π
3π2
2π
任意角和弧度制
1 任意角
① 角的定义与分类
(1) 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.
如下图，一条射线的端点是O，从起始位置OA按逆时针旋转到终止位置OB，形成角α，射线OA , OB分别是角α的始边和终边.

(2) 逆时针旋转为正角，顺时针旋转为负角，不旋转为零角.
如下图 α=210° , β=−150° , γ=−660°.
② 终边相等的角
与角α终边相同的角的集合为β β=α+k⋅ 360∘ , k∈ Z}.
PS表达式中的k∈ Z不能漏！
③ 象限角的概念
角α的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角.
PS α终边落在坐标轴上，不能称α为象限角.
2 弧度制
① 弧度的定义
弧长等于半径时，所对的圆心角为1弧度的圆心角，记作1rad.
即:半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角为α rad，那么
|α|=lr
② 角度与弧度的转化
180°=π⇒1∘=π180≈ 0.01745 1=180π°≈ 57.30∘
③ 特殊角的角度与弧度对应表
④ 弧长与扇形面积计算公式
弧长l=|α|∙R； 扇形面积S=12 lR=12 αR2 ，(R为圆的半径)
注 α为弧度制.
【题型一】角的集合表示及象限角的判定
【典题1】 已知集合M={锐角}，N={小于90∘的角}，P={第一象限的角}，下列说法：
① P⊆N ， ② N∩P=M ， ③ M⊆P， ④ (M∪N)⊆P.
其中正确的是 ．
【解析】锐角的范围为0°