2024年高中数学(必修第一册)3.5.1二次方程根的分布问题精品讲义(学生版+解析)

这是一份2024年高中数学(必修第一册)3.5.1二次方程根的分布问题精品讲义(学生版+解析)，共13页。
1 概念
二次方程ax2+bx+c=0的根(即二次函数y=ax2+bx+c零点)的分布问题.
2 常见题型
① 两根与k的大小比较(以a>0为例)
② 两根分别在区间(m , n)外
③ 根在区间上的分布(以a>0为例)
【题型一】两根与k的大小比较
【典题1】若关于x的二次方程mx2+2m−1x−m+2=0(m>0)的两个互异的实根都小于1，则实数m的取值范围是 ．

【典题2】已知二次方程2m+1x2−2mx+m−1=0有一正根和一负根，求实数m的取值范围.
【题型二】根在区间上的分布
【典题1】已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0 , 若方程有两根，其中一根在区间(－1 , 0)内，另一根在区间(1 , 2)内，则m的范围是 ．
【典题2】方程mx2−(m−1)x+1=0在区间(0 , 1)内有两个不同的根，则m的取值范围为 ．

【典题3】已知方程x2−2a+1x+a(a+1)=0的两根分别在区间(0 ,1)，(1 ,3)之内，则实数a的取值范围为 ．
【题型三】两根分别在区间(m,n)外
【典题1】已知关于x的方程ax2+x+2=0的两个实根一个小于0，另一个大于1，则实数a的取值范围是 ．

巩固练习
1(★)已知关于x的方程x2+kx+k2+k－4=0有两个实数根，且一根大于2，一根小于2，则实数k的取值范围为 ．
2(★)方程x2−2−ax+5−a=0的两根都大于2，则实数 a 的取值范围是 ．
3(★★)若方程7x2−m+13x−m−2=0的一个根在区间(0 , 1)上，另一根在区间(1 , 2)上，则实数m的取值范围为 ．
4(★★)关于x的方程x2−(a−1)x+4=0在区间[1 , 3]内有两个不等实根，则实数a的取值范围是 ．
5(★★)若关于x的一元二次方程x2+ax−2=0有两个不相等的实根x1 , x2，且x11，则实数a的取值范围是 ．
6 (★★★) 求实数m的范围，使关于x的方程x2+2(m−1) x+2m+6=0.
(1)有两个实根，且一个比2大，一个比2小；
(2)有两个实根α , β，且满足00m0△=(2m−1)2−4m(−m+2)>01−2m2m0，(∗)
(m>0开口向上，∆>0有两根，1−2m2m0确定最大根小于1)
即m>0m3+74m>14m>−12 求得m>3+74，
即m的范围为(3+74，+∞)，故答案为：(3+74，+∞)．
【点拨】思考下，要确保题意成立，(∗)中满足的四项分别属于二次函数的什么性质呢？不要其中一项是否可以，又为什么呢(结合图像)？确定仅满足这四项就行了么？
这属于对题意的必要性与充分性的思考，做到“等价转化”！
【典题2】已知二次方程2m+1x2−2mx+m−1=0有一正根和一负根，求实数m的取值范围.
【解析】方法一
当2m+1>0时，若要满足题意，必须f0