2024年高中数学(必修第一册)3.5.4恒成立和存在性问题精品讲义(学生版+解析)

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1 恒成立和存在性问题
(1) 单变量的恒成立问题
① ∀x∈D , fxa；
③ ∀x∈D , fx0;

(2) 单变量的存在性问题
① ∃x0∈D，使得 fx0a；
③ ∃x0∈D，使得 fx00;

(3) 双变量的恒成立与存在性问题
① ∀x1∈D , ∃x2∈E，使得 fx1gxmin;
③∀x1∈D , ∀x2∈E , fx10对一切x∈(−∞ , 1]上恒成立，则实数a的取值范围是 ．
2(★★) 若不等式2x−1>m(x2−1)对满足|m|≤2的所有m都成立，则x的取值范围是 ．.
3(★★) 若不等式3x2−lgax0且a≠1，函数fx=ax+a−xx∈－1 , 1，gx=ax2−2ax+4−a(x∈[−1 , 1])．
(1)求f(x)的单调区间和值域；
(2)若对于任意x1∈[−1 , 1]，总存在x0∈[−1 , 1]，使得g(x0)=f(x1)成立，求a的取值范围；
(3)若对于任意x0∈[−1 , 1]，任意x1∈[−1 , 1]，都有g(x0)≥f(x1)恒成立，求a的取值范围．
恒成立和存在性问题
1 恒成立和存在性问题
(1) 单变量的恒成立问题
① ∀x∈D , fxa；
③ ∀x∈D , fx0;

(2) 单变量的存在性问题
① ∃x0∈D，使得 fx0a；
③ ∃x0∈D，使得 fx00;

(3) 双变量的恒成立与存在性问题
① ∀x1∈D , ∃x2∈E，使得 fx1gxmin;
③∀x1∈D , ∀x2∈E , fx15+172或x5+172 或 x0 , f(x)=x2−ax , 当x∈(−1 , 1)时，有f(x)121a>12或a=1
(不要漏了a=1，因为a>0，gx=ax不一定是指数函数)
又a>0 , a≠ 1，解得a 12 −34．
故答案为：(−34，+∞)．
2(★★) 若不等式2x−1>m(x2−1)对满足|m|≤2的所有m都成立，求x的取值范围.
【答案】 7−12