2024年高中数学(必修第一册)1.4-1.5充分条件与必要条件、全称量词和存在量词(学生版+解析)

这是一份2024年高中数学(必修第一册)1.4-1.5充分条件与必要条件、全称量词和存在量词(学生版+解析)，共13页。

1充分条件与必要条件
概念
一般地，”若p，则q”为真命题，是指以p为已知条件通过推理可以得出q.
这时，我们就说，由p可以推出q，记作p⇒q，并且说，p是q的充分条件，q是p的必要条件.
如果”若p，则q”和它的逆命题”若q，则p”均是真命题，
即既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q，
此时p即是q的充分条件也是必要条件，我们说p是q的充要条件.
② p是q的______条件(填写是否充分、必要)
完成此题型，可思考
从左到右，若p⇒q则充分，若p⇏q则不充分；
从右到左，若q⇒p则必要，若q⇏p则不必要.
Eg：帅哥是男人的______条件.
从左到右，显然若A是个帅哥，那他肯定是男人，即充分；
从右到左，若B是男人，他不一定是帅哥了，即不必要；故答案是充分不必要.
③ 从集合的角度理解－－小范围推得出大范围
(1) 命题p、q对应集合A、B，
若A⊆B，则p⇒q，即p是q的充分条件；若A⊈B，则p⇏q，即p 不是q的充分条件.
备注 若A⊆B，则称A为小范围，B为大范围.
Eg1：帅哥是男人的______条件.
设集合A={帅哥}，集合B={男人}，显然A⊆B，{帅哥}是小范围，推得出{男人}这个大范围，即充分条件；故答案是充分不必要条件.
Eg2：x>1是x>2的不充分必要条件，因为{x|x>2}⊊{x|x>1}.
(2) 结论
① 若p是q的充分不必要条件，则A⊊B；② 若p是q的必要不充分条件，则B⊊A；
③ 若p是q的充分条件，则A⊆B； ④ 若p是q的必要条件，则B⊆A；
⑤ 若p是q的充要条件，则A=B.
2 全称量词与存在量词
① 全称量词
(1) 短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“∀”表示．
(2) 含有全称量词的命题称为全称命题．
全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”，记作∀ x∈M , p(x)．
Eg：对所有末位数是0的数能被5整除，∀x>0, x+1x≥2.
② 存在量词
(1) 短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“∃”表示．
(2) 含有存在量词的命题称为特称命题．
特称命题“存在M中的一个x，使p(x)成立”，记作∃ x∈M , p(x).
Eg：至少有一个质数是偶数，∃x>0, x2−2x+31, x2>1的否定是∃ x>1,x2≤1.
∀ x>1, x2>1是真命题，∃ x>1,x2≤1是假命题.

【题型一】 充分条件与必要条件
【典题1】 设a>0 , b>0，则“a+b≥2”是“a2+b2≥2”的 ( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

【典题2】 若a , b是正整数，则a+b>ab充要条件是( )
A．a=b=1B．a , b有一个为1
C．a=b=2D．a>1且b>1

【典题３】 若“x2−3x−4>0”是“x2−3ax−10a2>0”的必要不充分条件，求实数a的取值范围.
巩固练习
1 (★★) 已知a>0 , b>0 , m∈R , 则“a≤b”的一个必要不充分条件是 ( )
A．am≤bm B．am2≤bm2 C．am2≤bm2 D．a+m2≤b+m2
2 (★★★) 设a , b∈R，命题p：a>b，命题q：a|a|>b|b|，则p是q的 ( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
3 (★★) 在关于x的不等式ax2+2x+1>0中，“a>1”是“ax2+2x+1>0恒成立”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4 (★★★) 已知命题p：xx2； (2)所有可以被5整除的整数，末位数字都是0；
(3)∃x0∈R , x02－x0+1≤0； (4)存在一个四边形，它的对角线互相垂直．
【典题2】若命题“∀x∈[1 , 4]时，x2－4x－m≠0”是假命题，则m的取值范围 ．
巩固练习
1 (★) 命题“∃x∈R , x2－x+11是x>2的不充分必要条件，因为{x|x>2}⊊{x|x>1}.
(2) 结论
① 若p是q的充分不必要条件，则A⊊B；② 若p是q的必要不充分条件，则B⊊A；
③ 若p是q的充分条件，则A⊆B； ④ 若p是q的必要条件，则B⊆A；
⑤ 若p是q的充要条件，则A=B.
2 全称量词与存在量词
① 全称量词
(1) 短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“∀”表示．
(2) 含有全称量词的命题称为全称命题．
全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”，记作∀ x∈M , p(x)．
Eg：对所有末位数是0的数能被5整除，∀x>0, x+1x≥2.
② 存在量词
(1) 短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“∃”表示．
(2) 含有存在量词的命题称为特称命题．
特称命题“存在M中的一个x，使p(x)成立”，记作∃ x∈M , p(x).
Eg：至少有一个质数是偶数，∃x>0, x2−2x+31, x2>1的否定是∃ x>1,x2≤1.
∀ x>1, x2>1是真命题，∃ x>1,x2≤1是假命题.

【题型一】 充分条件与必要条件
【典题1】 设a>0 , b>0，则“a+b≥2”是“a2+b2≥2”的 ( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【解析】∵a+b≥2可知(a+b)22≥2，而a2+b2≥(a+b)22，∴a2+b2≥2．
反之不成立，例如a=3，b＝0，满足a2+b2≥2，但a+b≥2不成立.
∴“a+b≥2”是“a2+b2≥2”的充分不必要条件．故选：A．
【点拨】
① 以“a+b≥2”为已知，可以推出“a2+b2≥2”这个结论，所以“a+b≥2”是“a2+b2≥2”的充分条件；若要判断某个命题是对的，只能去证明它；
② 证明“a2+b2≥2”推不出“a+b≥2”，即判断某个命题是错的，举一个反例就行，这点做非解答题时多多注意，可称之为"取特殊值否定法"；
③ 思考：本题可从集合的角度去判断么？
【典题2】 若a , b是正整数，则a+b>ab充要条件是( )
A．a=b=1B．a , b有一个为1
C．a=b=2D．a>1且b>1
【解析】∵a+b>ab，
∴ab−a−b0”的必要不充分条件，求实数a的取值范围.
【解析】由x2－3x－4>0得x>4或x4或x0得(x+2a)(x－5a)>0，
若a＝0，则不等式的解为x≠0，此时不等式的解集为为B＝{x|x≠0}，
若a>0，则不等式的解集为B＝{x|x>5a或x0”的必要不充分条件，则B⊊A，
(从集合的角度去思考充分必要条件问题)
则当a＝0时，不满足条件．
当a>0时，则满足5a≥4−2a12，得a≥45，
当a0 , b>0 , m∈R , 则“a≤b”的一个必要不充分条件是 ( )
A．am≤bm B．am2≤bm2 C．am2≤bm2 D．a+m2≤b+m2
【答案】 C
【解析】由已知可得：A是既不充分也不必要条件；B是充分不必要条件；C是必要不充分条件；D是充要条件．故选：C．
2 (★★★) 设a , b∈R，命题p：a>b，命题q：a|a|>b|b|，则p是q的 ( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】 C
【解析】若a>b≥0，a2>b2即有a|a|>b|b|；
若a≥0>b，显然有aa>0>b|b|；
若0>a>b，则a2b|b|，
故a>b可以推出a|a|>b|b|．
若a|a|>b|b|，当bb；
如果a－b2，因而a>b；
当b≥0时，a>0，此时有a2>b2，
因而a>b，故a|a|>b|b|可以推出a>b．
故选：C．
3 (★★) 在关于x的不等式ax2+2x+1>0中，“a>1”是“ax2+2x+1>0恒成立”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】 C
【解析】在关于x的不等式ax2+2x+1>0中，
当a>1时，△=4－4a1”⇒“ax2+2x+1>0恒成立”，
当△=4－4a1，
∴“ax2+2x+1>0恒成立”⇒“a>1”，
∴“a>1”是“ax2+2x+1>0恒成立”的充要条件．
故选：C．
4 (★★★) 已知命题p：x