2024年高中数学(必修第一册)3.5.3函数的周期性和对称性精品讲义(学生版+解析)

这是一份2024年高中数学(必修第一册)3.5.3函数的周期性和对称性精品讲义(学生版+解析)，共14页。学案主要包含了函数的周期性，函数的对称性，取特殊值排除法等内容，欢迎下载使用。
一 函数的周期性
1 概念
对于函数y=f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f(x+T)=f(x)都成立，那么把函数y=f(x)叫做周期函数，常数T叫做这个函数的周期.
Eg：
上图是三角函数fx=sinx的图像
① 函数图像可看成由红色那段图像玩“分身术”的向两边延申；
② 红色图像的水平长度为AB=2π，它就是函数的最小正周期T，即T=2π；
(思考：4π是周期么)
③ 整个函数，对于任何x，都有f(x+2π)=f(x).
(简单说来，两个自变量相差2π，它们对应的函数值均相等)
下面两个图像也是周期函数的图像！他们的周期是什么？最小正周期呢？

2 常见的结论
① 若f(x+a)=f(x+b) ，则y=f(x)的周期是T=a−b.
② 若f(x+a)=−f(x) ，则y=f(x)的周期是T=2a；(你可证明试试)
③ 若fx+a=1fx，则y=f(x)的周期是T=2a.
二 函数的对称性
1 函数图象自身的对称关系
① 轴对称：若f(x+a)=f(b−x) , 则y=f(x)有对称轴x=a+b2.
② 中心对称：若函数y=f(x)定义域为R，且满足条件 f(a+x)+f(b−x)=c(a , b , c为常数)，则函数y=f(x)的图象关于点(a+b2 , c2)对称.
2 两个函数图象之间的对称关系
① 轴对称
若函数y=f(x)定义域为R，则两函数y=f(x+a)与 y=f(b−x)的图象关于直线x=b−a2对称.
特殊地，函数y=f(a+x)与函数y=f(a−x)的图象关于直x=0对称.
② 中心对称
若函数y=f(x)定义域为R，则两函数y=f(a+x)与y=c−f(b−x)的图象关于点(b−a2 , c2)对称.
特殊地，函数y=f(x+a)与函数y=−f(b−x)图象关于点(b−a2 , 0)对称.
3 周期性与对称性拓展
① 若函数y=f(x)同时关于直线x=a , x=b对称，则函数y=f(x)的周期 T=2|b−a|；特殊地，若偶函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称，则函数y=f(x)的周期 T=2a；
② 若函数y=f(x)同时关于点a , 0 , (b , 0)对称，则函数y=f(x)的周期 T=2|b−a|；
③ 若函数y=fx同时关于直线x=a 对称，又关于点b , 0对称 , 则函数y=f(x)的周期
T=4|b−a|；
特殊地，若奇函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称，则函数y=f(x)的周期 T=4|a|.
【题型一】函数的周期性
【典题1】 设f(x)是周期为4的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)=x(1+x)，则f(−92)=
【典题2】 设偶函数f(x)对任意x∈R，都有f(x+3)=−1f(x)，且当x∈[−3 ,−2]时，f(x)=4x，则f(107.5)= ．
巩固练习
1(★★) 已知定义在R上的奇函数f(x)，满足fx+4=−f(x)，且在[0 , 2]上单调递减，则( )
A．f(8)