2024年高中数学(必修第一册)3.5.5抽象函数精品讲义(学生版+解析)

这是一份2024年高中数学(必修第一册)3.5.5抽象函数精品讲义(学生版+解析)，共15页。
1概念
我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数，题目中往往只给出函数的特殊条件或特征.
2 常见抽象函数模型
【题型一】求值问题
【典题1】已知函数f(x)是定义在(0 ,+∞)上的函数，且对任意x ,y∈(0 ,+∞)，都有f(xy)=f(x)+f(y)，f(2)=1，求f(4) ,f(8).
【典题2】对任意实数x , y，均满足fx+y2=fx+2fy2且f(1)≠0， 则f(2001)=_______.
【题型二】单调性问题
设函数y=f(x)是定义在R+上的函数，并且满足下面三个条件
①对任意正数x , y，都有f(xy)=f(x)+f(y)；②当x>1时，f(x)0且f(2)=1；
(1)试判断函数f(x)的奇偶性；
(2)判断函数f(x)在区间[−4 , 0)∪(0 , −4]上的最大值；
(3)求不等式f(3x−2)+f(x)≥4的解集．
5 (★★★) 已知定义在(0 , +∞)的函数f(x)，对任意的x、y∈(0 , +∞)，都有f(xy)=f(x)+f(y)，且当01时，f(x)0对x∈(−∞ , 1]恒成立，求t的取值范围．
挑战学霸
已知fx是定义在R上不恒为0的函数，满足对任意x , y∈R，fx+y=fx+fy， f(xy)=f(x)f(y)．
(1)求f(x)的零点；
(2)判断f(x)的奇偶性和单调性，并说明理由；
(3)①当x∈Z时，求f(x)的解析式；②当x∈R时，求f(x)的解析式.
特殊模型
抽象函数
正比例函数fx=kx(x≠0)
fx+y=fx+f(y)
幂函数fx=xα
fxy=fxf(y)或fxy=fxfy
指数函数fx=ax (a>0且a≠1)
fx+y=fxf(y)或fx−y=fxfy
对数函数fx=lgax (a>0且a≠1)
fxy=fx+f(y)或fxy=fx−f(y)
抽象函数
1概念
我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数，题目中往往只给出函数的特殊条件或特征.
2 常见抽象函数模型
【题型一】求值问题
【典题1】已知函数f(x)是定义在(0 ,+∞)上的函数，且对任意x ,y∈(0 ,+∞)，都有f(xy)=f(x)+f(y)，f(2)=1，求f(4) ,f(8).
【解析】∵对任意x，y∈(0 ,+∞)，都有f(xy)=f(x)+f(y)，f(2)=1，
∴f(4)=f(2×2)=f(2)+f(2)=2，
f(8)=f(2×4)=f(2)+f(4)=3．
【点拨】
① 对于抽象函数求值问题，可大胆取特殊值求解；
② 抽象函数f(xy)=f(x)+f(y)是对数函数fx=lgax型，由f(2)=1可知fx=lg2x，
则易得f4=2，f8=3，作选填题可取.又如f(x+y)=f(x)f(y)且f(1)=2，求f(3)；由f(x+y)=f(x)f(y)可令fx=ax，又因f(1)=2，得fx=2x，故易得f3=8.
故要对常见抽象函数对应的函数模型比较熟悉.
【典题2】对任意实数x , y，均满足fx+y2=fx+2fy2且f(1)≠0，
则f(2001)=_______.
【解析】令x=y=0，得f(0)=0，
令x=n , y=1，得fn+1=fn+2f12
令n=1，得f1=f0+2f12=2f12，
∴f1=12，
∴fn+1−fn=12，
∴fn=n2，即f2001=20012.
【点拨】
① 常常需要赋予一些特殊值(如取x=0等)或特殊关系(如取y=x， y=−x等)，要观察等式方程的特点寻找目标，也要大胆下笔多些尝试找些规律；
② 比如本题中所求的f(2001)中自变量的取值2001较大，往往要从周期性或者函数的解析式的方向入手.
【题型二】单调性问题
设函数y=f(x)是定义在R+上的函数，并且满足下面三个条件
①对任意正数x , y，都有f(xy)=f(x)+f(y)；②当x>1时，f(x)0，则x2x1>1
∴由②得 f(x2x1)x时，f(y)−f(x)=f(y)+f(−x)=f(y−x)=(f(y−x))2>0，
可得fy>f(x)．
所以函数f(x)在R上递增．
(3)①由f(xy)=f(x)f(y)中取x , y=1得f1=f21．
因为f(1)≠0，所以f(1)=1，
对任意正整数n，由①得f(n)=f(1)+⋯+f(1)n个=n×1=n，
f−n=−fn=−n，
又因为f(0)=0，所以x∈N时，f(x)=x；
对任意有理数mn(m∈N∗，n∈N∗)，由①，
f(m)=f(n⋅mn)=f(mn)+⋯+f(mn)=nf(mn)n个 ，
所以f(mn)=f(m)n=mn，即对一切x∈Z , f(x)=x．
②若存在x∈R，使得f(x)≠x，
不妨设f(x)>x(否则以−f(−x)代替f(x)，−x代替x即可)，
则存在有理数α，使得x0且a≠1)
fxy=fx+f(y)或fxy=fx−f(y)