2024年高中数学(必修第一册)4.1指数函数精品讲义(学生版+解析)

这是一份2024年高中数学(必修第一册)4.1指数函数精品讲义(学生版+解析)，共25页。
1 指数运算
(1) n次方根与分数指数幂
一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N∗.
式子na叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数.
负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0.
注意：(1) (na)n=a (2)当n是奇数时，nan=a，当n是偶数时，nan=a=a,a≥0−a,a0,m,n∈N∗,且n>1)
巧记“子内母外”(根号内的m作分子，根号外的n作为分母)
Eg x=x12，3x5=x53.
② 正数的正分数指数幂的意义：a−mn=1amn=1nam(a>0,m,n∈N∗,且n>1)
③ 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.
(3) 实数指数幂的运算性质
① as∙ar=ar+s (a>0,r,s∈R)
② asr=ars (a>0,r,s∈R)
③ (ab)r=arbr (a>0,r∈R)
2 指数函数概念
一般地，函数y=ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R.
3 图像与性质
【题型一】指数幂的化简与求值
【典题1】 求值(279)12−23−π0－21027−13+0.125−23+3∙343.
【典题2】已知x12−x−12=5，则x2+1x2的值为______.
【典题3】化简11+62+11−62=________.
巩固练习
1(★) 化简3aa÷a76(a>0)= .
2(★★) 如果45x=3，45y=5，那么2x+y= ．
3(★★) 已知a+1a=7，则a12+a−12= ．
4(★★) (214)12−(−2)0−(278)−23+(32)−2= ．
5(★★) 求值7+43+7−43= ．
6(★★★) 已知实数x,y满足3x+3y=9x+9y，则27x+27y3x+3y的取值范围是 .
7(★★★) 已知2a=3b=6，则a,b不可能满足的关系是( )
A．a+b=abB．a+b>4
C．a−12+b−128
【题型二】指数函数的图象及应用
【典题1】函数y=21−x的图象大致是( )
A． B． C． D．
【典题2】设函数f(x)=|2x−1|，cf(b)，判断2a+2c与2的大小关系.
巩固练习
1(★) 二次函数y=−x2−4x(x>−2)与指数函数y=(12)x的交点个数有( )
A．3个 B．2个C．1个 D．0个
2(★★) 若函数y=ax+m−1(01；
∴t2−t2≤t24即t2－2t≤0，解得0≤t≤2；
∴14
C．a−12+b−128
【答案】C
【解析】∵2a=3b=6，∴2ab=6b,3ba=6a，
∴2ab=6b，3ba=6a，
∴2ab•3ba=6b•6a，
∴6ab=6a+b，
∴ab=a+b，则有ab=a+b≥2ab，
∵a≠b，∴ab>2ab，
∴a+b=ab>4，
∴a－12+b－12=a2+b2－2(a+b)+2>2ab－2(a+b)+2>2，
∵a2+b2>2ab>8，故C错误
故选：C．
【题型二】指数函数的图象及应用
【典题1】函数y=21−x的图象大致是( )
A． B． C． D．
【解析】
方法1 函数y=21−x=&2x−1,x>1&21−x,x≤1，
(利用x=x,x≥0−x,x1时，y=2x−1是增函数，当x≤1时，y=21−x的减函数，
且x=1时，y=1，即图象过(1,1)点；
∴符合条件的图象是A．
故选：A．
方法2 利用函数的图象变换
去掉y轴左侧图象作关于y轴右侧对称 右移1个单位
故选：A．

【典题2】设函数f(x)=|2x−1|，cf(b)，判断2a+2c与2的大小关系.
【解析】 f(x)=|2x−1|的图象可看成fx=2x向下平移一个单位，再把x轴下方的图象做翻转得到，其图象如下图所示，
由图可知，要使cf(b)成立，
则有c0，
故必有2c1，
又fc−f(a)>0，即为1−2c−(2a−1)>0，
∴2a+2c−2)与指数函数y=(12)x的交点个数有( )
A．3个 B．2个C．1个 D．0个
【答案】 C
【解析】因为二次函数y=－x2－4x=－x+22+4(x>－2)，
且x=－1时，y=－x2－4x=3，y=(12)x=2，
则在坐标系中画出y=－x2－4x(x>－2)与y=(12)x的图象：
由图可得，两个函数图象的交点个数是1个，
故选C．
2(★★) 若函数y=ax+m−1(0