2024年高中数学(必修第一册)4.2对数函数精品讲义(学生版+解析)

这是一份2024年高中数学(必修第一册)4.2对数函数精品讲义(学生版+解析)，共26页。

1对数的概念
① 概念
一般地，如果ax=N(a>0 , 且a≠1)，那么数x 叫做以a为底N的对数，记作x=lgaN.
(a底数， N真数， lgaN对数)
② 两个重要对数
常用对数以10为底的对数，lg10 N记为lgN；
自然对数以无理数e为底的对数的对数，lgeN记为ln N．
③ 对数式与指数式的互化
x=lgaN ⟺ ax=N
对数式 指数式
④ 结论
(1)负数和零没有对数 (2)lgaa=1，lga1=0.
特别地，lg 10=1，lg 1=0，lne=1，ln 1=0.
2 对数的运算
如果a>0， a ≠ 1 , M>0 , N>0 , 有
① lga(MN)=lga M+lga N ② lgaMN=lga M−lga N
③ lgaMn =n lga Mn∈R ④ algaM=M
⑤ 换底公式
lga b=lgc blgc a (a>0 , a≠ 1 , c>0 , c≠ 1 , b>0)
利用换底公式推导下面的结论
① lgab=1lgba ② lgab⋅ lgbc=lgac ③ lgam bn=nmlgab
特别注意：lgaMN ≠ lgaM⋅ lgaN，lgaM ±N≠ lgaM± lgaN
3 对数函数
① 对数函数的概念
函数y=lgax(a>0 , a ≠1)叫做对数函数，其中x是自变量.
② 图像与性质
【题型一】对数的化简与求值
【典题1】求值 2lg32−lg3329+lg38−5lg53+lg52+lg2×lg50

【典题2】 若x , y , z∈R+，且3x=4y=12z，x+yz∈(n , n+1)，n∈N，则n的值是 .

巩固练习
1 (★) 已知函数f(x)=&3x(x≤0)&lg2x , (x>0)，则ff12= .
2 (★) lg22+lg5×lg20+20160+0.027−23×13−2= ．
3(★★) 求值:lg8+lg125−lg2−lg5lg10⋅lg0.1= ．
4(★★) 求值:2lg214−827−23+lg1100+2−1lg1＝ ．
5(★★) 若a>1，b>1且lg(1+ba)=lgb，则lg(a−1)+lg(b−1)的值 ．
6(★★★) 已知2a=7b=m，1a+12b=12，则m＝ .
7(★★★) 已知a>b>1，若lgab+lgba=52，ab=ba，则ab＝ ．
【题型二】对数函数的图象及应用
【典题1】 函数y=lga(|x|+1)(a>1)的图象大致是( )
A． B． C． D．

【典题2】 设a , b , c均为正数，且2a=lg12a，(12)b=lg12b，(12)c=lg2c，则( )
A．a
【典题3】 已知f(x)=&3|lg3x| , 03，若f(a)=f(b)=f(c)=f(d)，且a巩固练习
1(★) 已知lga+lgb=0，函数f(x)=ax与函数gx=−lgbx的图象可能是( )
A．B．C．D．
2(★) 已知图中曲线C1 , C2 , C3 , C4分别是函数y=lga1x，y=lga2x，y=lga3x，y=lga4x的图象，则a1 , a2 , a3 , a4的大小关系是( )
A．a4 C．a23(★★) 已知函数f(x)=|lnx|，若0A．(25，+∞)B．[25，+∞)C．(6 , +∞)D．[6 , +∞)
4(★★) 已知函数f(x)=|lga|x−1||(a>0 , a≠1)，若x1 A．2 B．4 C．8 D．随a值变化
5 (★★★) 已知函数f(x)=|lg2(x−1)|，g(x)=12x，则图象交于A(x1 , y1) , B(x2 , y2)两点，则( )
A．x1x2<1 B．x1+x2>5 C．x1+x2>x1x2D．x1+x26 (★★★) 已知函数f(x)=|lg2x| , 08，若a , b , c互不相等，且f(a)=f(b)=f(c)，则abc的取值范围是 ．
7 (★★★) 已知函数f(x)=|lg2x|，g(x)=12x，若对任意x∈[a , +∞)，总存在两个x0∈[12 , 4]，
使得g(x)∙f(x0)=1，则实数a的取值范围是 ．
【题型三】对数函数的性质及应用
角度1 比较对数式的大小
【典题1】已知a=lg27 , b=lg38 , c=0.30.2，则a，b，c的大小关系为( )
A．c【典题2】 设a=lg23 , b=43 , c=lg34，则a , b , c的大小关系为( )
A．b【典题3】 已知a=lg52，b=lg0.50.2，c=0.50.2，则a，b，c的大小关系为( )
A．a角度2 求解对数型不等式和方程
【典题1】方程lg2(x−1)=2−lg2(x+1)的解集为 ．
【典题2】不等式lg2(x2−1)<3的解集为 .
角度3 对数型函数综合问题
【典题1】 函数y=lg12(x2−6x+17)的值域是 .
【典题2】 已知函数f(x)是R上的奇函数，且满足fx+2=−f(x)，当x∈(0 , 1]时，fx=2x−1，
则方程f(x)=lg7|x−2|解的个数是 .
【典题3】设a>0，b>0，则下列叙述正确的是( )
A．若lna−2b>lnb−2a，则a>b B．若lna−2b>lnb－2a，则aC．若lna−2a>lnb−2b，则a>b D．若lna−2a>lnb－2b，则a【典题4】已知函数f(x)=lg31−x1+x．
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)判断函数f(x)的奇偶性；
(3)当x∈[−12 , 12]时，函数g(x)=f(x)，求函数g(x)的值域．
【典题5】 设D是函数y=f(x)定义域的一个子集，若存在x0∈D，使得fx0=−x0成立，
则称x0是f(x)的一个“准不动点”，也称f(x)在区间D上存在准不动点．
已知f(x)=lg12(4x+a⋅2x−1)，x∈[0 , 1]．
(1)若a=1，求函数f(x)的准不动点；
(2)若函数f(x)在区间[0 , 1]上存在准不动点，求实数a的取值范围．
巩固练习
1(★) 若a=lg21.5 , b=lg20.1 , c=20.2，则( )
A．c2(★★) 设a=lg126,b=lg1412,c=lg1515，则( )
A．a3(★★) f(x)是定义在R上的函数，且f(2−x)=f(x)，当x≥1时，f(x)=lg2x，则有( )
A．f(13)C．f(12)4(★★) 不等式lg2(2x−1)∙lg2(2x+1−2)<2的解集为 ．
5(★★) 函数f(x)=lg13(x2−3x+2)的单调递增区间为 ．
6(★★) 方程lg2(4x−3)=x+1的解集为 ．
7(★★★) 已知函数f(x)=lga(x+1)，g(x)=2lga(2x+t)(t∈R)，a>0，且a≠1．
(1)若1是关于x的方程fx−g(x)=0的一个解，求t的值；
(2)当0(3)若函数Fx=afx+tx2−2t+1在区间(−1 , 2]上有零点，求t的取值范围．
图像
a>1
0定义域
(0 , +∞)
值域
R
过定点
(1 , 0)
奇偶性
非奇非偶
单调性
在(0 , +∞)上是增函数
在(0 , +∞)上是减函数
变化对图像的影响
在第一象限内，α越大图象越靠低；
在第四象限内，α越大图象越靠高．
对数函数
1对数的概念
① 概念
一般地，如果ax=N(a>0 , 且a≠1)，那么数x 叫做以a为底N的对数，记作x=lgaN.
(a底数， N真数， lgaN对数)
② 两个重要对数
常用对数以10为底的对数，lg10 N记为lgN；
自然对数以无理数e为底的对数的对数，lgeN记为ln N．
③ 对数式与指数式的互化
x=lgaN ⟺ ax=N
对数式 指数式
④ 结论
(1)负数和零没有对数 (2)lgaa=1，lga1=0.
特别地，lg 10=1，lg 1=0，lne=1，ln 1=0.
2 对数的运算
如果a>0， a ≠ 1 , M>0 , N>0 , 有
① lga(MN)=lga M+lga N ② lgaMN=lga M−lga N
③ lgaMn =n lga Mn∈R ④ algaM=M
⑤ 换底公式
lga b=lgc blgc a (a>0 , a≠ 1 , c>0 , c≠ 1 , b>0)
利用换底公式推导下面的结论
① lgab=1lgba ② lgab⋅ lgbc=lgac ③ lgam bn=nmlgab
特别注意：lgaMN ≠ lgaM⋅ lgaN，lgaM ±N≠ lgaM± lgaN
3 对数函数
① 对数函数的概念
函数y=lgax(a>0 , a ≠1)叫做对数函数，其中x是自变量.
② 图像与性质
【题型一】对数的化简与求值
【典题1】求值 2lg32−lg3329+lg38−5lg53+lg52+lg2×lg50
【解析】 2lg32−lg3329+lg38−5lg53+lg52+lg2×lg50
=lg34−lg3329+lg38−3+lg52+2lg2∙lg5+lg22
=lg34×932×8−3+lg5+lg22
=2−3+1
=0．
【典题2】 若x , y , z∈R+，且3x=4y=12z，x+yz∈(n , n+1)，n∈N，则n的值是 .
【解析】令3x=4y=12z=k>1．
则x=lg3k=lgklg3， y=lg4k=lgklg4 ，z=lg12k=lgklg12．
(利用换底公式，把数值化为同底，有利于x+yz求值去掉k)
∴x+yz=lgklg3+lgklg4lgklg12=lg12⋅lg12lg3∙lg4=lg3+lg42lg3∙lg4=lg3lg4+lg4lg3+2，
(∵x+yz∈(n , n+1)，∴要对lg3lg4+lg4lg3+2进行估值，要把其值的整数部分求出)
∵02 (利用对勾函数可得)
∴lg3lg4+lg4lg3+2>4，
∵lg4lg3<2 , lg3lg4<1 ∴lg3lg4+lg4lg3+2<5,
则x=lg3lg4+lg4lg3+2∈(4 , 5)=(n , n+1)，
则n=4．
巩固练习
1 (★) 已知函数f(x)=&3x(x≤0)&lg2x , (x>0)，则ff12= .
【答案】 13
【解析】∵f(x)=&3x(x≤0)&lg2x(x>0)，∴f(12)=lg212=−1．
则f[f(12)]=f(−1)=3−1=13．
2 (★) lg22+lg5×lg20+20160+0.027−23×13−2= ．
【答案】 102
【解析】lg22+lg5•lg20+20160+0.027−23×13−2
＝lg22+lg5•(2lg2+lg5)+1+[0.33]−23×9
=lg2+lg52+1+10.09×9
=1+1+100
=102．
3(★★) 求值:lg8+lg125−lg2−lg5lg10⋅lg0.1= ．
【答案】 −4
【解析】lg8+lg125−lg2−lg5lg10⋅lg0.1=3lg2+3lg5−lg2−lg512lg10⋅lg110=2(lg2+lg5)−12=−4
4(★★) 求值:2lg214−827−23+lg1100+2−1lg1＝ ．
【答案】 −3
【解析】2lg214−827−23+lg1100+2−1lg1
=14−233−23−2+2−10
=14−94−2+1
＝−3．
故答案为：−3．
5(★★) 若a>1，b>1且lg(1+ba)=lgb，则lg(a−1)+lg(b−1)的值 ．
【答案】 0
【解析】∵a>1，b>1且lg(1+ba)=lgb，
∴1+ba=b，∴a+b=ab，
∴lg(a−1)+lg(b−1)=lg[(a−1)(b−1)]=lg(ab−a−b+1)=lg1=0．
故选：C．
6(★★★) 已知2a=7b=m，1a+12b=12，则m＝ .
【答案】 28
【解析】∵2a=7b=m，∴a=lg2m，b=lg7m，
∵1a+12b=12，∴lgm2+12×lgm7=lgm(27)=12，
∴m=27，解得m=28．
故答案为28．
7(★★★) 已知a>b>1，若lgab+lgba=52，ab=ba，则ab＝ ．
【答案】 8
【解析】∵lgab+lgba=52；
∴1lgba+lgba=1+(lgba)2lgba=52；
∴2(lgba)2−5lgba+2=0；解得lgba=12或lgba=2；
∵a>b>1；∴lgba>1；∴lgba=2；∴a=b2；
又ab=ba；
∴b2b=bb2；∴b2=2b；∴b=2或b=0(舍去)；∴a=4；
∴ab=8．
故答案为：8．
【题型二】对数函数的图象及应用
【典题1】 函数y=lga(|x|+1)(a>1)的图象大致是( )
A． B． C． D．
【解析】方法1
y=lga(|x|+1)=lgax+1,x≥0lga−x+1,x<0，
因a>1，由对数函数的性质易得选B.
方法2 函数图象变换
左移1个单位 去掉y轴左侧图象作关于y轴右侧对称
故选B．
【点拨】涉及对数函数型的函数y=f(x)，往往需要得到其图象，方法有
① 利用要相应指数函数的图象通过平移、对称、翻转变换得其图象；
② 利用去掉绝对值得到分段函数得其图象.
【典题2】 设a , b , c均为正数，且2a=lg12a，(12)b=lg12b，(12)c=lg2c，则( )
A．a【解析】 分别作出四个函数y=(12)x , y=lg12x，y=2x，y=lg2x的图象，观察它们的交点情况．由图象知a【点拨】
① 2a=lg12a中a是函数y=2x与y=lg12x的交点横坐标；
② 函数y=2x与y=lg2x互为反函数，图象关于直线y=x对称. 函数y=(12)x与y=lg12x也是.
【典题3】 已知f(x)=&3|lg3x| , 03，若f(a)=f(b)=f(c)=f(d)，且a思考痕迹 已知条件f(a)=f(b)=f(c)=f(d)，相当于y=f(x)与一直线y=k相交于四个点，四点的横坐标是a、b、c、d，所以想到数形结合.
【解析】 先画出f(x)=&3|lg3x| , 03的图象，如图
∵a , b , c , d互不相同，不妨设a且f(a)=f(b)=f(c)=f(d)，3由图可知lg3a=lg3b，c、d关于x=5对称,
∴−lg3a=lg3b，c+d=10，即ab=1 , c+d=10，
故abcd=c10−c=−(c−5)2+25，由图象可知3由二次函数的知识可知21<−c2+12c<24，
∴abcd的范围为(21 , 24)．
【点拨】 遇到分段函数，经常用数形结合的方法画出函数图象，注意一些关键的临界值，比如x=3处.
巩固练习
1(★) 已知lga+lgb=0，函数f(x)=ax与函数gx=−lgbx的图象可能是( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】∵lga+lgb=0，∴ab=1则b=1a
从而gx=－lgbx=lgax，
∴函数f(x)与函数g(x)的单调性是在定义域内同增同减
结合选项可知选B，
故答案为B
2(★) 已知图中曲线C1 , C2 , C3 , C4分别是函数y=lga1x，y=lga2x，y=lga3x，y=lga4x的图象，则a1 , a2 , a3 , a4的大小关系是( )
A．a4 C．a2【答案】B
【解析】选B.由已知图中的四条曲线底数不同及图象的位置关系，再利用lgaa=1结合图象求解．
3(★★) 已知函数f(x)=|lnx|，若0A．(25，+∞)B．[25，+∞)C．(6 , +∞)D．[6 , +∞)
【答案】 C
【解析】函数f(x)=|lnx|⇔f(x)=−lnx(01)，
又因为01，
又知道f(a)=f(b)，
∴－lna=lnb，即1a=b，
∴设t=a+5b=a+5a，
∵由对勾函数的性质可知,t在(0,1)上单调递减，∴t>1+5=6，即a+5b>6，
故选：C．
4(★★) 已知函数f(x)=|lga|x−1||(a>0 , a≠1)，若x1 A．2 B．4 C．8 D．随a值变化
【答案】B
【解析】函数f(x)=|lga|x－1||的图象如下图所示：
有图可知，函数f(x)=|lga|x－1||的图象关于直线x=1对称，
又∵x1则x1+x2+x3+x4=4．
故选：B
5 (★★★) 已知函数f(x)=|lg2(x−1)|，g(x)=12x，则图象交于A(x1 , y1) , B(x2 , y2)两点，则( )
A．x1x2<1 B．x1+x2>5 C．x1+x2>x1x2D．x1+x2【答案】C
【解析】不妨设x1作出f(x)和g(x)的图象，由图象知x1<2，x2>2，
则f(x1)=|lg2x1－1|=－lg2x1－1,f(x2)=|lg2(x2－1)|=lg2(x2－1)，
则f(x2)－f(x1)=lg2x2－1+lg2x1－1=lg2(x1－1)(x2－1)=(12)x2−(12)x1<0，
即(x1－1)(x2－1)<1，即x1x2－(x1+x2)+1<1，即x1+x2>x1•x2，
故选：C．
6 (★★★) 已知函数f(x)=|lg2x| , 08，若a , b , c互不相等，且f(a)=f(b)=f(c)，则abc的取值范围是 ．
【答案】8 , 20
【解析】根据已知画出函数图象：
不妨设a∵f(a)=f(b)=f(c)，∴－lg2a=lg2b=−14c+5，
∴lg2(ab)=0，0<−14c+5<3，
解得ab=1，8∴8故答案为(8,20)．
7 (★★★) 已知函数f(x)=|lg2x|，g(x)=12x，若对任意x∈[a , +∞)，总存在两个x0∈[12 , 4]，使得g(x)∙f(x0)=1，则实数a的取值范围是 ．
【答案】[2 , +∞)
【解析】f(x0)=1g(x)=2x，∵x∈[a,+∞)，∴f(x0)≤2a，
作出f(x)在[12，4]上的函数图象如图：
∵对任意x∈[a,+∞)，总存在两个x0∈[12,4]，使得g(x)•f(x0)=1，
∴0<2a≤1，解得a≥2．
故答案为[2,+∞)．
【题型三】对数函数的性质及应用
角度1 比较对数式的大小
【典题1】已知a=lg27 , b=lg38 , c=0.30.2，则a，b，c的大小关系为( )
A．c【解析】由题意，可知a=lg27>lg24=2，c=0.30.2<0.30=1，
∵1∴c故选A．
【典题2】 设a=lg23 , b=43 , c=lg34，则a , b , c的大小关系为( )
A．b【解析】 ∵a=lg23>lg2243=43=b , b=43=lg3343>lg34=c，
∴a , b , c的大小关系为c故选D．
【典题3】 已知a=lg52，b=lg0.50.2，c=0.50.2，则a，b，c的大小关系为( )
A．a【解析】由题意，可知a=lg52<1，c=0.50.2<1，
b=>lg24=2，(初步估值)
∴b最大，a、c都小于1，(b,c还比较不出来，进一步估值)
∵a=lg52=1lg25<12，c=(12)15=512>12
∴a∴a【点拨】比较对数的大小，主要是利用对数函数的单调性，具体方法有
① 把对数化为同底，利用对数函数的单调性比较大小；
② 若不能化为同底，可对对数进行估值，一般可以与0，1比较大小；
③ 利用第三个数作为两个数字大小比较的过渡.
角度2 求解对数型不等式和方程
【典题1】方程lg2(x−1)=2−lg2(x+1)的解集为 ．
【解析】∵lg2(x−1)=2−lg2(x+1)，
∴lg2(x−1)=lg24x+1，
∴x−1=4x+1，解得x=±5．
检验得x=−5不符合， (注意真数的范围)
∴方程lg2(x−1)=2−lg2(x+1)的解集为{5}．
故答案为{5}．
【典题2】不等式lg2(x2−1)<3的解集为 .
【解析】 lg2(x2−1)<3⇔lg2(x2−1)∴0解得−3【点拨】在处理对数的方程和不等式时不要忘记了“对数lgax中真数x>0”这点.
角度3 对数型函数综合问题
【典题1】 函数y=lg12(x2−6x+17)的值域是 .
【解析】 ∵t=x2−6x+17=x−32+8≥8
∴内层函数的值域[8 , +∞),
而 y=lg12t在[8 , +∞)是减函数，故y≤lg128=−3
∴函数y=lg12(x2−6x+17)的值域是(−∞ , −3].
【点拨】复合函数的值域先求内层函数值域再求外层函数.
【典题2】 已知函数f(x)是R上的奇函数，且满足fx+2=−f(x)，当x∈(0 , 1]时，fx=2x−1，则方程f(x)=lg7|x−2|解的个数是 .
【解析】 函数f(x)是R上的奇函数，f(0)=0，
由fx+2=−f(x)，可得f(x+2)=f(−x)，∴f(x)的有条对称轴x=1，
由fx+2=−f(x)，可得f(x+4)=f(x)，∴f(x)的周期T=4．
(注 由以上已知，较容易画出y=f(x)的图象，作图步骤如下
① 画fx=2x－1 , x∈(0 , 1) ② 根据奇函数的性质 ③ 由对称轴x=1可得

④ 由周期T=4可得
)
作出在同一坐标系中画y=f(x)和g(x)=lg7|x−2|图象，

注意到g(9)=1 , g(−7)>1，(注意一些临界的位置)
从图象不难看出，其交点个数7个．
【点拨】
① 遇到函数综合性质问题(有单调性，对称性，周期性等)，一般通过数形结合的方法处理；
② fx+a=fx+b⇒fx的周期T=a−b，
fx+a=fb−x⇒fx的对称轴x=a+b2
fx+a=−fx⇒fx的周期T=2a
fx+a=1fx⇒fx的周期T=2a.
【典题3】设a>0，b>0，则下列叙述正确的是( )
A．若lna−2b>lnb−2a，则a>b B．若lna−2b>lnb－2a，则aC．若lna−2a>lnb−2b，则a>b D．若lna−2a>lnb－2b，则a【解析】方法1 构造函数法
∵y=lnx与y=2x均为增函数，故f(x)=lnx+2x在(0 , +∞)上为增函数，
故f(a)>f(b)⇔a>b>0，
即lna+2a>lnb+2b⇔a>b>0，即lna−2b>lnb−2a⇔a>b>0，
故选A．
方法2 取特殊值排除法
对于A、B，
令a=1，b=1e，代入lna−2b>lnb−2a得−2e>−3显然成立，
而a>b，此时可排除选项B；
对于选项C、D，
令a=1，b=e，代入lna−2a>lnb−2b得−2>1−2e显然成立，而a令a=1，b=1e2，代入lna−2a>lnb−2b得−2>−2−2e2显然成立，而a>b可排除选项D；
故选A．
【点拨】
① 方法1通过构造函数f(x)=lnx+2x，利用其单调性进行选项判断.构造函数的方法到了高二还经常见，可以先熟悉先！
② 方法2“取特殊值排除法”，在取数时一定要满足题目要求，尽量取容易计算的数值，要大胆尝试，能排除一个是一个.
【典题4】已知函数f(x)=lg31−x1+x．
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)判断函数f(x)的奇偶性；
(3)当x∈[−12 , 12]时，函数g(x)=f(x)，求函数g(x)的值域．
【解析】 (1)要使函数f(x)=lg31−x1+x的解析式有意义，
自变量x须满足1−x1+x>0，解得x∈(−1 , 1)，
故函数f(x)的定义域为(－1 , 1)；
(2)由(1)得函数的定义域关于原点对称，
且f−x=lg31+x1−x=−lg31−x1+x=−fx，
故函数f(x)为奇函数；
(3)当x∈[－12，12]时，令u(x)=1−x1+x=21+x−1 (分离常数法)
(注 函数图象如右图，由y=2x向左向下平移一个单位得到的)
故u(x)=1−x1+x在[−12 , 12]上为减函数，则u(x)∈[13 , 3]，
又∵g(x)=f(x)=lg3u为增函数，
故g(x)∈[−1 , 1]，
故函数g(x)的值域为[−1 , 1]．
【点拨】
① 遇到形如fx=a∙gx+bc∙gx+d的函数(比如y=1−2x1+x，y=2x−32x+4，y=3x2+4x2−1等)均可采取“分离常数法”，易求函数的单调性，对称性，最值等性质；
② 求复合函数的值域，要分清楚内层函数与外层函数，分别对它们的单调性进行分析再求值域，函数的定义域优先考虑.
【典题5】 设D是函数y=f(x)定义域的一个子集，若存在x0∈D，使得fx0=−x0成立，
则称x0是f(x)的一个“准不动点”，也称f(x)在区间D上存在准不动点．
已知f(x)=lg12(4x+a⋅2x−1)，x∈[0 , 1]．
(1)若a=1，求函数f(x)的准不动点；
(2)若函数f(x)在区间[0 , 1]上存在准不动点，求实数a的取值范围．
【解析】 (1)当a=1时，可得fx=lg124x+2x−1=−x，x∈[0 , 1]，
可得4x+2x−1=2x，即4x=1，∴x=0．
当a=1，函数f(x)的准不动点为x0=0．
(2)方法1 由定义可得方程lg12(4x+a⋅2x−1)=−x在x∈[0 , 1]上有解，
即方程4x+a⋅2x−1=2x在x∈[0 , 1]上有解, 且4x+a∙2x−1>0 (∗)
令2x=t，x∈[0 , 1]，则t∈[1 , 2]，
那问题(∗)转化为方程t2+a−1t−1=0在[1 , 2]有解，且t2+at−1>0，
令gt=t2+a−1t−1，开口向上且g0<0，
所以y=gt在[1 , 2]上与x轴只有一个交点，
则只需要g1g2≤0，解得−12≤a≤1，
(一元二次方程根的分布问题，注意数形结合分析)
要使t2+at−1>0(1≤t≤2)恒成立．
其对称轴x=−a2，在1≤t≤2上是递增的，当t=1时最小值，可得a>0．
综上可得实数a的取值范围是(0，1]．
方法2
与方法1同样得到方程t2+a−1t−1=0在[1 , 2]有解，且t2+at−1>0，
即a=1−t+1t在t∈[1 , 2]上有解，且a>1t−t在t∈[1 , 2]上恒成立 (分离参数法)
由ℎt=1−t+1t在t∈[1 , 2]上显然是减函数，其值域为[−12 , 1]，则−12≤a≤1；
由dt=1t−t在t∈[1 , 2]上显然是减函数，最大值为d1=0，则a>0,
综上可得实数a的取值范围是(0,1]．
【点拨】
① 在第二问中不要漏了4x+a∙2x−1>0，求解过程中谨记等价转化，做到严谨；
② 第二问的方法1是采取了“二次方程根的分布问题”的处理技巧，注意结合二次函数图象进行思考；方法2是采取分离参数法转而求最值,
巩固练习
1(★) 若a=lg21.5 , b=lg20.1 , c=20.2，则( )
A．c【答案】D
【解析】lg20.120=1；
∴b故选：D．
2(★★) 设a=lg126,b=lg1412,c=lg1515，则( )
A．a【答案】 A
【解析】a=lg126=−1−lg23=−1−1lg32，b=lg1412=−1−lg43=−1−1lg34，
c=lg1515=−1−lg53=−1−1lg35；
∵01lg34>1lg35；
∴a故选：A．
3(★★) f(x)是定义在R上的函数，且f(2−x)=f(x)，当x≥1时，f(x)=lg2x，则有( )
A．f(13)C．f(12)【答案】 C
【解析】∵x≥1时f(x)=lg2x，∴f(x)在[1,+∞)上单调递增，
∵f(2－x)=f(x)，∴f(12)=f(2−12)=f(32)，f(13)=f(2−13)=f(53)，
又1<32<53<2，
∴f(32)故选：C．
4(★★) 不等式lg2(2x−1)∙lg2(2x+1−2)<2的解集为 ．
【答案】 lg254 , lg23
【解析】设t=lg2(2x－1)，则不等式可化为t(t+1)<2，
所以t2+t－2<0，所以－2所以－2所以54<2x<3所以解集为(lg254,lg23)
故选B．
5(★★) 函数f(x)=lg13(x2−3x+2)的单调递增区间为 ．
【答案】 (−∞ , 1)
6(★★) 方程lg2(4x−3)=x+1的解集为 ．
【答案】 {lg23}
【解析】∵lg2(4x－3)=x+1，∴2x+1=4x－3，
∴2x2－2•2x－3=0，解得2x=3，或2x=－1(舍)，
∴x=lg23．
∴方程lg2(4x－3)=x+1的解集为{lg23}．
故答案为：{lg23}．
7(★★★) 已知函数f(x)=lga(x+1)，g(x)=2lga(2x+t)(t∈R)，a>0，且a≠1．
(1)若1是关于x的方程fx−g(x)=0的一个解，求t的值；
(2)当0(3)若函数Fx=afx+tx2−2t+1在区间(−1 , 2]上有零点，求t的取值范围．
【答案】(1)t=2−2 (2)12【解析】 (1)∵1是关于x的方程f(x)－g(x)=0的一个解，
∴lga2－2lga(2+t)=0，
∴2=2+t2，
∴t=2−2；
(2)当0不等式f(x)≤g(x)可化为lga(x+1)≤2lga(2x－1)，
故x+1≥(2x−1)22x−1>0，
解得12(3)F(x)=afx+tx2－2t+1=x+1+tx2－2t+1=tx2+x－2t+2，
令tx2+x－2t+2=0，
即t(x2－2)=－(x+2)，
∵x∈(－1,2]，∴x+2∈(1,4]，
∴t≠0，x2－2≠0；
∴1t=−x2−2x+2=−[(x+2)+2x+2]+4，
∵22≤(x+2)+2x+2≤92，
∴−12≤−[(x+2)+2x+2]+4≤4－22，
∴−12≤1t≤4－22，
∴t≤－2或t≥2+24．
图像
a>1
0定义域
(0 , +∞)
值域
R
过定点
(1 , 0)
奇偶性
非奇非偶
单调性
在(0 , +∞)上是增函数
在(0 , +∞)上是减函数
变化对图像的影响
在第一象限内，α越大图象越靠低；
在第四象限内，α越大图象越靠高．