2024年高中数学(必修第一册)5.4三角函数的图像与性质精品讲义(学生版+解析)

这是一份2024年高中数学(必修第一册)5.4三角函数的图像与性质精品讲义(学生版+解析)，共29页。
1 周期函数
一般地，对于函数f(x) ，如果存在一个非零常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足
f(x+T)=f(x) ，那么函数 f(x)就叫做周期函数，T叫做该函数的周期.
PS
①从解析式f(x+T)=f(x)来看：任一自变量x对应函数值y与x增加T后对应函数值相等；
②从图象看：整体函数图象是由一部分图象像“分身术”一样向两边延申，而那一部分图象的水平长度就是其正周期！

③ 三角函数就是典型的周期函数.
2 正弦函数，余弦函数的图像与性质
注 表中的k∈Z
3 正切函数的图像与性质
注 表中的k∈Z

【题型一】求解三角函数的性质
性质1 周期性
【典题1】 f(x)=|sinx|+|csx|的最小正周期是（ )
A.π2 B.π C.2π D.3π

【典题2】下列函数中，最小正周期为π2的是( )
A．y=sin|x|B．y=cs|2x|C．y=|tanx|D．y=|sin2x|
性质2 对称性
【典题1】 函数y=sin(2x+π3)的图象( )
A．关于点(π6 , 0)对称B．关于点(π3 , 0)对称
C．关于直线x=π6对称D．关于直线x=π3对称
【典题2】 已知函数f(x)=cs(3x+φ)(−π2f(3)B．f(3)>f(2)>f(1)
C．f(2)>f(1)>f(3)D．f(1)>f(3)>f(2)
性质4 最值
【典题1】 若函数f(x)=cs(ωx−π3)(ω>0)的最小正周期为π2，则f(x)在[0 , π4]上的值域为 ．
【典题2】 已知函数f(x)=2cs(2x−π3)在[a−π4,a](a∈R)上的最大值为y1，最小值为y2，则y1−y2的取值范围是 .
巩固练习
1(★)下列函数中最小正周期为π的函数是( )
A．y=sinxB．y=cs12xC．y=tan2xD．y=|sinx|
2(★) 下列函数中，关于直线x=−π6对称的是( )
A．y=sin(x+π3) B．y=sin(2x+π3)C．y=cs(x+π3)D．y=cs(2x+π3)
3(★) 设函数f(x)=cs(2x−π3)，则下列结论错误的是( )
A．f(x)的一个周期为−π
B．y=f(x)的图象关于直线x=2π3对称
C．f(x+π2)的一个零点为x=−π3
D．f(x)在区间[π3 , π2]上单调递减
4(★) 下列函数中，以π为周期且在区间(π2 , π)单调递增的是( )
A．f(x)=|cs2x|B．f(x)=|sin2x|
C．f(x)=|csx|D．f(x)=|sinx|
5(★) 关于函数f(x)=|tanx|的性质，下列叙述不正确的是( )
A．f(x)的最小正周期为π2
B．f(x)是偶函数
C．f(x)的图象关于直线x=kπ2(k∈Z)对称
D．f(x)在每一个区间(kπ , kπ+π2)(k∈Z)内单调递增
6 (★★) 下列函数中，以2π为周期，x=π2为对称轴，且在(0 , π2)上单调递增的函数是( )
A．y=2|sinx|+sinx B．y=2cs(x+π2) C．y=sin(2x−π2)D．y=tan(x2+π4)
7 (★★) 已知直线x=x1 , x=x2分别是曲线f(x)=2sin(x+π3)与gx=−csx的对称轴，
则f(x1−x2)=( )
A．2B．0C．±2D．±1
8 (★★) 关于函数f(x)=|sinx|+csx有下述四个结论：
①f(x)是周期函数；②f(x)的最小值为−2；③f(x)的图象关于y轴对称；④f(x)在区间(π4,π2)单调递增．
其中所有正确结论的编号是( )
A．①②B．①③C．②③D．②④
9 (★★★)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,00)，图象上任意两条相邻对称轴间的距离为π2．
(1)求函数的单调区间和对称中心．
(2)若关于x的方程2sin2x−mcsx−4=0在x∈(0 , π2)上有实数解，求实数m的取值范围．
y=sinx
y=csx
图像
定义域
R
R
值域
[−1 , 1]
[−1 , 1]
最值
当x=π2+2kπ时，ymax=1；
当x=−π2+2kπ时，ymin=−1.
当x=2kπ时，ymax=1；
当x=π+2kπ时，ymin=−1.
周期性
2π
2π
对称中心
kπ , 0
kπ+π2 , 0
对称轴
x=kπ+π2
x=kπ
单调性
在−π2+2kπ , π2+2kπ上是增函数；
在π2+2kπ , 3π2+2kπ上是减函数.
在−π+2kπ , 2kπ上是增函数；
在2kπ , π+2kπ上是减函数.
y=tanx
图像
定义域
xx≠kπ+π2
值域
R
最值
既无最大值也无最小值
周期性
π
对称中心
kπ2 , 0
对称轴
无对称轴
单调性
在(kπ−π2 , kπ+π2)上是增函数
三角函数的图像与性质

1 周期函数
一般地，对于函数f(x) ，如果存在一个非零常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足
f(x+T)=f(x) ，那么函数 f(x)就叫做周期函数，T叫做该函数的周期.
PS
①从解析式f(x+T)=f(x)来看：任一自变量x对应函数值y与x增加T后对应函数值相等；
②从图象看：整体函数图象是由一部分图象像“分身术”一样向两边延申，而那一部分图象的水平长度就是其正周期！

③ 三角函数就是典型的周期函数.
2 正弦函数，余弦函数的图像与性质
注 表中的k∈Z
3 正切函数的图像与性质
注 表中的k∈Z

【题型一】求解三角函数的性质
性质1 周期性
【典题1】 f(x)=|sinx|+|csx|的最小正周期是（ )
A.π2 B.π C.2π D.3π
【解析】fx+π2=sinx+π2+csx+π2=csx+|sinx|=f(x),
故π2是y=f(x)的周期，由选项可知选A.
【点拨】从定义出发：存在一个非零常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足f(x+T)=f(x)，则T叫做该函数的周期.
【典题2】下列函数中，最小正周期为π2的是( )
A．y=sin|x|B．y=cs|2x|C．y=|tanx|D．y=|sin2x|
【解析】由图可知函数y=sin|x|不是周期函数，故A不正确；
由于函数y=cs|2x|=cs2x的周期为2π2=π，故B不正确；
由图可知函数y=|tanx|的周期T=π，故C不正确；
由图可知函数y=|sin2x|的周期为T=π2，故D正确，
故选：D．
【点拨】
① 函数fx=Asin(ωx+φ), fx=Acs(ωx+φ)的最小正周期T=2πω,
函数fx=Atan(ωx+φ)的最小正周期T=πω；
② 利用函数的对称变换与翻转变换，利用图象判断函数周期更容易些.
性质2 对称性
【典题1】 函数y=sin(2x+π3)的图象( )
A．关于点(π6 , 0)对称B．关于点(π3 , 0)对称
C．关于直线x=π6对称D．关于直线x=π3对称
【解析】方法1 对于函数y=sin(2x+π3)，
(求出函数的所有对称轴和对称中心再判断)
令2x+π3=π2+kπ，则x=π12+kπ2 , 则函数的对称轴是x=π12+kπ2(k∈N∗)，
若π12+kπ2=π6，解得k=16∉N∗；若π12+kπ2=π3，解得k=12∉N∗，故排除C , D；
令2x+π3=kπ，则x=−π6+kπ2 , 则函数的对称中心是−π6+kπ2 , 0 (k∈N∗)，
若−π6+kπ2=π6，解得k=23∉N∗，可排除A；
若−π6+kπ2=π3，解得k=1∈N∗，故关于点(π3 , 0)对称.
故选：B．
方法2 对于函数y=sin(2x+π3)，
当x=π6时，2x+π3=2π3，而(2π3,0)不是正弦函数y=sinx的对称中心，故A错误；
当x=π3时，2x+π3=π，而(π,0)是正弦函数y=sinx的对称中心，故B正确；
当x=π6时，2x+π3=2π3，而x=2π3不是正弦函数y=sinx的对称轴，故C错误；
当x=π3时，2x+π3=π，而x=π不是正弦函数y=sinx的对称轴，故D错误；
故选：B．
【点拨】本题两种方法，
方法1是求出三角函数的全部对称轴或对称中心(此时把ωx+φ看成整体)，再判断；
方法2是把问题转化正弦函数y=sinx的性质判断；
对于三角函数fx=Asinωx+φ+B
① 若x=x0是其对称轴，则ωx0+φ是正弦函数y=sinx的对称轴；
② 若(x0 , B)是其对称中心，则(ωx0+φ , B)满足函数y=Asinx+B的对称中心.
对于三角函数fx=Acsωx+φ+B类似.
【典题2】 已知函数f(x)=cs(3x+φ)(−π2f(3)>f(2)
【解析】(显然选项是由函数单调性作出判断)
令−π2+2kπ