2024年高中数学(必修第一册)5.5三角函数和差角公式精品讲义(学生版+解析)

这是一份2024年高中数学(必修第一册)5.5三角函数和差角公式精品讲义(学生版+解析)，共21页。

1 两角和差的正弦，余弦与正切公式
(理解公式的推导，体会其方法，而不死背公式)
① 余弦两角和差公式
cs α±β=cs α cs β∓ sin α sin β
推导如下
如图，设单位圆与x轴的正半轴相交于点A(1 ,0)，以x轴为非负半轴为始边作角α，β，α−β，它们的终边分别与单位圆相较于点P1csα ,sinα，A1csβ ,sinβ，Pcsα−β ,sinα−β，连接A1P1，AP，若把扇形OAP绕点O旋转β角，则点A，P分别与A1 ,P1重合.根据圆的旋转对称性可知，AP与A1P1重合，从而AP=A1P1，所以AP=A1P1.
根据两点间的距离公式，得
csα−β−12+sin2α−β=csα−csβ2+sinα−sinβ2
化简得
csα−β=cs α cs β+ sin α sin β
而
cs α+β=cs α−−β=cs α cs β− sin α sin β
②正弦两角和差公式
sin α±β=sin αcs β± cs αsin β
推导如下
sinα+β=csπ2−α−β
=csπ2−αcsβ+sinπ2−αsinβ
=sinαcsβ+ cs αsin β
sinα−β=csπ2−α+β
=csπ2−αcsβ−sinπ2−αsinβ
=sinαcsβ− cs αsin β
③正切两角和差公式
tan α±β=tan α± tan β1 ∓ tan α tan β
(由S(α±β)、C(α±β)可推导正切的和差角公式)
对公式中α、β的理解，他们可表示为一个数字、一个字母，甚至一个式子
Eg：① sin75°=sin45°+30°=sin45°cs30°+cs45°sin30°=6+24
对应公式sin α±β=sin α cs β± cs α sin β，把α看成数字45° , β看成数字30°；
② csx+π3=csx∙csπ3−sinx∙sinπ3
对应公式cs α+β=cs α cs β−sin α sin β，把α看成字母x， β看成数字π3；
③tanπ4=tanx+π8+π8−x=tanx+π8+tanπ8−x1−tanx+π8tanπ8−x，
对应公式tan α+β=tan α+ tan β1− tan α tan β，把α、β分别看成式子x+π8、x−π8.
对应公式的运用，注意整体变换的思想.
2 辅助角公式
asinx+bcsx=a2+b2 sinx+φ
其中tan φ=ba.
熟记两个特殊角的化简过程
a:b=1:1型，配π4
sinx±csx=2sin⁡(x±π4)
a:b=3:1型，配π6或π3
sinx±3csx=2sinx±π3
3sinx±csx=2sinx±π6

【题型一】和差角公式的基本运用
【典题1】 计算sin25°sin70°−cs155°sin20°= .

【典题2】 tan27°+tan33°+3tan27°tan33°= .

【典题3】 若α ,β∈(−π2 ,π2)，且tanα ,tanβ是方程x2+43x+5=0的两个根，则α+β= .
【典题4】已知sinα−sinβ=−13 ,csα+csβ=12，则cs(α+β)= ．

【典题5】 设0<β<α<π2 ,tan(a−β)+tanβ=1csβ，则( )
A．2α+β=π2B．2α−β=π2C．a+2β=π2D．α−2β=π2
【典题6】 在△ABC中，tanA+tanB+3=3tanAtanB，sinAcsB=34，则△ABC的形状为 ．
巩固练习
1(★) sin80°cs50°+cs140°sin10°= ．
2(★) 若sinα=35，且α∈(π2 ,π)，则tan(α+π4)= ．
3(★) 已知：α ,β均为锐角，tanα=12，tanβ=13，则α+β= ．
4 (★★) 在△ABC中，csA+sinA=15，则tan(A−π4)= ．
5(★★★) 设α=70°，若β∈(0，π2)，且tanα=1+sinβcsβ，则β= ．
6 (★★★) 设α ,β∈(0 ,π2)，sinαcsβ=3sinβcsα，则α−β的最大值为 ．
7(★★★) 已知锐角α,β满足α−β=π3，则1csα∙csβ+1sinα∙sinβ的最小值为 ．
【题型二】角的变换
【典题1】 若sin(α+π5)=−13，α∈(0 ,π)，则cs(π20−α)= ．
【典题2】若sin2α=55，sin(β−α)=1010，且α∈[π4 ,π]，β∈[π ,3π2]，则α+β的值是 .

【典题3】已知α,β∈(0,π2)，sin(2α+β)=2sinβ，则tanβ的最大值为 .
巩固练习
1 (★★) 已知0<α<β<π2，且cs(α−β)=6365 ，sinβ=1213，则sinα= ．
2 (★★) 若α ,β∈(0 ,π)，cs(α−β2)=−1213，sin(α2−β)=45，则sinα+β2= ．
3 (★★) 若0<α<π2，−π2<β<0， cs(π4+α)=13，cs(π4−β2)=33，则cs(α+β2)= ．
4 (★★) 已知csα=255，tan(α−β)=−13，α ,β均为锐角，则β= ．
5 (★★) 已知csα=255，cs(β−α)=31010，且0<α<β<π2，则β的值 ．
6 (★★) 若sin2α=55，sin(β−α)=1010，且α∈π4 ,π，β∈[π ,3π2]，则α+β的值是 ．
【题型三】辅助角公式的运用
【典题1】 若π4<α<β<π2，sinα+csα=a，sinβ+csβ=b ,则a，b的大小关系是 ．
【典题2】 设当x=θ时，函数f(x)=2sinx+csx取得最小值，则cs(θ+π4)= ．
【典题3】 已知函数f(x)=2sinx－acsx图象的一条对称轴为x=−π6，f(x1)+f(x2)=0，且函数f(x)在(x1 ,x2)上单调，则|3x1+2x2|的最小值为 .

巩固练习
1(★★) 已知函数f(x)=|3sinωx−csωx| (ω>0)的最小正周期为π，则ω= ．
2(★★) A ,B ,C是△ABC的内角，其中B=2π3，则sinA+sinC的取值范围是 ．
3(★★) 若函数f(x)=sin2x−3cs2x在[0 ,t]上的值域为[−3 ,2]，则t的取值范围为 ．
4(★★★) 已知函数f(x)=sinωx+csωx(ω>0)在(π6，5π12)上仅有1个最值，且是最大值，则实数ω的取值范围为 ．
5(★★★)已知函数f(x)=2sin(ωx+π6)+acsωx(a>0 ,ω>0)对任意的x1 ,x2∈R，都有f(x1)+f(x2)≤43，若f(x)在[0 ,π]上的值域为[3 ,23]，则实数ω的取值范围为 ．

三角函数和差角公式
1 两角和差的正弦，余弦与正切公式
(理解公式的推导，体会其方法，而不死背公式)
① 余弦两角和差公式
cs α±β=cs α cs β∓ sin α sin β
推导如下
如图，设单位圆与x轴的正半轴相交于点A(1 ,0)，以x轴为非负半轴为始边作角α，β，α−β，它们的终边分别与单位圆相较于点P1csα ,sinα，A1csβ ,sinβ，Pcsα−β ,sinα−β，连接A1P1，AP，若把扇形OAP绕点O旋转β角，则点A，P分别与A1 ,P1重合.根据圆的旋转对称性可知，AP与A1P1重合，从而AP=A1P1，所以AP=A1P1.
根据两点间的距离公式，得
csα−β−12+sin2α−β=csα−csβ2+sinα−sinβ2
化简得
csα−β=cs α cs β+ sin α sin β
而
cs α+β=cs α−−β=cs α cs β− sin α sin β
②正弦两角和差公式
sin α±β=sin αcs β± cs αsin β
推导如下
sinα+β=csπ2−α−β
=csπ2−αcsβ+sinπ2−αsinβ
=sinαcsβ+ cs αsin β
sinα−β=csπ2−α+β
=csπ2−αcsβ−sinπ2−αsinβ
=sinαcsβ− cs αsin β
③正切两角和差公式
tan α±β=tan α± tan β1 ∓ tan α tan β
(由S(α±β)、C(α±β)可推导正切的和差角公式)
对公式中α、β的理解，他们可表示为一个数字、一个字母，甚至一个式子
Eg：① sin75°=sin45°+30°=sin45°cs30°+cs45°sin30°=6+24
对应公式sin α±β=sin α cs β± cs α sin β，把α看成数字45° , β看成数字30°；
② csx+π3=csx∙csπ3−sinx∙sinπ3
对应公式cs α+β=cs α cs β−sin α sin β，把α看成字母x， β看成数字π3；
③tanπ4=tanx+π8+π8−x=tanx+π8+tanπ8−x1−tanx+π8tanπ8−x，
对应公式tan α+β=tan α+ tan β1− tan α tan β，把α、β分别看成式子x+π8、x−π8.
对应公式的运用，注意整体变换的思想.
2 辅助角公式
asinx+bcsx=a2+b2 sinx+φ
其中tan φ=ba.
熟记两个特殊角的化简过程
a:b=1:1型，配π4
sinx±csx=2sin⁡(x±π4)
a:b=3:1型，配π6或π3
sinx±3csx=2sinx±π3
3sinx±csx=2sinx±π6

【题型一】和差角公式的基本运用
【典题1】 计算sin25°sin70°−cs155°sin20°= .
【解析】 sin25°sin70°−cs155°sin20°
=sin25°cs20°+cs25°sin20° (大角化小角)
=sin(25°+20°)
=sin45°
=22
【典题2】 tan27°+tan33°+3tan27°tan33°= .
【解析】 ∵tan(27+33)°=tan60°=3
∴tan27°+tan33°1−tan27°tan33°=3
∴tan27°+tan33°=3−3tan27°tan33°
∴tan27°+tan33°+3tan27°tan33°=3
【点拨】由tan α+β=tan α+ tan β1− tan α tan β可得
tan α+ tan β=tan α+β(1− tan α tan β)
tan α+ tan β+tan αtan βtan α+β=tan α+β

【典题3】 若α ,β∈(−π2 ,π2)，且tanα ,tanβ是方程x2+43x+5=0的两个根，则α+β= .
【解析】由已知可得tanα+tanβ=−43，tanα⋅tanβ=5，
∴tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanα⋅tanβ=−431−5=3．
∵α ,β∈(−π2 ,π2)，且tanα<0， tanβ<0，
∴α ,β∈(−π2 ,0)，则α+β∈(−π ,0)，
∴α+β=−2π3．
【点拨】注意考虑角度的范围.
【典题4】已知sinα−sinβ=−13 ,csα+csβ=12，则cs(α+β)= ．
【解析】已知两等式分别平方得sinα－sinβ2=sin2α−2sinαsinβ+sin2β=19①，
csα+csβ2=cs2α+2csαcsβ+cs2β=14 ②，
①+②得：2+2(csαcsβ−sinαsinβ)=1336，
即csαcsβ−sinαsinβ=−5972，
则csα+β=csαcsβ−sinαsinβ=−5972．

【典题5】 设0<β<α<π2 ,tan(a−β)+tanβ=1csβ，则( )
A．2α+β=π2B．2α−β=π2C．a+2β=π2D．α−2β=π2
【解析】由题意知，tan(α－β)+tanβ=1csβ，
即sin(α−β)cs(α−β)+sinβcsβ=1csβ， (正切化弦)
等式两边同乘以cs(α－β)csβ，得sin(α－β)csβ+cs(α－β)sinβ=cs(α－β)，
所以sinα=cs(α－β)，
即cs(π2−α)=cs(α－β)；(化为同一函数名)
又0<β<α<π2，
所以π2−α∈(0 ,π2)，0<α−β<π2，(注意角度的范围限制)
所以π2−α=α－β，所以2α－β=π2．
故选：B．
【点拨】遇到含正切与正弦余弦的等式，可采取“切化弦”的方法.
【典题6】 在△ABC中，tanA+tanB+3=3tanAtanB，sinAcsB=34，则△ABC的形状为 ．
【解析】∵tanA+tanB+3=3tanAtanB，
∴tan(A+B)=tanA+tanB1−tanAtanB=3⋅(tanAtanB−1)1−tanAtanB=−3=−tanC，
∴tanC=3，∴C=π3，A+B=2π3．
又sinAcsB=34，
∴sinC=sin(A+B)=sinAcsB+csAsinB=32，
∴csAsinB=34，∴sinA﹣B=sinAcsB−csAsinB=0，
∴A=B，
∴△ABC为等边三角形.
【点拨】在三角形△ABC中，sinC=sin⁡(A+B)，csC=−cs⁡(A+B).
巩固练习
1(★) sin80°cs50°+cs140°sin10°= ．
【答案】 12
【解析】sin80°cs50°+cs140°sin10°=cs10°cs50°－sin50°sin10°
=cs(50°+10°)=cs60°=12．
2(★) 若sinα=35，且α∈(π2 ,π)，则tan(α+π4)= ．
【答案】 17
【解析】若sinα=35，且α∈(π2,π)，则csα=−1−sin2α=−1−(35)2=−45，
所以tanα=sinαcsα=35−45=−34，
所以tan(α+π4)=tanα+tanπ41−tanαtanπ4=−34+11−(−34)×1=17．
3(★) 已知：α ,β均为锐角，tanα=12，tanβ=13，则α+β= ．
【答案】 π4
【解析】由于α，β均为锐角，tanα=12，tanβ=13，
所以0<α+β<π2+π2=π．
所以tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβ=12+131−16=1．
所以α+β=π4．
4 (★★) 在△ABC中，csA+sinA=15，则tan(A−π4)= ．
【答案】 7
【解析】因为△ABC中，csA+sinA=15，
∴cs2A+sin2A+2sinAcsA=125⇒sinAcsA=−1225；
∴csA<0；
csA=−1−sin2A=−1−(15−csA)2；
∴csA=−35，(45舍)；
故sinA=45； tanA=−43；
∴tan(A−π4)=tanA−tanπ41+tanAtanπ4=−43−11+(−43)×1=7.
5(★★★) 设α=70°，若β∈(0，π2)，且tanα=1+sinβcsβ，则β= ．
【答案】 500
【解析】由tanα=1+sinβcsβ得，
sinαcsβ=csα+csαsinβ，sin(α−β)=csα=sin(π2−α)，
因为β∈(0,π2)，α=70°，所以α−β∈(−π2,π2)，π2−α∈(0,π2)，
由sin(α−β)=csα=sin(π2−α)，得α−β=π2−α,2α−β=π2，
所以β=50°．
6 (★★★) 设α ,β∈(0 ,π2)，sinαcsβ=3sinβcsα，则α−β的最大值为 ．
【答案】π6
【解析】由sinαcsβ=3sinβcsα可得tanα=3tanβ，
∵α,β∈(0,π2)，
所以tan(α−β)=tanα−tanβ1+tanαtanβ=2tanβ1+3tan2β=23tanβ+1tanβ≤223tanβ⋅1tanβ=33，
当且仅当3tanβ=1tanβ即tanβ=33，tanα=3时取等号，此时α－β取得最大值π6．
7(★★★) 已知锐角α,β满足α−β=π3，则1csα∙csβ+1sinα∙sinβ的最小值为 ．
【答案】 8
【解析】因为锐角α,β满足α−β=π3，
所以cs(α﹣β)=csαcsβ+sinαsinβ=12，
令x=csαcsβ，y=sinαsinβ，则x+y=12，
由题意得x>0，y>0，
则1csαcsβ+1sinαsinβ=1x+1y=2x+y1x+1y
=2(2+yx+xy)≥2(2+2xy⋅yx)=8，
当且仅当x=y时取等号，此时1csαcsβ+1sinαsinβ的最小值8．
【题型二】角的变换
【典题1】 若sin(α+π5)=−13，α∈(0 ,π)，则cs(π20−α)= ．
【解析】 ∵α+π5+π20−α=π4， ∴π20−α=π4−(α+π5)，
∵α∈(0 ,π)，∴α+π5∈(π5 ,6π5)，
又sin(α+π5)=−13<0，即α+π5在第三象限，(注意角度的范围)
∴cs(α+π5)=−223，
则cs(π20−α)=cs[π4−(α+π5)]=22×(−223)+22×(−13)=−4−26．
【点拨】
① 因为已知角α+π5和所求角π20−α中α的系数是相反数，故想到两角和α+π5+π20−α=π4是特殊角为关键，则有π20−α=π4−(α+π5).
② 在角的变换中，要注意已知角与所求角之间的和差是否为定值.
【典题2】若sin2α=55，sin(β−α)=1010，且α∈[π4 ,π]，β∈[π ,3π2]，则α+β的值是 .
【解析】(找到已知角2α、β−α与所求角α+β之间的关系α+β=2α+(β−α))
则cs(α+β)=cs[2α+(β−α)]=cs2α∙cs(β−α)－sin2α∙sin(β−α)
(求sin(α+β)也k，还要求cs2α，cs(β−α))
∵α∈[π4 ,π]，∴2α∈[π2 ,2π]，
又0∴cs2α=−1−sin22α=−255；
∵2α∈(5π6 ,π)⇒α∈(5π12 ,π2)，β∈[π ,3π2]，
∴β−α∈(π2 ,13π12)，
∴cs(β−α)=−1−sin2(β−α)=−31010，
(确定2α与β−α的范围，以确定cs2α和cs(β−α)的正负号)
∴cs(α+β)=−255×(−31010)−55×1010=22，
又α∈(5π12 ,π2)，β∈[π ,3π2]，
∴(α+β)∈(17π12 ,2π)，
∴α+β=7π4.
【典题3】已知α,β∈(0,π2)，sin(2α+β)=2sinβ，则tanβ的最大值为 .
【解析】∵α,β∈(0,π2)，sin(2α+β)=2sinβ，
∴sin[(α+β)+α]=2sin[α+β−α]，
∴sin(α+β)csα+cs(α+β)sinα=2[sinα+βcsα−cs(α+β)sinα]，
即3cs(α+β)sinα=sin(α+β)csα，
∴tan(α+β)=3tanα，即tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanα⋅tanβ=3tanα，
化简整理得tanβ=2tanα1+3tan2α=21tanα+3tanα≤221tanα⋅3tanα=33，
当且1tanα=3tanα，即tanα=33，等号成立，tanβ取得最大值33．
巩固练习
1 (★★) 已知0<α<β<π2，且cs(α−β)=6365 ，sinβ=1213，则sinα= ．
【答案】 45
【解析】∵已知0<α<β<π2，且cs(α−β)=6365,sinβ=1213，
∴α－β∈(−π2,0)，sin(α－β)=−1−cs2(α−β)=−1665，csβ=1−sin2β=513．
∴sinα=sin[(α－β)+β]=sin(α－β)csβ+cs(α－β)sinβ
=−1665•513+6365•1213=676845=45，
2 (★★) 若α ,β∈(0 ,π)，cs(α−β2)=−1213，sin(α2−β)=45，则sinα+β2= ．
【答案】 6365
【解析】由于α,β∈(0,π)，
所以0<α2<π2，－π<－β<0，0<β2<π2，
故−π<α2−β<π2，−π2<α−β2<π，
且sin(α2−β)=45，cs(α−β2)=−1213，
故cs(α2−β)=35．sin(α−β2)=513，
所以sinα+β2=sinα−β2−α2−β
=sin(α−β2)cs(α2−β)−cs(α−β2)sin(α2−β)=6365，
3 (★★) 若0<α<π2，−π2<β<0， cs(π4+α)=13，cs(π4−β2)=33，则cs(α+β2)= ．
【答案】 539
【解析】∵0<α<π2，−π2<β<0，
∴π4<π4+α<3π4，π4<π4−β2<π2
∴sin(π4+α)=1−19=223，sin(π4−β2)=1−13=63
∴cs(α+β2)=cs[(π4+α)－(π4−β2)]
=cs(π4+α)cs(π4−β2)+sin(π4+α)sin(π4−β2)=539.
4 (★★) 已知csα=255，tan(α−β)=−13，α ,β均为锐角，则β= ．
【答案】 π4
【解析】因为α为锐角，且csα=255，
所以sinα=1−cs2α=55，tanα=sinαcsα=12，
又因为tan(α－β)=−13，
于是tanβ=tan[α−(α−β)]=tanα−tan(α−β)1+tanαtan(α−β)=12−(−13)1+12(−13)=1，
又β为锐角，所以β=π4．
5 (★★) 已知csα=255，cs(β−α)=31010，且0<α<β<π2，则β的值 ．
【答案】 π4
【解析】∵0<α<β<π2，∴0<β−α<π2
∵cs(β−α)=31010，∴sinβ−α=1010
∴tan(β−α)=sin(β−α)cs(β−α)=101031010=13，由(1)得tanα=12
则tanβ=tanα+β−α=tanα+tan⁡(β−α)1−tanαtan⁡(β−α)=12+131−12×13=1
由0<β<π2得，β=π4
6 (★★) 若sin2α=55，sin(β−α)=1010，且α∈π4 ,π，β∈[π ,3π2]，则α+β的值是 ．
【答案】 7π4
【解析】∵α∈[π4,π]，β∈[π,3π2]，∴2α∈[π2,2π]，
又0∴2α∈(5π6,π)，即α∈(5π12,π2)，∴β−α∈(π2,13π12)，
∴cs2α=−1−sin22α=−255；
又sin(β﹣α)=1010，∴β−α∈(π2,π)，
∴cs(β﹣α)=−1−sin2(β−α)=−31010，
∴csα+β=cs2α+β﹣α=cs2αcsβ−α−sin2αsin⁡(β−α)
=−255×(−31010)−55×1010=22．
又α∈(5π12,π2)，β∈[π,3π2]，
∴(α+β)∈(17π12,2π)，∴α+β=7π4，
【题型三】辅助角公式的运用
【典题1】 若π4<α<β<π2，sinα+csα=a，sinβ+csβ=b ,则a，b的大小关系是 ．
【解析】化简可得a=sinα+csα=2sin(α+π4)，b=sinβ+csβ=2sin(β+π4)，
∵π4<α<β<π2 ,∴π2<α+π4<β+π4<3π4，
由正弦函数的单调性可知a>b.
【点拨】熟记sinx±csx=2sin⁡(x±π4).
【典题2】 设当x=θ时，函数f(x)=2sinx+csx取得最小值，则cs(θ+π4)= ．
【解析】对于函数f(x)=2sinx+csx=5sin(x+φ)，
其中csφ=25 ,sinφ=15，φ为锐角．
当x=θ时，函数取得最小值，∴5sin(θ+φ)=−5，
即sinθ+φ=−1，
故可令θ+φ=−π2+2kπ (k∈Z)，即θ=−π2−φ+2kπ，
故 csθ+π4=cs−π4−φ+2kπ=csφ+π4
=22csφ−22sinφ=22(25−15)=1010，
故答案为：1010．
【点拨】
① 辅助角公式asinx+bcsx=a2+b2 sinx+φ ，要理解其中φ的含义tan φ=ba.
② 涉及到三角函数fx=asinx+bcsx的性质问题(比如单调性、对称性、最值等)，往往要通过辅助角公式把函数y=fx转化为fx=Asin(ωx+φ)的形式.
【典题3】 已知函数f(x)=2sinx－acsx图象的一条对称轴为x=−π6，f(x1)+f(x2)=0，且函数f(x)在(x1 ,x2)上单调，则|3x1+2x2|的最小值为 .
【解析】由题意，f(x)=2sinx−acsx=4+a2sin(x+θ)，θ为辅助角，
因为对称轴x=−π6，所以f(−π6)=−1−32a，
即4+a2=|−1−32a|，(三角函数对称轴对应的y值是最值)
解得a=23，
所以f(x)=4sin(x−π3)，对称轴方程为x=−π6+kπ(k∈Z)，
又因为f(x)在(x1 ,x2)上具有单调性，且f(x1)+f(x2)=0，
设A(x1 ,f(x1))，B(x2 ,f(x2))，则线段AB的中点为函数f(x)的对称中心，
所以x1+x2=2kπ+2π3(k∈Z)，
3x1+2x2=2x1+x2+x1=4kπ+4π3+x1
显然当k=0，x1=−π6时，即x1=−π6，x2=5π6时取最小值7π6.
(结合函数图像分析)

巩固练习
1(★★) 已知函数f(x)=|3sinωx−csωx| (ω>0)的最小正周期为π，则ω= ．
【答案】 1
【解析】因为函数f(x)=|3sinωx−csωx|=|2sin(ωx−π6)|；
故其最小正周期为：12×2πω=π⇒ω=1.
2(★★) A ,B ,C是△ABC的内角，其中B=2π3，则sinA+sinC的取值范围是 ．
【答案】 (32 ,1]
【解析】sinA+sinC=sinA+sin(π3−A)=sinA+32csA−12sinA
=12sinA+32csA=sin(A+π3)．
∵A∈(0,π3)，∴A+π3∈(π3,2π3)，
∴sin(A+π3)∈(32,1].
3(★★) 若函数f(x)=sin2x−3cs2x在[0 ,t]上的值域为[−3 ,2]，则t的取值范围为 ．
【答案】 [5π12 ,5π6]
【解析】f(x)=sin2x−3cs2x=2sin(2x−π3)
当x=0时，函数值是−3；
当x=5π12时，函数值是2；
当x=5π6时，函数值是−3；
又函数在[0,5π12]上增，在[5π12,5π6]上减，可得t的取值范围[5π12,5π6]．
4(★★★) 已知函数f(x)=sinωx+csωx(ω>0)在(π6，5π12)上仅有1个最值，且是最大值，则实数ω的取值范围为 ．
【答案】 (35,32)
【解析】因为f(x)=sinωx+csωx=2sin(ωx+π4)，
又函数f(x)在(π6,5π12)上仅有1个最值，且是最大值，
所以πω6+π4<π2+2kπ<5πω12+π4，k∈z，且5π12−π6≤12T=πω，
解可得，35+24k5<ω<32+12k，且ω≤4，
从而有35<ω<32.
5(★★★)已知函数f(x)=2sin(ωx+π6)+acsωx(a>0 ,ω>0)对任意的x1 ,x2∈R，都有f(x1)+f(x2)≤43，若f(x)在[0 ,π]上的值域为[3 ,23]，则实数ω的取值范围为 ．
【答案】 [16 ,13]
【解析】f(x)=3sinωx+(1+a)csωx=3+(1+a)2sin(ωx+ϕ)，其中tanϕ=1+a3，
又题意f(x)的最大值为23，1+a2=9，a>0，∴a=2，
f(x)=23sin(ωx+π3)
若f(x)在[0,π]上的值域为[3,23]，π2≤ωπ+π3≤2π3，∴16≤ω≤13.