2024年江苏省南通市海门区中考二模数学试题（原卷版+解析版）

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1．本试卷共6页，满分150分，考试时间为120分钟．
2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题卡上指定的位置．
3．答案必须按要求填涂、书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上答题一律无效．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1. 在，，0，1中，最小的数是（ ）
A. B. C. 0D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】此题主要考查了有理数的比较大小，根据正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数，两个负数绝对值大的反而小的原则解答．根据正数大于0，0大于负数，正数大于负数直接进行比较大小，再找出最小的数．
【详解】解：∵，
∴最小的是．
故选：A．
2. 若一个数用科学记数法表示为，则这个数是（ ）
A. 39600B. 396000C. 0.0000396D. 0.00000396
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：．
故选：B．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了积的乘方运算，合并同类项以及同底数幂的乘法运算，单项式乘以多项式，正确掌握相关运算法则是解题的关键．直接利用以上运算法则分别计算得出答案即可．
【详解】解：A． ，故此选项错误；
B． ，故此选项错误；
C． ，故此选项错误；
D． ，故此选项正确
故选：D
4. 若点C是线段的中点，且，则的长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据中点的概念，即可解答．
【详解】解：∵点C是线段的中点，且，
，

故选：D．
【点睛】本题考查了中点的概念，即把线段分成两条相等的线段的点叫做线段的中点，熟知概念是解题的关键．
5. 如图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：cm），根据图中所示数据可计算出该几何体的侧面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题主要考查了由三视图确定几何体和求圆柱体的侧面积．根据三视图确定该几何体是圆柱体，再计算圆柱体的侧面积．
【详解】解：由三视图可知该几何体是圆柱体，它的底面直径是，高是．
所以该几何体的侧面积为．
故选：A．
6. 如图，，，，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质以及三角形外角的性质，根据平行线得到，再根据三角形外角的性质即可得到结论．
【详解】
故选：B．
7. 若点，都在函数的图象上，则下列关于和的大小关系描述正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质．直接代入求出和，即可求解．
【详解】解： ∵点，都在反比例函数的图象上，
∴，，
∴，
故选：A．
8. 若关于的不等式组的解集中至少有1个整数解，则整数a的最小值为（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式组．熟练掌握解一元一次不等式组是解题的关键．
解不等式组可得，，由关于的不等式组的解集中至少有1个整数解，可得，计算求解，然后作答即可．
【详解】解：，
，
解得，，
，
解得，，
∵关于的不等式组的解集中至少有1个整数解，
∴，
解得，，
∴整数a的最小值为1，
故选：C．
9. 已知x，y满足，且，．若，则k的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，
先解关于x，y的方程组：，得到，再根据，，得到关于的不等式组，解不等式组即可得到答案．
【详解】解关于x，y的方程组：，
解得：，
，，
，
解得：，
的取值范围为：，
故选：C．
10. 如图1，等腰中，，，点D从点B出发，沿方向运动，于点E，的面积随着点D的运动形成的函数图象（拐点左右两段都是抛物线的一部分）如图2所示，以下判断正确的是（ ）
A. 函数图象上点的横坐标表示的长
B. 当点D为的中点时，点E为线段的三等分点
C. 两段抛物线的开口大小不一样
D. 图象上点的横坐标为3时，纵坐标为
【答案】D
【解析】
【分析】第二个图形中点在两段函数中，是关键点．结合第一个图形，可得此时点D移动到点C，E在AB的中点，那么．．可得．判断A选项；作于点H．可得，根据相似三角形的判定与性质可得E为的四等分点，从而判断B选项；分为当D在上时及当D在上时，两种情况分别求出函数解析式，从而判断C选项；把代入当D在上时的函数解析式中可求得面积的值，判断出D选项．
【详解】解：∵点在两段函数中，即点D与点C重合时．
∵等腰中，，，，
∴．
∴．
∴．
∴点横轴表示的长，故A错误；
如图，作于点H．
又∵是等腰三角形，
∴．
∵，
∴．
，
∵D为中点，
，
∴．
∴．
∴点E为线段的四等分点，故B错误；
当D在上时，为x，则，
∴，
当D在上时，为x，则，
∴．
∵两个二次函数的二次项的比例系数的绝对值相等，
∴两段抛物线的开口大小一样，故C错误；
当时，点D在上，
∴，故D正确．
故选D
【点睛】本题考查动点问题的函数图象．得到拐点在图形中表示的意义是解决本题的关键．用到的知识点为：若两个二次函数中二次项的比例系数的绝对值相等，则两个二次函数的形状相同．
二、填空题（本大题共8小题，第11~12题每小题3分，第13~18题每小题4分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
11. 计算的结果是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式的性质和乘法法则化简即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的性质，解题的关键是灵活运用运算法则．
12. 分解因式：______．
【答案】
【解析】
【分析】直接提取公因式3，再利用平方差公式分解因式即可．
【详解】解：
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用公式法分解因式是解题关键．
13. 若单项式的系数是m，次数是n，则的值为____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了单项式有关概念，正确把握定义是解题关键．根据单项式的次数与系数的定义分别得出m，n的值，进而得出答案．
【详解】解：∵单项式的系数是m，次数是n，
∴，，
∴，
故答案为：
14. 海门一周内每天的最高气温分别为（单位：）：25，26，26，28，27，24，25．这组数据的中位数是____．
【答案】26
【解析】
【分析】本题考查了中位数的定义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．根据中位数的定义即可得出答案．
【详解】解：将海门一周内每天的最高气温从小到大排列为：24，25，25，26，26，27，28，
中位数为：26，
故答案为：26
15. 若点，则点关于点的对称点的坐标是_____．
【答案】
【解析】
【分析】由于点关于点的对称点为，则为的 中点，利用中点坐标公式即可求解．
【详解】解：点关于点的对称点为，
为的中点，
设的坐标为，
，
，
，，
的坐标是．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了坐标与图形的变化，解题的关键是熟练掌握中点坐标公式．
16. 若圆锥的底面半径为2，母线长为5，则该圆锥的侧面积为____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了圆锥的侧面积．熟练掌握圆锥的侧面积公式是：，其中S为侧面积，r为圆锥底面的半径，l为圆锥的母线长是解题的关键．
根据圆锥的侧面积为，其中S为侧面积，r为圆锥底面的半径，l为圆锥的母线长，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，圆锥侧面积为，
故答案为：．
17. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，B分别落在x轴，y轴上，点C，D分别落在函数与的图象上．若，且，则k的值为____．
【答案】##0.4
【解析】
【分析】作轴于点M，轴于点E，轴于点F，根据题意，易证，，设，利用勾股定理、相似三角形和全等三角形的性质表示出点D的坐标，从而求出a，进而求出点C的坐标，根据反比例函数的性质即可得到答案．
【详解】解：如图，作轴于点M，轴于点E，轴于点F，
四边形是矩形，
，，
，
，，
，
，
，
设，则，，
，
，
，即，
由勾股定理有，即，
，
，
，
，，
，
，
点D在函数的图象上，
，
（舍负），
，，，
，
，
，
，
故答案：．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理等，解题关键是灵活运用相关知识数形结合解决问题．
18. 如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴分别交于A，B两点．点P为直线上一动点，连接．将线段绕点O顺时针旋转得线段，以，为一组邻边构造平行四边形．连接，则线段的最小值为____．
【答案】
【解析】
【分析】“瓜豆模型”主要用于解决动点问题，在这个模型中，有两个动点，一个动点（母点）的运动轨迹是确定的，另一个动点（子点）的运动轨迹与母点的运动轨迹相关，且子点的运动轨迹是由母点的运动轨迹所确定的．本题母点为点P，在直线上移动，OP绕点O顺时针旋转90°得线段，所以点Q运动轨迹也是一条直线．然后根据A，B两点确定点Q运动轨迹的两点可得出该解析式，点H坐标．最后再根据勾股定理和一元二次方程的知识点求出最小值即可．
【详解】始终为，
当点P移动到B点的位置时，点Q坐标为，
当点P移动到A点的位置时，点Q坐标为，
设点M坐标为，设点N坐标为，
连接，设该直线的解析式为：，代入点M、点N，
得：，解得，
．
设，
由平行四边形的性质可得：，
当时，的值最小，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数的解析式、勾股定理解直角三角形、一元二次方程、平行四边形的性质以及平面直角坐标系，掌握“瓜豆模型”找到点Q的运动轨迹是一条直线是解题关键．
三、解答题（本大题共8小题，共90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19. （1）先化简，再求值：，其中；
（2）解不等式组，并利用数轴确定不等式组的解集．
【答案】（1），；（2），数轴见解析
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简求值，解一元一次不等式组，熟练掌握分式混合运算法则以及解不等式组的方法和步骤是解题的关键．
（1）先将括号内通分，将除法改写为乘法，分子分母能因式分解的先因式分解，再进行计算，最后将x的值代入求值即可；
（2）分别求出两个不等式的解集，再画出数轴，根据数轴即可写出不等式组的解集．
【详解】（1）解：
，
把代入上式，
原式．
（2）解：，
由①得，
由②得，
画出数轴如图所示，

由数轴可知不等式组的解集为．
20. 在庆祝龙年的元旦联欢会上，九年级班进行抽奖活动，活动规则如下：将4张正面标有龙、蛇、马、羊的纸牌（纸牌反面完全相同）洗匀后，反面朝上放在桌子上，参与者每次随机从中抽取两张纸牌，若抽到“龙”和“马”，即组成“龙马精神”这个寓意美好的成语，则参与者可获得奖品．
（1）王小虎随机抽出一张纸牌，抽到“龙”牌概率是_____________；
（2）小马同学决定参加游戏，请用树状图或列表法说明小马同学获得奖品的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】此题考查了概率公式和树状图或列表法求概率，熟练掌握树状图或列表法求概率是解题的关键．
（1）利用概率公式进行解答即可；
（2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出小马同学获得奖品的结果数，然后根据概率公式求解．
【小问1详解】
解：将4张正面标有龙、蛇、马、羊的纸牌（纸牌反面完全相同）洗匀后，反面朝上放在桌子上，王小虎随机抽出一张纸牌，抽到“龙”牌的概率是，
故答案为：
【小问2详解】
画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中小马同学获得奖品的结果数为2，
所以小马同学获得奖品的概率．
21. 某校组织七、八年级各200名学生进行“交通法规知识测试”（满分100分）．现分别在七、八年级中各随机抽取10名学生的测试成绩x（单位：分）进行统计，整理与分析如下：
测试成绩频数统计表
测试成绩分析统计表
根据以上信息，解答下列问题：
（1）规定分数不低于80分记为“优秀”，估计这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数一共是多少？
（2）根据以上的数据分析，任选两个角度评价七、八两个年级的学生掌握交通法规知识的水平情况．
【答案】（1）320人
（2）见解析
【解析】
【分析】本题考查的是从统计表中获取信息，中位数，众数，平均数，方差的含义，掌握基础的统计知识是解本题的关键；
（1）利用总人数乘以各自年级的优秀率，再求和即可；
（2）从平均数与中位数的角度出发分析即可．
【小问1详解】
解： （人），
（人），
∴（人）
答：达到“优秀”的学生共有320人．
【小问2详解】
从平均数看，均为84，说明两个年级的学生对交通法规知识的掌握水平大体相当；
从中位数看，七年级略高于八年级，说明七年级的学生对交通法规知识的掌握水平略高于八年级学生．
22. 小明正在思考一道几何证明题：如图1，在正方形中，点E，F在对角线上，连接，且．求证：四边形是菱形．
请指出小明想法中的错误之处，并按小明的思路，写出正确的证明．
【答案】小明的第一步有错，正确证明见解析
【解析】
【分析】由，可得，则．如图2，连接，交于点，由正方形，可得，，，证明，则，．进而可证四边形是平行四边形，由，可证四边形是菱形．
【详解】解：小明的第一步有错，用“”不能证明．
证明：∵，
∴，
∴．
如图2，连接，交于点，
正方形，
∴，，，，
∴．
在和中，
∵ ，
∴，
∴，
∴，即．
∵，，
四边形是平行四边形．
又∵，
四边形是菱形．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，菱形的判定等知识．熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，菱形的判定是解题的关键．
23. 如图，的半径为5，弦，互相垂直，垂足为点E．点F在上，且．连接，，．

（1）求的度数；
（2）求长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，圆周角定理的应用，锐角三角函数的应用，弧长的计算，掌握以上基础知识是解本题的关键．
（1）如图1，连接．证明，再结合，证明，从而可得结论；
（2）如图2，连接．由，求解，连接，，，再利用弧长公式计算即可．
【小问1详解】
解：如图1，连接．

与都是所对的圆周角，
．
又，
．
又，
，
．
【小问2详解】
解：如图2，连接．

，
，
在中，
，
．
连接，，
，
的长
；
24. 某商店销售某种商品的进价为每件30元，这种商品在近60天中的日销售价与日销售量的相关信息如下表：
（，x为整数）
设该商品的日销售利润为w元．
（1）直接写出w与x的函数关系式__________________；
（2）该商品在第几天的日销售利润最大？最大日销售利润是多少？
【答案】（1）
（2）该商品在第26天的日销售利润最大，最大日销售利润是1296元
【解析】
【分析】（1）根据利润=单个利润×数量可进行求解；
（2）由（1）分别求出两种情况下的最大利润，然后问题可求解．
【小问1详解】
解：由题意得：
当时，则；
当时，则；
∴；
【小问2详解】
解：当时，；
∵抛物线开口向下，对称轴为直线，
∴当时，（元）．
当时，，随增大而减小，
∴当时，（元）．
∵，
∴该商品在第26天的日销售利润最大，最大日销售利润是1296元．
【点睛】本题主要考查二次函数与一次函数的应用，熟练掌握一次函数与二次函数的性质是解题的关键．
25. 直观感知：
（）如图，在四边形中，是等边三角形，，，将绕点顺时针旋转得，点与点重合，点的对应点是点．补全图形，并直接写出的度数；
类比探究：
（）如图，在四边形中，，，，，，求的长．
拓展运用：
（）如图，在四边形中，，，，，，在的变化过程中时，求的最大值．
【答案】（）补图见解析，；（）；（）．
【解析】
【分析】（）根据题意补全图形即可，设相交于点，由旋转得，由等边三角形的性质得，即得，得到，由三角形内角和定理得，再根据三角形外角性质即可得到的度数；
（）将绕点顺时针旋转得，点与点重合， 点的对应点是点，连接，可得是等腰直角三角形，得到，，，进而得，再利用勾股定理即可求解；
（）将各边扩大到倍，绕点顺时针旋转的度数，得，点与点重合，点的对应点是点，连接，可得，得到，，进而得，得到，即得，利用勾股定理得，由三角形三边性质得当点共线时，此时最大，也最大，的最大值为，此时，据此即可求解．
【详解】解：（）补图如下：
设相交于点，
由旋转可得，，
∵为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（）将绕点顺时针旋转得，点与点重合， 点的对应点是点，连接，

∴，
∴，，，
∴等腰直角三角形，
∴，，，
∵ ，
∴，
∴，
∴；
（）将各边扩大到倍，绕点顺时针旋转的度数，得，点与点重合，点的对应点是点，连接，
∴ ，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴
∵，
当点共线时，此时最大，也最大，
∴的最大值为，此时，
∴，
即的最大值．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，三角形的外角性质和内角和定理，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角函数，三角形的三边性质，正确作出辅助线是解题的关键．
26. 二次函数的图象与x轴分别交于点A，B（点A在点B的左边），与y轴交于点C．点D是二次函数在第一象限图象上的一动点，过点D作轴，交二次函数图象于另一点E．作点D关于y轴的对称点P．
（1）求的长；
（2）若是边长为1的等边三角形，求二次函数的解析式；
（3）求的值的最大值．
【答案】（1）2 （2）
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数综合，等边三角形的性质，平行四边形的性质与判定，勾股定理等等：
（1）先求出，，进而求出对称轴为直线，设，则，，则；
（2）先求出，推出点C在线段的垂直平分线上，得到，则，如图所示，过点C作于H，求出，则，解方程即可得到答案；
（3）设点的坐标为．证明四边形是平行四边形．推出，则当时，的值有最大值．
【小问1详解】
解：
，．
对称轴为直线．
设，则．
利用抛物线的对称性可知：，
．
为2．
【小问2详解】
解：是边长为1的等边三角形，，轴，
∴点C在线段的垂直平分线上，
∴，
∴
，
如图所示，过点C作于H，
∴,
∴，
∴，
解得．
二次函数解析式为．
【小问3详解】
解：设点的坐标为．
点，
．
，
，
又∵，
四边形是平行四边形．
，，
当时，的值有最大值．七年级
3
4
3
八年级
1
7
2
平均数
中位数
众数
方差
七年级
84
85
90
61
八年级
84
84
84
18.4
小明是这样想的：
第一步：由，，，可证明，得；
第二步：连接（如图2），交于点O，可证得，，进而可得四边形是平行四边形；
第三步：由，四边形是平行四边形，可得四边形是菱形．
时间：第x（天）
日销售价（元/件）
50
日销售量（件）