2024届高考数学冲刺模拟卷19（B卷较难版）

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注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．在复数范围内，方程的解有（ ）
A．个B．个C．个D．无数个
2．已知，若，则（ ）
A．－32B．1C．32D．1或－32
3．设为抛物线C：上的动点，关于的对称点为，记到直线、的距离分别、，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
4．现有随机事件件A，B，其中，则下列说法不正确的是（ ）
A．事件A，B不相互独立B．
C．可能等于D．
5．已知四面体中，，点在线段上，过点作，垂足为，则当的面积最大时，四面体外接球的表面积与四面体外接球的表面积之比为（ ）
A．B．C．D．
6．已知数列满足，满足，，则下列成立的是（ ）
A． B． C．D．以上均有可能
7．已知圆台的母线长为，，分别为上、下底面的直径，，，且与不平行，则四面体体积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数在有且仅有两个零点，且，则图象的一条对称轴是（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．设为复数，且，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
10．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．是偶函数； B．的最小正周期为；
C．在区间上单调递增；
D．若方程在有四个不同的实根，则这四个实根之和为或．
11．下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（ ）
A．直径为的球体B．所有棱长均为的四面体
C．底面直径为，高为的圆柱体D．底面直径为，高为的圆锥
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知函数的图象与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，则的外接圆E的方程是 ．
13．甲、乙、丙3人从1楼上了同一部电梯，已知人都在至层的某一层出电梯，且在每一层最多只有两人同时出电梯，从同一层出电梯的两人不区分出电梯的顺序，则甲、乙、丙人出电梯的不同方法总数是 ．
14．若存在正实数x，y，z满足，且，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．在中，，，分别是角，，所对的边，点在边上，且满足，．
(1)求的值；
(2)若，求．
16．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别为AB、BC的中点，将，分别沿DE、DF折起，使A，C两点重合于P，连接EF，PB.

(1)点M是PD上一点.若平面EFM，则为何值？并说明理由；
(2)点M是PD上一点，若，求二面角的余弦值.
17．近年来，某大学为响应国家号召，大力推行全民健身运动，向全校学生开放了两个健身中心，要求全校学生每周都必须利用课外时间去健身中心进行适当的体育锻炼.
(1)该校学生甲､乙､丙三人某周均从两个健身中心中选择其中一个进行健身，若甲､乙､丙该周选择健身中心健身的概率分别为，求这三人中这一周恰好有一人选择健身中心健身的概率；
(2)该校学生丁每周六､日均去健身中心进行体育锻炼，且这两天中每天只选择两个健身中心的其中一个，其中周六选择健身中心的概率为.若丁周六选择健身中心，则周日仍选择健身中心的概率为；若周六选择健身中心，则周日选择健身中心的概率为.求丁周日选择健身中心健身的概率；
(3)现用健身指数来衡量各学生在一个月的健身运动后的健身效果，并规定值低于1分的学生为健身效果不佳的学生，经统计发现从全校学生中随机抽取一人，其值低于1分的概率为0.12.现从全校学生中随机抽取一人，如果抽取到的学生不是健身效果不佳的学生，则继续抽取下一个，直至抽取到一位健身效果不佳的学生为止，但抽取的总次数不超过.若抽取次数的期望值不超过3且，求的最大值.
参考数据：.
18．已知数列的前n项和（），数列．
（Ⅰ）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
（Ⅱ）设数列的前n项和为，证明：且时，；
（Ⅲ）设数列满足，（为非零常数，），问是否存在整数，使得对任意 ，都有？
19．已知以下事实：反比例函数（）的图象是双曲线，两条坐标轴是其两条渐近线．
(1)（ⅰ）直接写出函数的图象的实轴长；
（ⅱ）将曲线绕原点顺时针转，得到曲线，直接写出曲线的方程．
(2)已知点是曲线的左顶点．圆：（）与直线：交于、两点，直线、分别与双曲线交于、两点．试问：点A到直线的距离是否存在最大值？若存在，求出此最大值以及此时的值；若不存在，说明理由．