【冲刺2024数学】中考真题（2023鄂州）及变式题（湖北鄂州2024中考专用）解答题部分

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【答案】，．
【分析】根据题意，先进行同分母分式加减运算，再将代入即可得解．
【详解】解：原式
，
当时，原式．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的加减，约分等相关计算法则是解决本题的关键．
2．先化简，再求值：，其中．
【答案】；
【分析】根据同分母分式的减法进行计算化简，然后将代入即可求解．
【详解】解：
；
当时，原式．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．
3．先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】根据异分母分式的加法法则计算括号内的运算，同时利用除法法则变形，分子、分母能因式分解的进行因式分解，然后约分化简，再代入求值即可．
【详解】解：原式
；
当时，原式．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则以及因式分解是解题的关键．
4．先化简、再求值：，其中．
【答案】，
【分析】根据题意，对分式先进行通分，分母通成，然后加减再约分得到，再将代入即可得解．
【详解】解：原式=
当时，原式=．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的加减，通分，约分等相关计算法则是解决本题的关键．
5．先化简，再求值：，其中a＝2．
【答案】，5
【分析】先把分子分母因式分解，再约分得到同分母的加法运算，计算化简后代a的值计算即可．
【详解】解：原式=，
=，
=，
当a＝2时，
上式=．
【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
6．先化简，再求值：，其中．
【答案】；-1.
【分析】先将括号里的分式通分再相减，再将根据分式的除法法则进行计算化简，最后将a的值代入计算即可.
【详解】解：原式=，
=，
=，
=，
把代入上式可得：
原式=-1.
【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解决本题的关键是要熟练掌握分式的通分减法和除法法则.
7．如图，点E是矩形的边上的一点，且．

(1)尺规作图（请用铅笔）：作的平分线，交的延长线于点F，连接．（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)试判断四边形的形状，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)四边形是菱形，理由见解析
【分析】（1）根据题意结合尺规作角平分线的方法作图即可；
（2）根据矩形的性质和平行线的性质得出，结合角平分线的定义可得，则，然后根据平行四边形和菱形的判定定理得出结论．
【详解】（1）解：如图所示：

（2）四边形是菱形；
理由：∵矩形中，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴平行四边形是菱形．
【点睛】本题主要考查了尺规作角平分线，矩形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，平行四边形的判定以及菱形的判定等知识，熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题的关键．
8．如图，在四边形中，，．

(1)作的平分线交于点E（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，连接．请判断四边形的形状，并给出证明过程．
【答案】(1)详见解析
(2)四边形是菱形．理由见解析
【分析】（1）根据角平分线的作图方法作出图形即可；
（2）先证明，再证明四边形是平行四边形，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形即可证明结论成立．
【详解】（1）解：如图即为所求作的图形；
；
（2）解：四边形是菱形．理由如下：
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴四边形是菱形．
【点睛】本题考查了作图-基本作图，平行线的性质，等腰三角形的判定，平行四边形的判定，菱形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
9．如图，在平行四边形中．

(1)在边上找一点E，连接，使得平分．（尺规作图，不写作法，但保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，在边上取一点F，使得，连接，请判断四边形的形状，并说明理由．
【答案】(1)见解析，
(2)四边形是菱形，理由见解析
【分析】（1）作的角平分线，交于点，即可求解；
（2）在边上取一点，使得，得出四边形是平行四边形，根据作图可得是的角平分线，继而得出，即可得出结论．
【详解】（1）解：如图所示，点即为所求，

（2）如图所示，点即为所求，

四边形是菱形，理由如下，
∵四边形是平行四边形，
∴，则，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∵是的角平分线，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形．
【点睛】本题考查了作角平分线，作线段，平行四边形的性质，菱形的判定，掌握基本作图是解题的关键．
10．如图，四边形中，ABDC，，于点．
(1)用尺规作的角平分线，交于点；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)连接．求证：四边形是菱形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据角平分线的作图步骤作图即可；
（2）由角平分线的定义和平行线的性质求出，可得，求出，可得四边形ABCE为平行四边形，再结合AB＝BC，可证得四边形ABCE为菱形．
【详解】（1）解：如图所示．
（2）证明：是的角平分线，
，
∵ABCD，
，
，
，
，
，
四边形为平行四边形，
，
平行四边形为菱形．
【点睛】本题考查尺规作图、角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的判定、平行四边形的判定以及菱形的判定，熟练掌握尺规作角平分线的步骤以及菱形的判定定理是解答本题的关键．
11．题目：
如图，在平行四边形中．求作菱形，使点在边上，点在边上．（保留作图痕迹，不写作法）
小华的作法：如图1，
a．以点C为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点N；
b．分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交点F，射线交于点H；
c．再以点C为圆心，为半径画弧交于点，连接，则四边形为所求作的菱形．
(1)证明小华所作的四边形是菱形；
(2)借助已有的经验，请仅用无刻度直尺完成下列作图问题，保留痕迹，不写作法．
如图2，在中，平分，点在边上，．请过点作的垂线，垂足为．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据平行四边形的性质和角平分线逐步推出，，进一步得到，根据等角对等边证明，根据一组邻边相等的四边形是菱形证明即可；
（2）连接，，交于点O，连接并延长，与交于点G即可．．
【详解】（1）解：证明：如图1中，四边形是平行四边形，
，
，
由作图可知：平分，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；
（2）如图，即为所求．
同（1）可知：，
在中，，，
∴，又，
∴，
∴，又，
∴四边形是平行四边形，
∴，又，
∴．
【点睛】本题考查作图复杂作图，角平分线的定义，平行四边形的性质，菱形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
12．如图，是的直径，是上的一点．

(1)作的角平分线，交弧于点；（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下，连接，，若，求到的距离及的值．
【答案】(1)见解析
(2)到的距离为1，的值为
【分析】（1）分别以为圆心，大于线段长为半径画弧，交点为，连接，与交点即为；
（2）如图，记与交点为，则，，由勾股定理得，，设，则，由勾股定理得，，即，解得，则，，计算求解即可．
【详解】（1）解：如图；

（2）解：如图，记与交点为，
则，，
由勾股定理得，，
设，则，
由勾股定理得，，即，解得，
∴，
∴；
∴到的距离为1，的值为．
【点睛】本题考查了作角平分线，垂径定理，勾股定理，余弦等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
13．为庆祝建党100周年，让同学们进一步了解中国科技的快速发展，东营市某中学九（1）班团支部组织了一次手抄报比赛．该班每位同学从A．“北斗卫星”；B．“5G时代”；C．“东风快递”；D．“智轨快运”四个主题中任选一个自己喜欢的主题．统计同学们所选主题的频数，绘制成以下不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题：

（1）九（1）班共有________名学生；
（2）补全折线统计图；
（3）D所对应扇形圆心角的大小为________；
（4）小明和小丽从A、B、C、D四个主题中任选一个主题，请用列表或画树状图的方法求出他们选择相同主题的概率．
【答案】（1）50；（2）见解析；（3）108°；（4）
【分析】（1）用B组频数除以所占百分比即可求解；
（2）用50减去A、B、C组频数，求出D组频数，即可补全折线统计图；
（3）用360°乘以D组所占百分比即可求解；
（4）列表得出所有等可能结果，根据概率公式即可求解．
【详解】（1）20÷40%=50（人），
故答案为：50；
（2）50-10-20-5=15（人），
补全折线统计图如图：
；
（3），
故答案为：；
（4）列表如下：
由列表可知，一共有16种等可能的结果，他们选择相同主题的结果有4种，
所以P（相同主题）．
【点睛】本题考查了折线统计图与扇形统计图，求概率等知识，理解两幅统计图提供的公共信息是解题第（1）（2）（3）步关键，列表得出所有等可能的结果是解题第（4）步关键．
14．为了让同学们进一步了解中国科技的快速发展，我市某中学九（）班团支部组织了一次手抄报比赛，该班每位同学从．“中国天眼”：，“北斗卫星”；．“高速铁路”；．“神州火箭”四主题中任选一个自己喜欢的主题．现统计了同学们所选主题的频数，绘制了不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题：

(1)九（）班共有 名学生；
(2)请以九（）班的统计数据估计全校名学生中大约有多少人选择主题？
(3)请求出主题所对应扇形圆心角的大小；
(4)在手抄报比赛中，甲、乙两位同学均获得了一等奖，请用画树状图或列表的方法求出他们的手抄报主题不相同的概率．
【答案】(1)；
(2)人；
(3)；
(4)列表见解析，．
【分析】（）根据主题的人数除以占的百分比求出调查的学生总数即可；
（）根据样本中主题的百分比，估计出全校学生选择主题的学生数即可；
（）由主题的百分比，乘以，确定出所求即可；
（）列表确定出所有等可能的情况数，找出手抄报主题不相同的情况数，求出所求概率即可．
【详解】（1）解：根据题意得：（名），
则九（）班共有名学生；
故答案为：；
（2）根据题意得：（名），
则估计全校名学生中大约有人选择主题；
（3）根据题意得：，
则主题所对应扇形圆心角的大小；
（4）根据题意列表如下：
所有等可能的情况有种，其中手抄报主题不相同的情况有种，
则．
【点睛】此题考查了列表法与树状图法，用样本估计总体，以及扇形统计图，弄清题中的数据是解本题的关键．
15．为庆祝建党100周年，让同学们进一步了解中国科技的快速发展，长沙市某中学九（1）班团支部组织了一次手抄报比赛，该班每位旧学从A．“中国天眼”；B．“5G时代”；C．“夸父一号”；D．“巅峰使命”四主题中任选一个自己喜欢的主题．统计同学们所选主题的频数，绘制不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题：
(1)九（1）班共有___________名学生；
(2)请以九（1）班的统计数据估计全校2000名学生大约有多少人选择D主题？
(3)D主题所对应扇形圆心角的大小为___________；
(4)甲和乙从A、B、C、D四个主题中任选一个主题，请用画树状图的方法求出他们选择相同主题的概率．
【答案】(1)50
(2)600
(3)
(4)
【分析】（1）由B的人数除以所占百分比即可；
（2）求出D的人数，即可解决问题；
（3）由360°乘以D所占的比例即可；
（4）画树状图，共有16种等可能的结果，甲和乙选择相同主题的结果有4种，再由概率公式求解即可．
【详解】（1）解：九（1）班共有学生人数为：（名），
故答案为：50；
（2）解：D的人数为：（名），
（名）；
全校2000名学生大约有600人选择D主题
（3）D所对应扇形圆心角的大小为：，
故答案为：；
（4）解：画树状图如图：
共有16种等可能的结果，甲和乙选择相同主题的结果有4种，
∴甲和乙选择相同主题的概率为．
【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率以及折线统计图和扇形统计图．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
16．为打赢疫情防控阻击战，配餐公司为某校提供A，，三种午餐供师生选择，单价分别是10元，12元，15元，为了做好下阶段的经营与销售，配餐公司根据该校上周A，，三种午餐购买情况的数据制成统计表，又根据过去平均每份午餐的利润与周销售量之间的关系绘制成条形统计图：
请你根据以上信息，解答下列问题：
(1)该校师生上周购买午餐费用的中位数是______．
(2)为了提倡均衡饮食，假如学校要求师生每人只能选择两种不同的午餐交替食用，试通过列表或画树状图的方法求该校学生小芳选择“”组合的概率；
(3)经分析与预测，该校师生购买午餐的种类与数量相对稳定．根据规定，配餐公司平均每份午餐的利润不得超过3元，否则应调低午餐的单价．
①请通过计算分析，试判断配餐公司在下周的销售中是否需要调低午餐的单价；
②为了便于操作，配餐公司决定只调低一种午餐的单价，且调低幅度至少1元（只能整数元），为了使得下周平均每份午餐的利润不超过但更接近3元，请问应把哪一种午餐的单价调整为多少元？
【答案】(1)12
(2)
(3)①需要；②应该调低C午餐1元，即C的午餐单价应该调整为14元时，才能使下周平均每份午餐的利润不超过且更接近3元
【分析】（1）中位数要求将三种午餐价格从小到大排列，找到最中间的一个数字；
（2）根据题意画树状图，即可解答；
（3）①根据条形统计图找到A、B、C的利润，算出总利润并除以总人数，计算平均利润，与3元对比即可；②对于调低单价，对A、B、C三种午餐分别计算每个降价1元之后的利润，要明白降的越多，距离3元的利润越远的道理，因此在A、B、C三种午餐分别降价1元时比较哪种情况更符合要求即可作答．
【详解】（1）解：全校师生上周购买午餐的份数为（份），
对于5000份数据，按照从小到大排列后，中位数为第2500和2501个数的平均数，通过统计表知，（A+B）一共为（份），因此中位数为B午餐的费用，即为12．
故答案为：12；
（2）树状图如下：

根据树状图能够得到共有6种情况，其中“BC”组合共有2种情况，
∴小芳选择“”组合的概率为；
（3）①根据条形统计图得知，A的利润为2元，B的利润为4元，C的利润为3元，
平均利润为：（元），
∵，因此应调低午餐单价；
②假设调低A单价一元，平均每份午餐的利润为：（元），
调低B单价一元，平均每份午餐的利润为：（元），
调低C单价一元，平均每份午餐的利润为：（元），
当A、B、C调的越低，利润就越低，因此距离3元的利润就会越远，故最低即为降低1元；为了使得下周平均每份午餐的利润不超过但更接近3元，综上所述，应该调低C午餐1元，即C的午餐单价应该调整为14元时，才能使下周平均每份午餐的利润不超过但更接近3元．
【点睛】本题主要考查了中位数的概念及求法、统计表和条形统计图的综合运用、用列表法或树状图法求概率等知识，学会综合运用条形统计图和统计表，得到要分析的数据是解题的关键．
17．成都市某中学为2024年“尤伯杯”预热，组织全校学生参加了“尤伯杯羽毛球比赛”知识竞赛，为了解全校学生竞赛成绩（单位：分）的情况，随机抽取了一部分学生的成绩，分成四组：A．70分以下（不包括70）；B．；C．；D．，并绘制了如下两幅不完整的统计图．
根据上述信息，解答下列问题．
(1)被抽取的学生成绩在C组的有__________人，请补全条形统计图；
(2)被抽取的学生成绩在B组的对应扇形圆心角的度数是__________，若该中学全校共有3600人，则成绩在A组的大约有__________人；
(3)现从D组前四名（2名男生和2名女生）中任选2名代表发表感言，请用列表或画树状图的方法，求选中1名男生和1名女生的概率．
【答案】(1)24，图见解析
(2)，
(3)
【分析】
本题考查扇形统计图和条形统计图的关联、用样本估计总体、用列表或画树状图法求概率，理解题意，能从统计图中获取信息是解答的关键．
（1）先由D组人数除以其所占的百分比求出抽取总人数，进而可求得C组人数，进而补全条形统计图即可；
（2）用乘以B组人数所占的百分比即可求得其对应的圆心角的度数，用全校总人数乘以样本中A组人数所占的比例求解即可；
（3）画树状图得到所有等可能的结果数，选出满足条件的结果数，然后利用概率公式求解即可．
【详解】（1）解：抽查总人数为（人），C组人数为（人），
故答案为：24，
补全条形统计图如图：

（2）解：被抽取的学生成绩在B组的对应扇形圆心角的度数是，
成绩在A组的大约有（人），
故答案为：，360；
（3）解：画树状图：

共有12种等可能的结果，其中选中1名男生和1名女生的有8种结果，故选中1名男生和1名女生的概率为．
18．非物质文化遗产是中华民族古老生命记忆和活态的文化基因，陕西是非物质文化遗产的重要代表地区．某学校为让学生深入了解非物质文化遗产，决定邀请A秦腔，B陕北民歌，C民间面塑，D皮影制作的相关传承人（每项一人）进校园宣讲．
(1)若从以上非物质遗产中任选一个，则选中C民间面塑传承人的概率是____________．
(2)若该学校决定邀请两位非遗传承人进校园宣讲，请用画树状图或列表的方法，求选中B陕北民歌和D皮影制作传承人的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查树状图或列表法求概率．
（1）直接利用概率公式进行求解即可；
（2）列表法求概率即可．
掌握列表法，概率公式，是解题的关键．
【详解】（1）解：由题意，得：选中C民间面塑传承人的概率是；
故答案为：
（2）列表如下：
共有12种等可能的结果，其中选中B陕北民歌和D皮影制作传承人的情况有2种，
∴．
19．鄂州市莲花山是国家级风景区，元明塔造型独特，是莲花山风景区的核心景点，深受全国各地旅游爱好者的青睐．今年端午节，景区将举行大型包粽子等节日庆祝活动．如图2，景区工作人员小明准备从元明塔的点G处挂一条大型竖直条幅到点E处，挂好后，小明进行实地测量，从元明塔底部F点沿水平方向步行30米到达自动扶梯底端A点，在A点用仪器测得条幅下端E的仰角为；接着他沿自动扶梯到达扶梯顶端D点，测得点A和点D的水平距离为15米，且；然后他从D点又沿水平方向行走了45米到达C点，在C点测得条幅上端G的仰角为．（图上各点均在同一个平面内，且G，C，B共线，F，A，B共线，G、E、F共线，，）．

(1)求自动扶梯的长度；
(2)求大型条幅的长度．（结果保留根号）
【答案】(1)25米
(2)米
【分析】（1）过D作于M，由可得，求出的长，利用勾股定理即可求解；
（2）过点D作于N，则四边形是矩形，得，，由已知计算得出的长度，解直角三角形得出的长度，在中求得的长度，利用线段的和差，即可解决问题．
【详解】（1）解：过D作于M，如图：

在中，，
∵(米)，
∴(米)，
由勾股定理得(米)
（2）如图，过点D作于N，
∵，
∴四边形是矩形，
∴(米)，(米)，
由题意，(米)，
∵，
∴，
∴(米)，（米），
由题意，，(米)，
∴，
∴(米)，
∴米
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用一仰角俯角问题、勾股定理、矩形的判定与性质等知识，熟练掌握锐角三角函数定义，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
20．耸立在宁波海曙区的天封塔始建于唐武则天“天册万岁”至“万岁登封”（695-696）年间，因建塔年号始末“天”“封”而得名（如图1），在天封塔正前方有一斜坡，长为13米，坡度为，高为．某中学数学兴趣小组的同学利用测角仪在斜坡底的点C处测得塔上观景点P的仰角为．在斜坡顶的点D处测得塔上观景点P的仰角为（其中点A，C，E在同一直线上，如图2）．

(1)求斜坡的高；
(2)求塔上观景点P距离地面的高度（精确到1米）．（参考数据：，）
【答案】(1)米
(2)塔上观景点P距离地面的高度为34米
【分析】（1）由斜坡的坡度为，可得，设，则，在中，由勾股定理得，即，计算求出满足要求的解即可；
（2）如图，过点D作于点F，则四边形是矩形，米，，，设，则，，在中，，即，解得，进而可求的值．
【详解】（1）解：∵斜坡的坡度为，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，即，
解得，（舍去），
∴米，
答：斜坡的高为5米；
（2）解：如图，过点D作于点F，则四边形是矩形，

∴米，，
∵，
∴，
设，则，，
在中，，即，解得，
∴（米），
答：塔上观景点P距离地面的高度为34米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，等角对等边，勾股定理．解题的关键在于明确线段之间的数量关系．
21．长沙市推出新型智慧城市和数字政府建设的工作涉及多个领域，其中智慧校园建设也开展得如火如荼，规划部门在某学校的办公楼顶部新建了一块大型数字展示屏．如图郡郡同学为测量展示屏的高度，他站在距离办公楼底部E处12米远的地面C处，测得宣传牌的底部B的仰角为，同时测得办公楼窗户D处的仰角为（A、B、D、E在同一直线上），然后，郡郡沿坡度为的斜坡从C走到F处，此时正好与地面平行，在F处又测得宣传牌顶部A的仰角为．
(1)求点F距离水平地面的高度和它距窗户D的距离；（保留根号）
(2)求数字显示屏的高度（结果精确到0．1米，）
【答案】(1)点F距离水平地面的高度为，它距窗户D的距离为；
(2)
【分析】（1）如图所示，过点F作交延长线于G，则四边形是矩形，则，解得到，再解求出，则；
（2）先解在中，得到，则，再解，得到，则．
【详解】（1）解：如图所示，过点F作交延长线于G，则四边形是矩形，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∵斜坡的坡度为，
∴，
∴，
∴，
∴点F距离水平地面的高度为，它距窗户D的距离为；
（2）解：在中，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴数字显示屏的高度为．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
22．春节期间，小明发现远处大楼的大屏幕时出现了“新年快乐”几个大字，小明想利用刚学过的知识测量“新”字的高度：如图，小明先在A处，测得“新”字底端D的仰角为，再沿着坡面向上走到B处，测得“新”字顶端C的仰角为，坡面的坡度，，(假设A、B、C、D、E在同一平面内)．

(1)求点B的高度
(2)求“新”字的高度．(长保留一位小数，参考数据)
【答案】(1)
(2)米
【分析】（1）根据坡面的坡度可得，再根据含角的直角三角形的性质即可求解；
（2）过点B作于点G，可得四边形是矩形，通过解直角三角形求出和，即可解决问题．
【详解】（1）解：坡面的坡度，
，
，
，
即点B的高度为；
（2）解：如图，过点B作于点G，

由题意得，，
四边形是矩形，
在中，由勾股定理得，
，
在中，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
即“新”字的高度约为米．
【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，矩形的判定与性质，勾股定理等，解题的关键是正确作出辅助线构造直角三角形．
23．亚洲第一、中国唯一的航空货运枢纽一一鄂州花湖机场，于2022年3月19日完成首次全货运试飞，很多市民共同见证了这一历史时刻．如图，市民甲在C处看见飞机A的仰角为45°，同时另一市民乙在斜坡CF上的D处看见飞机A的仰角为30°，若斜坡CF的坡比=1：3，铅垂高度DG=30米（点E、G、C、B在同一水平线上）．求：
(1)两位市民甲、乙之间的距离CD；
(2)此时飞机的高度AB，（结果保留根号）
【答案】(1)米
(2)米
【分析】（1）先根据斜坡CF的坡比=1：3，求出CG的长，然后利用勾股定理求出CD的长即可；
（2）如图所示，过点D作DH⊥AB于H，则四边形BHDG是矩形，BH=DG=30米，DH=BG，证明AB=BC，设AB=BC=x米，则米，米，解直角三角形得到据此求解即可．
【详解】（1）解：∵斜坡CF的坡比=1：3，铅垂高度DG=30米，
∴，
∴米，
∴米；
（2）解：如图所示，过点D作DH⊥AB于H，则四边形BHDG是矩形，
∴BH=DG=30米，DH=BG，
∵∠ABC=90°，∠ACB=45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=BC，
设AB=BC=x米，则米，米，
在Rt△ADH中，，
∴，
解得，
∴米．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，勾股定理，正确理解题意作出辅助线是解题的关键．
24．如图，斜坡长米，坡度︰，，现计划在斜坡中点处挖去部分坡体修建一个平行于水平线的平台和一条新的斜坡．
（1）若修建的斜坡的坡角为，求平台的长；（结果保留根号）
（2）斜坡正前方一座建筑物上悬挂了一幅巨型广告，小明在点测得广告顶部的仰角为，，他沿坡面走到坡脚处，然后向大楼方向继行走米来到处，测得广告底部的仰角为，此时小明距大楼底端处米．已知、、、、在同一平面内，、、、在同一条直线上，求广告的长度．（参考数据：，，，，）
【答案】（1）（）米 （2）广告的长度约为米
【详解】（1）过作，垂足为
∵ ∴
∵为中点 ∴为中点
在，
设，，则
∴ 即 ，
∴，
∵在中，
∴
∴
∴平台的长为（）米
（2）过作、，垂足分别为、
∴四边形为矩形
∴
∵，
∴
∵为中点
∴为中点即
∴
∵在中，
在中，
∴
∴广告的长度约为米
25．1号探测气球从海拔处出发，以的速度竖直上升．与此同时，2号探测气球从海拔20m处出发，以的速度竖直上升．两个气球都上升了．1号、2号气球所在位置的海拔，（单位：m）与上升时间x（单位：）的函数关系如图所示．请根据图象回答下列问题：

(1)___________，___________；
(2)请分别求出，与x的函数关系式；
(3)当上升多长时间时，两个气球的海拔竖直高度差为？
【答案】(1)，30
(2)，；
(3)或
【分析】（1）根据1号探测气球的出发海拔和速度即可计算b的值，根据b的值、2号探测气球的出发海拔和运动时间可计算2号探测气球的速度可计算a的值；
（2）由（1）可得与函数图象的交点坐标为，分别代入计算即可；
（3）由题意可得或，分别计算即可．
【详解】（1）解：，，
故答案为：，30；
（2）由（1）可得与函数图象的交点坐标为，
设，，
将分别代入可得：，
解得：，，
∴，；
（3）由题意可得或，
当时，，
解得，
当时，，
解得，
∴当上升或时，两个气球的海拔竖直高度差为．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，从图中获取信息是解题的关键．
26．周末，赵叔叔开车从西安出发去240千米远的安康游玩，当汽车行驶1.5时到达柞水县时，汽车发生故障，需停车检修，修好后又继续向前行驶，其行驶路程（千米）与时间（时）之间的关系如图所示．
(1)求汽车修好后（段）与之间的函数关系式；
(2)在距离西安180千米的地方有一个服务区，求赵叔叔出发后多长时间到达服务区？
【答案】(1)
(2)小时
【分析】（1）根据图象得到，，BC为直线，故设（段）的函数关系式为，代入点坐标求解即可．
（2）令，代入一次函数解析式求解即可．
【详解】（1）解：设（段）的函数关系式为，
由图可知，，，
将，代入，
得，
解得，
．
（2）解：由图可知，服务区在（段），
令，则，
解得，
赵叔叔出发小时到达服务区．
【点睛】此题考查了一次函数解析式的求解及应用，解题的关键是熟练掌握一次函数的相关知识点．
27．某班名同学计划在五一当天去一家科技馆参观，已知该科技馆在节假日期间，有如下优惠政策：不超过人时为原票价，人以上超过人的部分打m折．门票总费用y（元）与学生x（人）之间的函数关系如图所示．
(1)m的值为______；
(2)求y与x之间的函数关系式；
(3)若五一当天部分同学未能去参观，最后的门票总费用为元，求该班有多少名同学没有去参观．
【答案】(1)5
(2)，且x为正整数
(3)10名
【分析】（1）先求出原票价，再根据题意列出关于m的一元一次方程，解方程即可求出m的值；
（2）根据折线图分和两种情况讨论求解；
（3）根据总的票价费用为4000，可判断参加参观的人数超过10人，再利用（2）的结果即可求解．
【详解】（1）由函数图像可知原票价为：2000÷10=200（元），
超过10人的票价为200×(m×10%)，
由图可知20人的门票总费用为3000元，
则有2000×10+(20-10)×200×(m×10%)=3000，
即得m=5，即五折，
即m的值为5；
（2）根据图像有：
当时，直线过原点和(10,2000)这两个点，
则设直线的解析式为y=kx，
代入(10,2000)，得2000=10k，则k=200，
则可求得此时的解析式为；
当时，
其中的10个人是票价是200元，超过的部分打五折，即200×50%=100元，
根据题意有可列式为：，
整理得：
综上：，且x为正整数．
（3）∵总票价为4000元，
∴参加的学生人数肯定超过10人，
∴令y=4000，代入中，
得：，解得x=30，
即未参加的学生人数为：40-30=10（人）．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，准确识图获取信息是解答本题的关键．
28．2023年“五一”黄金周期间，某樱桃基地的甲、乙两家樱桃采摘园的樱桃销售价格相同，为了吸引顾客，两家采摘园相继推出不同的优惠方案，甲园的优惠方案是：游客进园需购买门票，采摘的樱桃六折优惠；乙园的优惠方案是：游客进园不需购买门票，采摘的樱桃超过一定数量后，超过部分打折优惠．优惠期间，某游客的樱桃采摘量为x（千克），在甲园所需总费用为（元），在乙园所需总费用为（元），、与x之间的函数关系如图所示，其中折线表示与x之间的函数关系．

(1)甲采摘园的门票是________元/张，两个采摘园优惠前的樱桃单价是每千克________元；
(2)直接写出当和时，与x之间的函数关系式；
(3)某游客在“五一期间”去采摘樱桃，如何选择这两家樱桃园去采摘更省钱？
【答案】(1)60；30；
(2)
(3)当采摘量小于5千克时，选择乙更省钱，当采摘量在5千克到20千克之间时，选择甲更省钱，当采摘量大于20千克时选择乙更省钱．
【分析】（1）根据函数图象和图象中的数据可进行求解；
（2）根据函数图象中的数据得到点，然后利用待定系数法求解即可；
（3）根据函数图象，利用分类讨论即可进行求解．
【详解】（1）解：由图象可得：
甲采摘园的门票是60元，两个采摘园优惠前的草莓单价为（元/千克）；
故答案为：60；30；
（2）由图象可得：，
当时，设与的函数表达式为，
∴将代入得，，解得
∴；
当时，则设与的函数表达式为，
∴，
解得：，
∴当时，则设与的函数表达式为，
综上所述，与x之间的函数关系式为；
（3）由题意得：，
∴当时，令，解得：；
当时，令，解得：；
答：当采摘量小于5千克时，选择乙更省钱，当采摘量在5千克到20千克之间时，选择甲更省钱，当采摘量大于20千克时选择乙更省钱．
【点睛】本题主要考查一次函数的应用，熟练掌握一次函数的图象与性质及应用是解题的关键．
29．为了推进乡村振兴发展，某地决定对A，B两村之间的公路进行改造，并由甲工程队从A村向B村方向修筑，乙工程队从B村向A村方向修筑．已知甲工程队先施工2天，乙工程队再开始施工．乙工程队施工几天后，因另有任务提前离开，余下的任务由甲工程队单独完成，直到公路修通．甲、乙两个工程队修筑公路的长度y（米）与甲工程队施工时间x（天）之间的函数关系如图所示，请根据图象提供的信息，解答下列问题：

(1)乙工程队每天修路___米，甲工程队每天修路___米，a的值为___，b的值为___；
(2)直接写出：甲工程队修公路的长度y（米）与甲施工队施工时间x（天）之间的函数关系式；
(3)求乙工程队修公路的长度y（米）与甲工程队施工时间x（天）之间的函数关系式；
(4)若该项工程由甲、乙两工程队从开始就合作施工，直到任务完成，直接写出：完成任务所需的时间．
【答案】(1)180，90，360，900
(2)
(3)
(4)6（天）
【分析】（1）根据函数图象即可求解；
（2）根据函数图象中的数据运用待定系数法即可求解；
（3）根据函数图象中的数据运用待定系数法即可求解；
（4）根据前三问求出公路总长即可解答．
【详解】（1）解：根据函数图象可得乙工程队每天修路（米），
∵当修了a（米）时，乙工程队用了2天，甲工程队用了4天，
∴甲工程队每天修路（米），
∴，，
故答案为：180，90，360，900；
（2）解：设甲工程队修公路的长度y（米）与甲施工队施工时间x（天）之间的函数关系式为，将点代入得，
∴甲工程队修公路的长度y（米）与甲施工队施工时间x（天）之间的函数关系式为；
（3）解：设乙工程队修公路的长度y（米）与甲施工队施工时间x（天）之间的函数关系式为，
将点，代入得：
，
解得：，
∴乙工程队修公路的长度y（米）与甲施工队施工时间x（天）之间的函数关系式为；
（4）解：公路总长为（米），
甲、乙两工程队从开始就合作施工，每天修路（米），
∴需要（天）．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的应用等知识点，解题的关键是熟练掌握以上知识点并灵活运用．
30．共享电动车是一种新理念下的交通工具：主要面向的出行市场，现有甲、乙两种品牌的共享电动车，收费与骑行时间之间的函数关系如图所示，其中甲品牌收费方式对应，乙品牌的收费方式对应．

(1)甲品牌每分钟收费______元；
(2)求段的函数关系式；
(3)如果小明每天早上需要骑行甲品牌或乙品牌的共享电动车去工厂上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为，小明家到工厂的距离为，那么小明选择哪个品牌的共享电动车更省钱呢？
(4)直接写出两种收费相差元时x的值．
【答案】(1)
(2)
(3)甲品牌
(4)9分钟或32分钟
【分析】（1）根据函数图象中的数据，根据甲品牌20分钟收费4元，即可计算每分钟收费的钱；
（2）根据函数图象中的数据，可以计算出段的函数关系式；
（3）根据题目中的数据，先计算出小明从家到工厂用的时间，然后再根据图象中的数据，即可判断小明选择哪个品牌的共享电动车更省钱；
（4）根据题意和图象可知分两种情况，然后列出相应的方程求解即可．
【详解】（1）解：由图象可得，
甲品牌20分钟收费4元，则每分钟收费：（元），
故答案为：；
（2）解：设段的函数关系式为，
把点和点代人中，
得：
解得：，
∴段的函数关系式为．
（3）解：（h），，
∵，
由图象可知，当骑行时间不足时，，即骑行甲品牌的共享电动车更省钱．
∴小明选择甲品牌的共享电动车更省钱
（4）解：∵当min时两种收费相同，
∴两种收费相差元分前和后两种情况，
①当时，离越近收费相差的越少，
当时，，，，
∴要使两种收费相差元，x应小于10，，
解得：；
②当时，，解得：．
∴在9分钟或32分钟，两种收费相差元．
【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答解答．
31．如图，为的直径，E为上一点，点C为的中点，过点C作，交的延长线于点D，延长交的延长线于点F．

(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据弦、弧、圆周角的关系可证，根据圆的性质得，证明，得到，根据切线的判定定理证明；
（2）连接，，根据勾股定理得到的长，根据等弧对等弦得到，根据圆内接四边形对角互补得，推出，证明，利用相似三角形的性质即可求解．
【详解】（1）证明：连接，

∵点C为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴
∴
∴，
∴，
∵为半径，
∴为切线；
（2）解：连接，，

∵，
∴，
∵，，
∴，
∵D是的中点，
∴，
∴，
∵为的直径，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的半径长为．
【点睛】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
32．如图，AC是⊙O的直径，弦BD交AC于点E，点F为BD延长线上一点，∠DAF＝∠B．
(1)求证：AF是⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为5，AD是AEF的中线，且AD＝6，求AE的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）由圆周角定理得∠ADC=90°，则∠ACD+∠DAC=90°，从而说明，即可证明结论；
（2）作于点H，利用△ADH～△ACD，，求出AH的长，再利用直角三角形斜边上中线的性质得出AD=DE，利用等腰三角形的性质可得答案．
【详解】（1）证明：∵AC是直径，
∴∠ADC=90°，
∴∠ACD+∠DAC=90°，
∵∠ACD=∠B，∠B=∠DAF，
∴∠DAF=∠ACD，
∴∠DAF+∠DAC=90°，
∴，
∵AC是直径，
∴AF是⊙O的切线；
（2）解：作于点H，
∵⊙O的半径为5，
∴AC=10，
∵∠AHD=∠ADC=90°，∠DAH=∠CAD，
∴△ADH～△ACD，
∴，
∴，
∵AD＝6，
∴，
∵AD是△AEF的中线，∠EAF=90°，
∴AD=ED，
．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，切线的判定定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识，根据相似三角形的判定与性质求出AH的长是解题的关键．
33．如图，是斜边上的中线，以为直径作，分别交于点M、N，过点M作，交于点E．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了切线的判定，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，解题的关键是熟练掌握基本知识．
（1）连接，先证出，再证明即可；
（2）由平行线分线段成比例定理可求，由直角三角形斜边中线的性质可求，由勾股定理求出的长，然后证明即可求解．
【详解】（1）解：连接，

∵是斜边上的中线，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∵，
∴，又是的半径，
∴是的切线．
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵是斜边上的中线．
∴，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∴
又∵，
∴
∴，
∴，
∴．
34．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作圆O，分别交BC于点D，交CA的延长线于点E，过点D作DH⊥AC于点H，连接DE交线段OA于点F．
(1)求证：DH是圆O的切线；
(2)若，求证：A为EH的中点．
(3)若EA=EF=1，求圆O的半径．
【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）
【分析】（1）由角的关系易证OD//AC，已知即证
（2）由OD//AC，可证根据“相似三角形的对应边成比例”易得, 设 证明是等腰三角形，表示出即可证明.
（3）通过等量关系表示出边的长度，由可得对应边的比例关系的方程，求解即可.
【详解】解：(1)连接OD，如图1，
∵在⊙O中，
∴∠OBD=∠ODB，
∵
∴
∴
∴OD//AC，
∵
∴
∴∠ODH=180°−∠AHD=90°,
∴
∴DH是圆O的切线；
(2)∵∠ODF=∠E，∠OFD=∠AFE，
∴
∴，
设
连接AD，
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，即
∵
∴D是BC的中点，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∴
∵在⊙O中，
∴
∴是等腰三角形，
∵
∴
∵A在EH上且,
∴A为EH的中点.
(3)如图2，设⊙O的半径为r，即
∵
∴
∵OD∥EC，
∴
则
∴
∴
∴BD=CD=DE=r+1，
在⊙O中，∵
∴
∴，是等腰三角形，
∴
∴
∵∠BFD=∠EFA，∠B=∠E,
∴


解得： (不合题意，舍去)，
综上所述，⊙O的半径为．
【点睛】本题主要考查与圆有关的位置关系、圆中的计算问题以及相似三角形的判定与性质.属于综合题，难度较大，对学生综合能力要求较高.
35．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，∠CAB的平分线AD交于点D，过点D作DE∥BC交AC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）过点D作DF⊥AB于点F，连接BD．若OF＝1，BF＝2，求BD的长度．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）连接OD，由等腰三角形的性质及角平分线的性质得出∠ADO＝∠DAE，从而OD∥AE，由DE∥BC得∠E＝90°，由两直线平行，同旁内角互补得出∠ODE＝90°，由切线的判定定理得出答案；
（2）先由直径所对的圆周角是直角得出∠ADB＝90°，再由OF＝1，BF＝2得出OB的值，进而得出AF和BA的值，然后证明△DBF∽△ABD，由相似三角形的性质得比例式，从而求得BD2的值，求算术平方根即可得出BD的值．
【详解】解：（1）连接OD，如图：
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ADO，
∵AD平分∠CAB，
∴∠DAE＝∠OAD，
∴∠ADO＝∠DAE，
∴OD∥AE，
为⊙的直径，

∵DE∥BC，
∴∠E＝ 90°，
∴∠ODE＝180°﹣∠E＝90°，
∴DE是⊙O的切线；
（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵OF＝1，BF＝2，
∴OB＝3，
∴AF＝4，BA＝6．
∵DF⊥AB，
∴∠DFB＝90°，
∴∠ADB＝∠DFB，
又∵∠DBF＝∠ABD，
∴△DBF∽△ABD，
∴，
∴BD2＝BF•BA＝2×6＝12．
∴BD＝
【点睛】本题考查的是圆的基本性质，圆周角定理，切线的判定，同时考查了相似三角形的判定与性质．（1）中判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”，有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”；（2）中能得△DBF∽△ABD是解题关键．
36．如图，是以为直径的上的一点，于点，过点作的切线，与的延长线相交于点，点是的中点，连结交于点

（1）求证：是的切线；
（2）求证：；
（3）若，且的半径长为，求．
【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）
【分析】（1）要证AF是⊙O的切线，就是要证明∠FAO=90°，连接AB，根据BE是⊙O的切线和直角三角形的等量代换，就可得出结论；
（2）根据切线判定知道EB⊥BC，而AD⊥BC，从而可以确定AD∥BE，那么△BFC∽△DGC，又点F是EB的中点，就可得出结论；
（3）点F作FH⊥AD于点H，根据前两问的结论，利用三角形的相似性和勾股定理，可以求出BD的长度．
【详解】（1）证明：连结，
∵是的直径，
∴．
∵是斜边的中点，
∴，
∴，
又∵，
∴
∵是的切线，
∴
∵
∴是的切线；
（2）证明：∵是的直径，是的切线，
∴．
又∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∵是斜边的中点，
∴，
∴；
（3）解：过点作于点，
∵，，
∴．
由（2），知，
∴．
由已知，有，
∴，即是等腰三角形．
∵，
∴，
∵，
∴，
即，
∵，，，
∴四边形是矩形，，
∵，易证，
∴，
即．
∵的半径长为，
∴．
∴，
解得．
∴．
【点睛】本题考查的是切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可．
37．某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点P到定点的距离，始终等于它到定直线l：的距离（该结论不需要证明）．他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，叫做抛物线的准线方程．准线l与y轴的交点为H．其中原点O为的中点，．例如，抛物线，其焦点坐标为，准线方程为l：，其中，．

【基础训练】
(1)请分别直接写出抛物线的焦点坐标和准线l的方程：___________，___________；
【技能训练】
(2)如图2，已知抛物线上一点到焦点F的距离是它到x轴距离的3倍，求点P的坐标；
【能力提升】
(3)如图3，已知抛物线的焦点为F，准线方程为l．直线m：交y轴于点C，抛物线上动点P到x轴的距离为，到直线m的距离为，请直接写出的最小值；
【拓展延伸】
该兴趣小组继续探究还发现：若将抛物线平移至．抛物线内有一定点，直线l过点且与x轴平行．当动点P在该抛物线上运动时，点P到直线l的距离始终等于点P到点F的距离（该结论不需要证明）．例如：抛物线上的动点P到点的距离等于点P到直线l：的距离．
请阅读上面的材料，探究下题：
(4)如图4，点是第二象限内一定点，点P是抛物线上一动点，当取最小值时，请求出的面积．
【答案】(1)，；
(2)；
(3)
(4)
【分析】（1）根据题中所给抛物线的焦点坐标和准线方程的定义求解即可；
（2）利用两点间距离公式结合已知条件列式整理得，然后根据，求出，进而可得，问题得解；
（3）过点作直线交于点，过点作准线交于点，结合题意和（1）中结论可知，，根据两点之间线段最短可得当，，三点共线时，的值最小；待定系数法求直线的解析式，求得点的坐标为，根据点是直线和直线m的交点，求得点的坐标为，即可求得和的值，即可求得；
（4）根据题意求得抛物线的焦点坐标为，准线l的方程为，过点作准线交于点，结合题意和（1）中结论可知，则，根据两点之间线段最短可得当，，三点共线时，的值最小；求得，即可求得的面积．
【详解】（1）解：∵抛物线中，
∴，，
∴抛物线的焦点坐标为，准线l的方程为，
故答案为：，；
（2）解：由（1）知抛物线的焦点F的坐标为，
∵点到焦点F的距离是它到x轴距离的3倍，
∴，整理得：，
又∵，
∴
解得：或（舍去），
∴，
∴点P的坐标为；
（3）解：过点作直线交于点，过点作准线交于点，结合题意和（1）中结论可知，，如图：

若使得取最小值，即的值最小，故当，，三点共线时，，即此刻的值最小；
∵直线与直线垂直，故设直线的解析式为，
将代入解得：，
∴直线的解析式为，
∵点是直线和抛物线的交点，
令，解得：，（舍去），
故点的坐标为，
∴，
∵点是直线和直线m的交点，
令，解得：，
故点的坐标为，
∴，
．
即的最小值为．
（4）解：∵抛物线中，
∴，，
∴抛物线的焦点坐标为，准线l的方程为，
过点作准线交于点，结合题意和（1）中结论可知，则，如图：

若使得取最小值，即的值最小，故当，，三点共线时，，即此刻的值最小；如图：

∵点的坐标为，准线，
∴点的横坐标为，代入解得，
即，，
则的面积为．
【点睛】本题考查了两点间距离公式结合，两点之间线段最短，三角形的面积，一次函数的交点坐标，一次函数与抛物线的交点坐标等，解决问题的关键是充分利用新知识的结论．
38．定义：在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点坐标为，那么我们把经过点且平行于轴的直线称为这条抛物线的极限分割线．
【特例感知】
(1)抛物线的极限分割线与这条抛物线的交点坐标为______ ．
【深入探究】
(2)经过点和的抛物线与轴交于点，它的极限分割线与该抛物线另一个交点为，请用含的代数式表示点的坐标．
【拓展运用】
(3)在（2）的条件下，设抛物线的顶点为，直线垂直平分，垂足为，交该抛物线的对称轴于点．
①当时，求点的坐标．
②若直线与直线关于极限分割线对称，是否存在使点到直线的距离与点到直线的距离相等的的值？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)和
(2)点的坐标为
(3)①顶点为或顶点为；②存在，或或
【分析】（1）根据定义，确定c值，再建立方程组求解即可．
（2）把点代入解析式，确定，根据定义建立方程求解即可．
（3）①根据等腰直角三角形的性质，得到等线段，再利用字母表示等线段建立绝对值等式计算即可．
②设与对称轴的交点为，用含的式子表示出点的坐标，分别写出极限分割线、直线及直线的解析式，用含的式子分别表示出点到直线的距离和点到直线的距离，根据点到直线的距离与点到直线的距离相等，得出关于的绝对值方程，解方程即可．
【详解】（1）∵抛物线的对称轴为直线，极限分割线为，
极限分割线与这条抛物线的一个交点坐标为，则另一个交点坐标为．
故答案为： 和．
（2）抛物线经过点，
∴
∴
∴，
解得
∴点D的坐标为．
（3）①设与对称轴交于点，若，则．

∵点C的坐标为，点D的坐标为．．
∴，
∴，
∴，
解得．
∵抛物线的顶点为，
∴抛物线的顶点为，
∴当时，，故顶点为；
∴当时，，故顶点为；
∴顶点为或顶点为．
存在，或或．
如图，设与对称轴的交点为．

由知，，抛物线的顶点为，∴抛物线的极限分割线：，
直线垂直平分，
∴直线：，
∴点到直线的距离为；
直线与直线关于极限分割线对称，
直线： ，
∵，
∴点到直线的距离为，
点到直线的距离与点到直线的距离相等，
∴，
∴或，
解得或或，
故或或．
【点睛】．查了抛物线与坐标轴的交点坐标和直线与抛物线的交点坐标等知识点，明确题中的定义、熟练掌握二次函数的图像与性质及绝对值方程是解题的关键．
39．【概念感知】
两个二次函数只有一次项系数不同，就称这两个函数为“异b族二次函数”．
【概念理解】
如图1，二次函数的图象交轴于点，交轴于点，点为线段的中点，二次函数与是“异族二次函数”，其图象经过点．
（1）求二次函数的解析式；
【拓展应用】
（2）如图2，直线，交抛物线于，当四边形为平行四边形时，求直线的解析式；
（3）如图3，点为轴上一点，过点作轴的垂线分别交抛物线于点，，连接，当为等腰三角形时，直接写出点的坐标．
【答案】（1）；（2）；（3）或或
【分析】（1）先求出点C和B的坐标，再根据中点性质，得出D的坐标，结合“异族二次函数”的定义，进行列式，代数计算，即可作答．
（2）先得出这两个函数的顶点坐标，因为二次函数与的值相同，结合四边形为平行四边形，，得出，再运用待定系数法，求解析式，即可作答．
（3）根据等腰三角形的性质，进行分类讨论，当这三种情况，分别根据两点距离公式以及勾股定理进行列式，代数化简计算，即可作答．
【详解】解：（1）将代入得，，
解方程得，
的中点的坐标是
二次函数与是“异族二次函数”
将代入解得
二次函数的解析式为
（2）依题意，
∵
∴当时，则；
∵
∴当时，则；
∴抛物线的顶点分别为
二次函数与的值相同
抛物线可以由抛物线向右移动1个单位，再向上移动1个单位得到
四边形为平行四边形，
设直线的解析式为
将代入
得
解得
直线的解析式为
（3）依题意，设P的坐标为，则，
∵为等腰三角形
∴当时，则根据等腰三角形的“三线合一”，
即
∴
解得（舍去）
∴当时，
即
∴
解得（舍去）
∴当时，
即
∴
解得（舍去）
综上：或或，使得为等腰三角形
【点睛】本题考查了二次函数的几何综合，等腰三角形的性质，平行四边形的性质、求一次函数、二次函数的解析式，综合性强，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
40．【问题背景】已知二次函数（m为常数）．
数形结合和分类讨论是初中数学的基本思想方法，应用广泛．以形助数或以数解形，相互转化，可以化繁为简，抽象问题具体化；而对问题进行合理的分情况探究，则可以使结果不重不漏．
(1)我国著名数学家 说过，“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”（请将正确选项的字母代号填写在答题卡相应位置上）
A．华罗庚 B．陈景润 C．苏步青 D．陈省身
(2)若该二次函数的对称轴为，关于x的一元二次方程（t为实数）在的范围内无解，则t的取值范围是 ．
(3)若该二次函数自变量x的值满足时，与其对应的函数值y的最小值为，则m的值为 ．
【拓展应用】
(4)当时，二次函数图像与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，点D与原点O关于直线BC对称，点E是线段BC上一动点（不与B、C重合），连接OE并延长交射线CD于点F，连接DE，为等腰三角形时，求线段DF的长．
【答案】(1)A
(2)，或
(3)，或
(4)，或
【分析】（1）根据题意可知“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”这段话是我国著名数学家华罗庚所说
（2）根据二次函数的对称轴为，可求得m的值，然后利用二次函数在上的范围，可求得t的取值范围
（3）根据对称轴，，分类讨论各种情况求得的值
（4）根据对称性先求得点D的坐标，然后设点F的坐标，利用等腰三角形的性质，分类可求得的长度
【详解】（1）根据题意可知“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”这段话是我国著名数学家华罗庚所说
故选：A
（2）∵次函数的对称轴为，
∴，
∴二次函数的解析式为：，
当时，的取值范围是：，
∴要使得关于x的一元二次方程（t为实数）在的范围内无解，则t的取值范围是： ，或
（3）由可知对称轴为：
∵
当时，在处取得最小值，即，解得：，或（舍）；
当时，在处取得最小值，即，此时方程无解；
当时，在处取得最小值，即，解得：，或（舍）；
综上所述：，或
（4）当时，二次函数为，
∴，，，
∵，，
∴直线的解析式为：，
∵点与原点O关于直线BC对称，设，
∴
解得：，
∴，
设点，
∴直线为，
由
可得，
为等腰三角形时，
当，可得：，
化简整理得：，
解得：，（舍）
∴
当，可得：，
化简整理得：，
解得：，（舍）
∴
综上所述：，或
【点睛】本题考查了二次函数综合类问题，充分利用函数的对称轴和等腰三角形的性质是解决问题的关键
41．问题呈现：探究二次函数（其中，m为常数）的图像与一次函数的图像公共点．
(1)问题可转化为：二次函数的图像与一次函数______的图像的公共点．
(2)问题解决：在如图平面直角坐标系中画出的图像．
(3)请结合（2）中图像，就m的取值范围讨论两个图像公共点的个数．
(4)问题拓展：若二次函数（其中，m为常数）的图像与一次函数的图像有两个公共点，则m的取值范围为______．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)或或，两个图像公共点的个数为1个；时，两个图像公共点的个数为2个；或时，两个图像公共点的个数为0个；
(4)
【分析】（1）令，整理得：，可以转化为二次函数的图像与一次函数图像的公共点；
（2）先在坐标轴上描出点，再连线即可；
（3）通过数形结合的方式进行分类讨论；
（4）通过数形结合的方式，分当时；当时；注意当时，要使有两个公共点，则满足，求解即可．
【详解】（1）解：令，
整理得：，
可以转化为二次函数的图像与一次函数图像的公共点，
故答案为：；
（2）解：先在坐标轴上描出点，
再连线即可，如下图：
（3）解：如图：
当时，与有一个交点，
当时，与有两个交点，
当时，与有一个交点，
综上：或或，两个图像公共点的个数为1个；时，两个图像公共点的个数为2个；或时，两个图像公共点的个数为0个；
（4）解：如下图：
当时，（其中，m为常数）与有一个交点有一个公共点；
当时，（其中，m为常数）与没有公共点；
要使（其中，m为常数）与有两个公共点，则满足
且，
解得：且，
，
故时，（其中，m为常数）与有两个公共点，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的综合，函数图象的交点问题，解题的关键是利用数形结合、分类讨论、转化的思想进行求解．
42．【定义】在平面直角坐标系中，有一条直线，对于任意一个函数图像，把该图像在直线上的点以及直线右边的部分向上平移个单位长度（），再把直线左边的部分向下平移个单位长度，得到一个新的函数图像，则这个新函数叫做原函数关于直线的“分移函数”．例如：函数关于直线的“分移函数”为 ．
【概念理解】
(1)① 已知点、、，其中在函数关于直线的“分移函数”图像上的点有_________ ；
② 已知点在函数关于直线的“分移函数”图像上，求的值．
【拓展探究】
(2)若二次函数关于直线的“分移函数”与轴有三个公共点，是否存在，使得这三个公共点的横坐标之和为，若存在请求出的值，若不存在，请说明理由．
【深度思考】
(3)已知，，，，若函数关于直线的“分移函数”图像与四边形的边恰好有个公共点，请直接写出的取值范围．
【答案】(1)①，；②
(2)存在，
(3)或
【分析】（1）先根据概念求出对应函数表达式，然后通过点的坐标代入计算即可求解；
（2）设函数图像与轴的三个交点横坐标分别为、、 ，且，
利用二次函数对称性可求出，从而可求出，然后把代入解方程即可；
（3）先求出关于直线的“分移函数”为，由，得顶点为，把代入，把代入得，分别以、、三种情况
进行讨论即可．
【详解】（1）解：①函数关于直线的“分移函数”为，
分别将点、、代入验证，
则点，满足函数关系，
故答案为：，．
②时，函数关于直线的“分移函数”为，
将点代入，
得．
（2）解：存在．
二次函数关于直线的“分移函数”为，
当时，；
将代入得，
图像与轴有三个公共点，
，
解得：，
设函数图像与轴的三个交点横坐标分别为、、 ，且，
对称轴为直线，
与关于直线对称，
，
三个公共点的横坐标之和为，
，
把代入得．
（3）解：关于直线的“分移函数”为，
，
顶点为，
把代入，
把代入得，
当时，，且，
此时共有三个交点，不满足题意；
当时，，且，
此时共有四个交点，满足题意；
当时，越大，顶点的纵坐标越小，
设直线的表达式为，代入得，
，
与联立得，
整理得，
，
根的判别式，
或（舍），
图像与四边形的边恰好有个公共点，应满足，
，
综上，的取值范围为：或．
【点睛】本题考查了与函数相关的变换、函数图像交点问题二次函数图像与性质、熟练掌二次函数图像与性质并采用分类讨论思想是解题关键．
43．如图1，在平面直角坐标系中，直线轴，交y轴的正半轴于点，且，点B是y轴右侧直线l上的一动点，连接．

(1)请直接写出点A的坐标；
(2)如图2，若动点B满足，点C为的中点，点为线段上一动点，连接．在平面内，将沿翻折，点B的对应点为点P，与相交于点Q，当时，求线段的长；
(3)如图3，若动点B满足，为的中位线，将绕点B在平面内逆时针旋转，当点O、E、F三点共线时，求直线EB与x轴交点的坐标；
(4)如图4，平分交于点，于点，交于点，为的一条中线．设，，的周长分别为，，．试探究：在B点的运动过程中，当时，请直接写出点B的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)或
(4)
【分析】
（1）根据，点A位于y轴的正半轴即可得出答案；
（2）根据折叠性质和特殊角解三角形，先求出，，再过点D作，得出，解三角形即可求出，从而求出，
（3）将绕点B在平面内逆时针旋转，当点O、E、F三点共线时，有两种情况，当将绕点B在平面内逆时针旋转，可得点、F恰好落在x轴，，从而可得直线与x轴交点的坐标；当将绕点B在平面内逆时针旋转到上方时，可得，从而得出，，继而可求，再由即可求出交点坐标．
（4）由已知可证明，进而可得，由此可得，延长交于H点，可得，，然后由双勾股求出，进而求出点B坐标．
【详解】（1）解：∵，点A位于y轴的正半轴，
∴点A坐标为，
（2）∵，直线轴，，
∴，，
∵点C为的中点，
∴，
又∵，
∴，
由折叠可知：
∴，
如解（2）图，过点D作，

∴，
，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
（3）解：∵，，
∴，
又∵为的中位线，
∴，，，
∴，
I．如图，将绕点B在平面内逆时针旋转，到如解（3）-1图所示位置时，

∴，直线轴，
∴
又∵，
∴四边形是矩形，
∴点、F恰好落在x轴，，
此时直线EB与x轴交点的坐标为，
II．如图，将绕点B在平面内逆时针旋转到点O、E、F三点共线时，，如解（3）-2图所示位置时，

延长交x轴于点K，
∵，，，
∴
∴，，
∴，
在中，，即：，
解得：，
∴，
∴，
∵直线轴，
∴直线轴，
∴，
∴在中，，
∴，
∴此时直线EB与x轴交点的坐标为，
综上所述：将绕点B在平面内逆时针旋转，当点O、E、F三点共线时，直线与x轴交点的坐标为或；
（4）直线轴，于点D，
∴，，
又∵平分交于点，即：，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵为的一条中线．
∴，即：，
∵，，
∴，
∴设，，的周长分别为，，．
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
延长交于H点，如解（4）图，

∵，，，
∴
∴，，
∴，，
∵，，
∴
解得： （不合题意，舍去），，
故，
∴，
∴，
∴，
所以点B坐标为．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定和性质、解三角形、相似三角形的判定和性质，难度较大，确定运动后线段之间的位置关系、正确作出辅助线是解题的关键．
44．如图，在中，，点O，D分别在边，上，并且到的距离相等，，，．以点O为圆心，半径长为1作⊙，再过点D作⊙的切线，，切点分别为E，F．
(1)求证：；
(2)求的面积及的长；．
(3)点P在线段上，且，
①求线段的长；
②将①中的线段绕点O顺时针旋转一周，旋转过程中，将P的对应点记作点Q，请直接写出点Q到的最短距离．
【答案】(1)见解析
(2)，
(3)①；②．
【分析】（1）根据，是⊙的切线，连接，，证明和全等，即可求解．利用含有
（2）过点O作于点H，可以得到是含有的直角三角形，求出的长，那么即可得到，即可得到答案；，已知，求出，因为，所以在中，利用勾股定理求出，即可得出答案．
（3）①由（1）得到的，再由，可证明，因为，所以在中，设未知数x，表示出的各边线段长度，利用勾股定理求出答案．
②作中边上的高，交于点M，交于点N，通过题目条件可知，，要求Q到的最短距离，即在求的值．由（1）可知的面积，同时，可求得的长度，要求的长度，可通过证明，因为，所以，可得，求出，即可的长度．
【详解】（1）解：证明：如图，连接，，
∵，为⊙的切线，E，F为切点，
，，
即，
∵在和中，，
∴，
∴．
（2）如图，过点O作于点H．
∵，，
∴，，
∴．
∵在中，
，
∴，
∵，
∴．
（3）①由（1）可知，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
在和中，，
∴（），
∴，设，
∴．
在中，
∵，
∴，解得，
∴．
②作中边上的高，交于点M，交于点N，
∵点O，D到的距离相等，
∴，
∴．
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴．
∴，．
∴．
∴，
则点Q到的最短距离为．
【点睛】本题考查了三角形相似，三角形的全等，勾股定理，含有的直角三角形的性质，圆的切线的性质，正确找到辅助线的做法是解决本题的关键．
45．【基础巩固】
（1）如图①，在中，，，点D为延长线上一点，连接，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接．求证：；
【尝试应用】
（2）如图②，在（1）的条件下，连接交于点F，若，，求线段的长；
【拓展提高】
（3）如图③，在正方形中，点E是对角线延长线上的一点，连接，将绕点D逆时针旋转得到线段交于点F，交于点G，连接．若，，直接写出的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）
【分析】（1）由旋转的性质得出，，根据可证明≌；
（2）证明，利用勾股定理求出的长，再证明，进而可得则可得出答案；
（3）延长至点，使得，证明，由相似三角形的性质得出，设，则，得出，，由比例线段求出，证明，由相似三角形的性质得出，则可得出答案．
【详解】（1）证明：将线段绕点逆时针旋转得到线段，
，，
，
，
，
在和中，

．
（2）解：，，
，
，
，，
，
，，
，
∵，
∴，
∴，
设，，
，
，
，
；
（3）解：延长至点，使得，

由（1）得，
，，
，
连接交于点，
，
，
，
，
，
设，则，
，，
，
解得，
，，
又，
，
，
，
．
【点睛】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
46．【问题探究】
（1）如图1，在矩形中，连接，点分别是的中点，连接，若，，则矩形的周长为______；
（2）如图2，正方形边长为10，、分别是边上的动点，连接，且，若，，求与之间的函数关系式；
【问题解决】
（3）如图3所示，矩形是某地的一个湖，其中，点分别是湖岸、的中点．当地政府计划将其改造成一个旅游景点，决定在湖岸上选一点，过点作与平行的直线交于点，沿分别建观光长廊，交于点，点是的中点，并以为一边向左侧建一个正方形垂钓中心．设，正方形垂钓中心的面积为．
①求与之间的函数关系式；
②按照设计要求，发现当的长度为时，整体布局比较合理．试求当时，正方形垂钓中心的面积．
【答案】（1）；（2）；（3）①；②
【分析】（1）利用三角形的中位线定理求出，，然后利用矩形的性质求解即可；
（2）证明，利用相似三角形的性质求解即可；
（3）①证明，求出，证明，求出，，然后分，两种情况讨论即可；
②把代入①中所求函数关系式求解即可．
【详解】解：（1）∵点分别是的中点， ，，
∴，，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴矩形的周长为，
故答案为：；
（2）∵正方形边长为10，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴；
（3）①∵矩形中，点分别是、的中点．
∴，，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
当过M作于H，

∵，
∴，
又，
∴，
∴，即，
∴，，
∴，
∴；
当过M作于H，

∵，
∴，
又，
∴，
∴，即，
∴，，
∴，
∴，
综上，
②把代入，得，
即正方形垂钓中心的面积为．
【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，正方形的性质，相似三角形的判断与性质等知识，明确题意，寻找出相似三角形进行求解是解题的关键．
47．综合与实践
在四边形中，将边绕点顺时针旋转至（），的角平分线所在直线与直线相交于点，与边或边交于点．
【特例感知】
（1）如图1，若四边形是正方形，旋转角，则_____．
【类比迁移】
（2）如图2，若四边形是正方形且，试探究在旋转的过程中的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由；
【拓展应用】
（3）如图3，若四边形是菱形，，，在旋转的过程中，当线段与线段存在倍的关系时，请直接写出的长．
【答案】（1）；（2）是定值，；（3）或．
【分析】（1）根据旋转的性质及正方形的性质得出，根据等腰三角形的性质及外角性质即可得答案；
（2）根据旋转的性质及正方形的性质得出，根据等腰三角形的性质及外角性质即可得答案；
（3）当时，，过点作于，于，过点作于，于，连接，根据题意可得，是等边三角形，利用（2）中方法可得，利用证明，利用含角的直角三角形的性质及全等三角形的性质得出，利用三角函数得出，即可得出，可证明，即可得出的长；当时，设，利用勾股定理及三角函数列方程可求出的值，即可得出的值，根据得出的长，即可得出的长，根据可求出的长，即可得出的长，综上即可得答案．
【详解】解：（1）∵四边形是正方形，将边绕点顺时针旋转至，旋转角，
∴，，，
∵的角平分线所在直线与直线相交于点，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：
（2）是定值，
∵四边形是正方形，，
∴，，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴在旋转的过程中的值为定值，．
（3）如图，当时，，过点作于，于，过点作于，于，连接，
∵四边形是菱形，，，
∴，是等边三角形，，
∴，，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，即，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，即，
解得：．
如图，当时，，过点作于，设、交于点，
∴，
∵，
∴设，
∴，
∵，
∴，
∴，
整理得：，
解得：，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得：，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得：，
∴．
综上所述：的长为或．
【点睛】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、菱形的性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形及解一元二次方程，综合性强，熟练掌握相关性质及判定定理，并分类讨论是解题关键．
48．（1）如图1，在直角中，，过C作交于点D，求证：；
（2）如图2，在菱形中，过C作交的延长线于点E，过E作交边于点F．
①若，求的值；
②若（），直接写出的值（用含n的式子表示）；
（3）如图3，在菱形中，，点E在上，且，点F为上一点，连接，过E作交于点G， ，求的值（用含a的式子表示）．
【答案】（1）见解析；（2）①；②；（3）或
【分析】（1）证明，得出，即可得出结论；
（2）①由（1）可得，设，，则，推出，求出、即可推出结果；②仿①可推出结果；
（3）延长交AD的延长线于点M，连接，过点E作于点H，证明，得出 ，由（1）可得，得，设，则，， 从而得出，求出x的值即可．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
又，由（1）可得，
①∵，设，则，
∴，
∴=3a，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
②∵（），设，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图所示，延长交的延长线于点M，连接，过点E作于点H，
∵菱形中，且 ，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴ ，
∵a，
∴，
在中，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
由（1）可得，
∴G，
设，则，
，
∴，
解得： 或a，
即 或
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，菱形的性质，解直角三角形，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定，用好双垂直模型是解题的关键．
小明
小丽
A
B
C
D
A
B
C
D
种类
数量（份）
A
1800
2300
900
A
B
C
D
A
A，B
A，C
A，D
B
B，A
B，C
B，D
C
C，A
C，B
C，D
D
D，A
D，B
D，C