【冲刺2024数学】中考真题（2023南通）及变式题（江苏南通2024中考专用）解答题部分

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1．（1）解方程组：
（2）计算：．
【答案】（1）；（2）1
【分析】（1）运用加消元法解二元一次方程；
（2）先进行分式的乘法运算，再计算减法得到结果．
【详解】（1）解：，得
把代入，得
这个方程组的解为
（2）解：原式．
【点睛】本题主要考查解二元一次方程组和分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．
2．（1）解方程组 （2）计算：
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）把方程②化为：，再把方程①整体代入求解 再求 从而可得答案；
（2）先通分，计算括号内的分式的加减运算，同步把除法运算转化为乘法运算，再约分后可得答案．
【详解】解：（1）
由②得：③
把①代入③得：


把代入①得：

所以方程组的解是：
（2）



【点睛】本题考查的是二元一次方程组的解法，分式的混合运算，掌握以上运算的运算方法是解题的关键．
3．（1）解不等式组：．
（2）计算：．
【答案】（1）-5≤x＜3；（2）
【分析】（1）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可；
（2）原式利用除法法则变形，约分后两项通分并利用同分母分式的加法法则计算得到最简结果．
【详解】解：（1），
由①得：x≥-5，
由②得：x＜3，
∴不等式组的解集为-5≤x＜3；
（2）
=．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组以及分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
4．计算：
(1).
(2).
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据计算解题，注意负号的作用；
（2）先通分，再将分式的除法转化为乘法计算．
【详解】（1）解：
（2）
．
【点睛】本题考查零指数幂与负整指数幂、正切、化简绝对值、分式的加减乘除运算等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
5．（1）计算：[（x+y）2﹣（x﹣y）2]÷（2xy）
（2）化简求值：，其中x选取﹣2，0，1，4中的一个合适的数．
【答案】（1）2；（2），当x＝1时，原式＝4．
【分析】（1）首先利用完全平方公式和平方差公式化简，然后括号里面合并同类项，最后根据单项式除以单项式运算法则求解即可；
（2）首先对分子分母因式分解和括号里面式子通分，然后根据分式的混合运算法则化简，最后代入求解即可．
【详解】（1）[（x+y）2﹣（x﹣y）2]÷（2xy）
＝（x2+2xy+y2﹣x2+2xy﹣y2）÷2xy
＝4xy÷2xy
＝2；
（2）解：原式＝÷（）+1
＝+1
＝+
＝
要使分式有意义，，，
∴，，，
∴当x＝1时，原式＝4．
【点睛】此题考查了整式的混合运算，分式的化简求值问题，解题的关键是熟练掌握整式的混合运算和分式的混合运算法则．
6．（1）解不等式组：
（2）化简：
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据不等式的性质，求得不等式组的解集．
（2）按照分式混合运算法则，结合因式分解，进行计算即可．
【详解】（1）由①得：，
由②得：，
所以，不等式组的解集是．
（2）原式

，
故答案为： ，
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组以及分式混合运算，理解相关计算方法进行正确的计算是解题关键．
7．某校开展以"筑梦天宫、探秘苍穹"为主题的航天知识竞赛，赛后在七、八年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩，进行整理、分析，得出有关统计图表．

(1)若该校八年级共有300名学生参赛，估计优秀等次的约有____________人；
(2)你认为七、八年级中哪个年级学生的竞赛成绩更好些?请从两个方面说明理由．
【答案】(1)90
(2)答案不唯一，见解析
【分析】（1）求出优秀等次的频率，再求出总人数，用样本估计总体；
（2）根据平均数，中位数，众数，方差进行评价．
【详解】（1）解：，
故答案为：90；
（2）解：答案不唯一，如：七年级学生的竞赛成绩更好些．
理由：七、八年级抽取的学生竞赛成绩的平均数相同，而七年级学生成绩的方差小，成绩更稳定；
七、八年级抽取的学生竞赛成绩的平均数相同，而七年级学生成绩的优秀及良好占比更高．
八年级学生的竞赛成绩更好些．
理由：七、八年级抽取的学生竞赛成绩的平均数相同，而八年级学生成绩的中位数高于七年级；
七、八年级抽取的学生竞赛成绩的平均数相同，而八年级学生成绩的众数高于七年级．
【点睛】本题考查方差、中位数、众数、条形图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
8．某学校开展课外体育活动，决定开设A：篮球、B：乒乓球、C：踢毽子、D：跑步四种活动项目．为了解学生最喜欢哪一种活动项目（每人只选取一种），随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘成如下统计图，请你结合图中信息解答下列问题：
(1)求出“最喜欢篮球”部分的扇形的中心角度数；
(2)请把条形统计图补充完整；
(3)若该校有学生2000人，请根据样本估计全校最喜欢踢毽子的学生人数约是多少？
【答案】(1)
(2)见解析
(3)200人
【分析】本题考查扇形图和条形图的综合应用，从统计图中有效的获取信息，是解题的关键．
（1）用最喜欢A项目的人数所占的百分比乘以度，求解即可；
（2）先求出A项目的人数，再补全条形图即可；
（3）利用样本估计总体的思想进行求解即可．
【详解】（1）最喜欢A项目的人数所占的百分比为：，
其所在扇形对应的圆心角度数是：
（2）抽查学生总数为人，A项目的人数为人，如图所示：
（3）人
答：全校最喜欢踢毽子的学生人数约为200人．
9．中国共产党的助手和后备军——中国共青团，担负着为中国特色社会主义事业培养合格建设者和可靠接班人的根本任务.成立一百周年之际，各中学持续开展了A：青年大学习；B：青年学党史；C：中国梦宣传教育；D：社会主义核心价值观培育践行等一系列活动，学生可以任选一项参加.为了解参与情况，进行了一次抽样调查，根据收集的数据绘制了两幅不完整的统计图.
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
(1)在这次调查中，一共抽取了____________名学生；
(2)补全条形统计图；
(3)若该校共有学生1280名，请估计参加B项活动的学生数；
(4)小杰和小慧参加了上述活动，请用列表或画树状图的方法，求他们参加同一项活动的概率.
【答案】(1)200；
(2)见解析；
(3)估计参加B项活动的学生数有512名；
(4)画树状图见解析，他们参加同一项活动的概率为．
【分析】（1）根据D项活动所占圆心角度数和D项活动的人数计算即可；
（2）根据总人数求出参加C项活动的人数，进而可补全条形统计图；
（3）用该校总学生人数乘以抽查的学生中参加B项活动所占的比例即可；
（4）画出树状图可知，共有16种等可能的结果，其中他们参加同一项活动的情况数有4种，然后根据概率公式计算即可．
【详解】（1）解：（名），
即在这次调查中，一共抽取了200名学生，
故答案为：200；
（2）参加C项活动的人数为：200－20－80－40＝60（名），
补全条形统计图如图：
（3）（名），
答：估计参加B项活动的学生数有512名；
（4）画树状图如图：
由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中他们参加同一项活动的情况数有4种，
所以他们参加同一项活动的概率为．
【点睛】本题考查了条形统计图，扇形统计图，用样本估计总体，列表法或树状图法求概率，能够从不同的统计图中获取有用信息是解题的关键．
10．终身学习是学习型社会的核心内容，努力建设“学习型家庭”也是一个重要组成部分．为了解“学习型家庭”情况，某社区对部分家庭六月份的平均每天看书学习时间进行了一次抽样调查，并根据收集的数据绘制了下面两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）本次抽样调查了多少个家庭；
（2）将图①中的条形图补充完整；
（3）学习时间在1～1.5小时的部分对应的扇形圆心角的度数是多少；
（4）若该社区有家庭有5000个，请你估计该社区学习时间不少于1小时的约有多少个家庭？
【答案】（1）200个；（2）补图见解析；（3）108°；（4）3500个.
【分析】（1）根据1.5～2小时的圆心角度数求出1.5～2小时所占的百分比，再用1.5～2小时的人数除以所占的百分比，即可得出本次抽样调查的总家庭数；
（2）用抽查的总人数乘以学习0.5-1小时的家庭所占的百分比求出学习0.5-1小时的家庭数，再用总人数减去其它家庭数，求出学习2-2.5小时的家庭数，从而补全统计图；
（3）用360°乘以学习时间在1～1.5小时所占的百分比，即可求出学习时间在1～1.5小时的部分对应的扇形圆心角的度数；
（4）用该社区所有家庭数乘以学习时间不少于1小时的家庭数所占的百分比即可得出答案．
【详解】（1）本次抽样调查的家庭数是：30÷=200（个）；
故答案为200；
（2）学习0.5-1小时的家庭数有：200×=60（个），
学习2-2.5小时的家庭数有：200-60-90-30=20（个），
补图如下：
（3）学习时间在1～1.5小时的部分对应的扇形圆心角的度数是：360×=108°；
故答案为108；
（4）根据题意得：5000×=3500（个）．
答：该社区学习时间不少于1小时的家庭约有3500个．
【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图及相关计算．在扇形统计图中，每部分占总部分的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与360°的比．
11．为落实关于开展中小学课后服务工作的要求，某学校开设了四门校本课程供学生选择：A．趣味数学；B．经典阅读；C．开心英语；D．硬笔书法．某年级共有150名学生选择了A课程，为了解本年级选择A课程学生的学习情况，从这150名学生中随机抽取了30名学生进行测试，将他们的成绩（百分制）分成六组，绘制成频数分布直方图．
(1)已知这组的数据为74，76，75，72，73，76，79．则这组数据的中位数、众数分别是多少；
(2)根据题中信息，估计该年级选择A课程学生成绩在的总人数；
(3)该年级每名学生选两门不同的课程，小张和小王在选课程的过程中，若第一次都选了课程C，那么他俩第二次同时选择课程A或课程B的概率是多少？请用列表法或画树状图的方法加以说明．
【答案】(1)中位数、众数分别是75,76
(2)45
(3)
【分析】（1）直接根据中位数、众数定义求解即可；
（2）用总人数乘以样本中成绩在80≤x＜90的人数所占比例；
（3）画树状图，可能的结果共有9种，小张同时选择课程A或课程B的情况共有2种，再由概率公式求解即可．
【详解】（1）把74，76，75，72，73，76，79按从小到大重新排列后为72，73，74，75，76，76，79，所以中位数为75，
76出现的次数最多，所以众数为76
（2）观察直方图，抽取的30名学生，成绩在80≤x＜90范围内选取A课程的有9人，所占比为，
∴该年级选择A课程学生成绩在的总人数为（人），
所以估计该年级选取A课程的总人数为30人；
（3）因该年级每名学生选两门不同的课程，第一次都选了课程C，列树状图如下：
等可能结果共有9种，他俩第二次同时选择课程A或课程B的有2种，
所以，他俩第二次同时选择课程A或课程B的概率是．
【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．也考查了中位数和众数．
12．在“双减”背景下，为丰富作业形式，提高学生阅读兴趣和实践能力，某校开展“五个一百工程”英语课本剧表演活动．为了解“学生最喜爱的课本剧”的情况，随机抽取了部分学生进行调查，规定每人从“A（《灰姑娘》），B（《小红帽》），C（《白雪公主》），D（《皇帝的新装》），E（其他）”五个选项中必须选择且只能选择一个，并将调查结果绘制成如下两幅尚不完整的统计图表．
最喜爱的课本剧人数调查统计表
最喜爱的课本剧人数分布扇形统计图

根据以上信息，请回答下列问题：
(1)本次调查的样本容量是 ， ；
(2)扇形统计图中D选项对应的扇形的圆心角的度数为 °；
(3)该校有1600名学生，根据抽样调查的结果，估计该校最喜爱的课本剧是《小红帽》的学生人数．
【答案】(1)200，72
(2)39.6
(3)480人
【分析】（1）依据，即可得到样本容量，样本容量减去A、B、C的人数，即得的值；
（2）分别求出n、m的值，利用周角乘D选项的占比，即得对应的圆心角的度数；
（3）1600乘最喜爱的课本剧是《小红帽》的学生所占比例，即可估计该校最喜爱的课本剧是《小红帽》的学生人数．
【详解】（1）解：，
，
故答案为：，；
（2）解：，，
对应的圆心角，
故答案为：；
（3）解：估计该校最喜爱的课本剧是《小红帽》的学生人数（人），
故该校最喜爱的课本剧是《小红帽》的学生人数约为 人．
【点睛】本题主要考查了统计表和扇形统计图，熟练掌握统计表和扇形统计图中必要信息的互补性，是解决本题的关键．
13．如图，点，分别在，上，，，相交于点，．
求证：．
小虎同学的证明过程如下：
证明：∵，
∴．
∵，
∴．第一步
又，，
∴第二步
∴第三步

(1)小虎同学的证明过程中，第___________步出现错误；
(2)请写出正确的证明过程．
【答案】(1)二
(2)见解析
【分析】（1）根据证明过程即可求解．
（2）利用全等三角形的判定及性质即可求证结论．
【详解】（1）解：则小虎同学的证明过程中，第二步出现错误，
故答案为：二．
（2）证明：∵，
，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，熟练掌握其判定及性质是解题的关键．
14．阅读下题及证明过程．
已知：如图，，，求证：．
证明：，，，
第一步
第二步
上面的证明过程是否正确？若正确，请写出每一步推理的依据；若不正确，请指出错在哪一步，并写出你认为正确的证明过程．
【答案】上面的过程不正确．错在第一步．证明过程见解析
【分析】先证明，再用或证明．
【详解】解：上面的过程不正确．
错在第一步．
证明：，
，
，
即，
．
在和中
，
．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质．
15．如图，在四边形ABCD中，且，试说明．
小明的解答过程如下：

(1)小明的解答过程从第______步开始出现错误；
(2)请你写出正确的解答过程．
【答案】(1)二；
(2)见解析．
【分析】（1）根据平行线的性质分析即可作答；
（2）根据平行线的性质得，再证，即可得．
【详解】（1）解：因为，
所以，
所以第二步错误，
故答案为：二；
（2）解：因为，
所以，
在与中，
因为，，，
所以，
所以．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质及全等三角形的判定及性质，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．
16．如图，在和中，，判断和是否全等．
解：在和中，
∴．
上面的解答过程正确吗？若不正确，请你说明错误的原因．
【答案】不正确，错误原因见解析．
【分析】根据直角三角形全等的判定定理判定．
【详解】解：不正确，错误原因如下：
∵在中是斜边，在中是直角边，
∴不满足斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等的条件，
∴解答过程不正确．
【点睛】本题考查了直角三角形的全等判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．
17．如图，点D，E在的边上，连接，，若，，试证明：．
圆圆的证明过程如下：
证明：∵，∴，
在与中，
，
∴，∴．
她的证明过程______（填“正确”“错误”）．若不正确，请写出正确的推导过程．
【答案】错误，见解析
【分析】利用无法证明三角形全等，根据，得到，进而推出，利用证明，进而得出．
【详解】解：圆圆利用的方法，不能判定，
∴她的证明过程是错误的，
故答案为：错误；
正确的推导过程如下：
证明：∵，，
∴，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质．熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键．
18．阅读与思考
请你阅读小字的数学思考，并完成相应的任务．
任务：
(1)填空：上述证明中的“依据”是指________．
(2)补全证明：请你用初中所学的知识补充小宇证明中的不完整部分．
(3)结合小宇的数学思考，请你判断①两边分别相等，其中一组等边的对角都是锐角且相等时，两个三角形是否全等；②两边分别相等，其中一组等边的对角都是直角时，两个三角形是否全等．请直接写出结果，不必证明．
【答案】(1)等角的补角相等
(2)见解析
(3)①两边分别相等，其中一组等边的对角都是锐角且相等时，两个三角形不一定全等；②两边分别相等，其中一组等边的对角都是直角时，两个三角形全等．
【分析】（1）根据等角的补角相等，即可解答；
（2）根据等角的补角相等，证明，证明，推出，再证明，推出，根据即可证明结论；
（3）①通过作图即可判断；②根据即可判断两个三角形全等．
【详解】（1）解：证明中的“依据”是指等角的补角相等，
故答案为：等角的补角相等；
（2）证明：如图2，过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于点，则．
∵，，且，
∴，（等角的补角相等）
在和中，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，
在和中，
∴；
（3）解：①两边分别相等，其中一组等边的对角都是锐角且相等时，两个三角形不一定全等；
在和中，，
如图，通过作图，可知与不一定全等．
；
②两边分别相等，其中一组等边的对角都是直角时，两个三角形全等．
在和中，，如图，
．
【点睛】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握三角形的全等的判定方法，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
19．有同型号的，两把锁和同型号的，，三把钥匙，其中钥匙只能打开锁，钥匙只能打开锁，钥匙不能打开这两把锁．
(1)从三把钥匙中随机取出一把钥匙，取出钥匙的概率等于___________；
(2)从两把锁中随机取出一把锁，从三把钥匙中随机取出一把钥匙，求取出的钥匙恰好能打开取出的锁的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图求概率即可求解．
【详解】（1）
解：共有三把钥匙，取出钥匙的概率等于；
故答案为：．
（2）
解：据题意，可以画出如下的树状图：

由树状图知，所有可能出现的结果共有种，这些结果出现的可能性相等．
其中取出的钥匙恰好能打开取出的锁(记为事件)的结果有种．
∴．
【点睛】
本题考查的是根据概率公式求概率，用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
20．图1是某教室里日光灯的四个控制开关（分别记为A，B，C，D）的示意图，每个开关分别控制一排日光灯（开关序号与日光灯的排数序号不一定一致）．某天上课时，王老师在完全不知道哪个开关对应控制哪排日光灯的情况下先后随机按下两个开关．

(1)求王老师按下第一个开关恰好能打开第一排日光灯的概率；
(2)补全图2的树状图，求王老师按下两个开关恰好能打开第一排与第三排日光灯的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据概率公式可直接进行求解；
（2）利用树状图可进行求解概率．
【详解】（1）解：由题意可知，王老师按下第一个开关恰好能打开第一排日光灯的概率为．
（2）解：补全树状图如图：

所有出现的等可能结果共有12种，其中满足条件的结果有2种．
∴P（两个开关恰好能打开第一排与第三排日光灯）．
【点睛】本题主要考查概率，熟练掌握利用树状图求解概率是解题的关键．
21．有五个封装后外观完全相同的纸箱，且每个纸箱内各装有一个西瓜，其中，所装西瓜的重量分别为，，，，．现将这五个纸箱随机摆放．
(1)若从这五个纸箱中随机选1个，则所选纸箱里西瓜的重量为的概率是 ；
(2)若从这五个纸箱中随机选2个，请利用列表或画树状图的方法，求所选两个纸箱里西瓜的重量之和为的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据概率公式即可求得；
（2）首先画出树状图，展示所有20种等可能的结果数，再找出两个数字之和等于所占的结果数，再根据概率公式计算．
【详解】（1）解：∵一共有5个箱子，每个箱子被选取的概率相同，而西瓜重量为的箱子有2个，
∴这五个纸箱中随机选1个，所选纸箱里西瓜的重量为的概率是，
故答案为：；
（2）解：画树状图如下：

共有20种等可能的结果，其中所选两个纸箱里西瓜的重量之和为的结果有6种，
所选两个纸箱里西瓜的重量之和为的概率为．
【点睛】本题考查了求概率公式，利用画树状图求概率，熟练掌握和运用求概率的方法是解决本题的关键．
22．某班计划选2名学生去参加校外劳动实践，甲、乙、丙、丁4名学生积极报名参加，其中甲是学生会成员，其余三人是班级干部；班主任决定用随机抽取的方式确定人选．
(1)随机抽取1人，甲没被抽中的概率是 ；
(2)若需从这4名学生中随机抽取2人，请用画树状图法或列表法求出被抽到的两名学生都是班级干部的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
（1）直接利用概率公式可得答案．
（2）画树状图得出所有等可能的结果数以及被抽到的两名学生都是班级干部的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】（1）解：由题意得，随机抽取1人，甲没被抽中的概率是的概率为．
故答案为：．
（2）解：画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中被抽到的两名学生都是班级干部的结果有：乙丙，乙丁，丙乙，丙丁，丁乙，丁丙，共6种结果，
∴被抽到的两名学生都是班级干部的概率为．
23．小明和小亮玩一个游戏：三张大小，质地都相同的卡片上分别标有数字1，2，3，现将标有数字的一面朝下，小明从中任意抽取一张记下数字后，小亮再从剩下的卡片中抽取一张记下数字，如果两人抽取的两张卡片上的数字之和为奇数，则小明胜，若两人抽取的两张卡片上的数字之和为偶数，则小亮胜
(1)小明抽取的卡片上的数字是3的概率是
(2)你认为这个游戏公平吗？请说明理由
【答案】(1)
(2)不公平；理由见解析
【分析】（1）根据概率公式进行计算即可求解．
（2）将所有可能的情况在图中表示出来即可；计算出和为奇数与和为偶数的概率，即可得到游戏是否公平．
【详解】（1）解：依题意，小明抽取的卡片上的数字是3的概率是，
故答案为：；
（2）解：画树状图图下：
∵（和为奇数）；（和为偶数）；
∴该游戏对双方是不公平的．
【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．
24．学校为了践行“立德树人，实践育人”的目标，开展劳动课程，组织学生走进农业基地，欣赏田园风光，体验劳作的艰辛和乐趣，该劳动课程有以下小组：A．搭豇豆架、B．斩草除根C．趣挖番薯、D．开垦播种，学校要求每人只能参加一个小组，甲和乙准备随机报名一个小组．
(1)甲选择“趣挖番薯”小组的概率是__________；
(2)请利用列表或画树状图的方法，求甲、乙两人选择同一个小组的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图求概率即可求解．
【详解】（1）解：共有4个小组，甲选择“趣挖番薯”小组的概率是；
故答案为：．
（2）解：画树状图如图，

共有16种等可能结果，其中甲、乙两人选择同一个小组，有4种，
∴甲、乙两人选择同一个小组的概率．
【点睛】本题考查的是根据概率公式求概率，用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
25．如图，等腰三角形的顶角，和底边相切于点，并与两腰，分别相交于，两点，连接，．

(1)求证：四边形是菱形；
(2)若的半径为2，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据切线的性质可得，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得，从而可得和都是等边三角形，最后利用等边三角形的性质可得，即可解答；
（2）连接交于点，利用菱形的性质可得，，，然后在中，利用勾股定理求出的长，从而求出的长，最后根据图中阴影部分的面积扇形的面积菱形的面积，进行计算即可解答．
【详解】（1）证明：连接，
和底边相切于点，
，
，，
，
，，
和都是等边三角形，
，，
，
四边形是菱形；
（2）解：连接交于点，
四边形是菱形，
，，，
在中，，
，
，
图中阴影部分的面积扇形的面积菱形的面积
，
图中阴影部分的面积为．
【点睛】本题考查了切线的性质，扇形面积的计算，等腰三角形的性质，菱形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
26．如图，是的直径，相切与点B，连接、，过圆心O作，连接并延长，交延长线于点A．
(1)求证：；
(2)若F是的中点，的半径为2，求阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了圆周角定理、切线的性质、扇形面积公式、平行线的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
（1）先根据圆周角定理和平行线的性质证得，再根据等腰三角形的性质证得，进而可得证；
（2）先根据直角三角形斜边中线性质和等边三角形的判定证明是等边三角形，则，则，利用含30度角的直角三角形的性质求得，， 然后利用阴影部分的面积等于求解即可．
【详解】（1）证明：连接，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵与相切与点B，
∴，
∴
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：如图，连接，
∵，F是的中点，，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，即，
∴，
∴，，
∴阴影部分的面积为：．
27．如图，O是的外接圆，是的直径，点D是延长线上一点，过点D作，分别交的延长线于点E、F，若点E恰是的中点，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据直径所对的圆周角是直角，可得，从而可得，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得，然后利用等腰三角形的性质可得，最后利用平角定义求出，即可解答；
（2）连接，根据已知可得，从而可得，然后证明是等边三角形，可得，根据，可得，从而可得，即可得是等边三角形，最后利用的面积减去扇形的面积进行计算即可解答．
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵，
∴．
∵是的直径，
∴．
∵点E是的中点，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴，
从而，
∴，
即．
∵是的半径，
∴是的切线．
（2）解：如图，连接，
由（1）知：，
∵， ，
∴．
∴，
∴．
∵，E是的中点，
∴，
∴．
∴．
由得是等边三角形，从而．
在中，，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
【点睛】本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，三角形的外接圆与外心，扇形面积的计算，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
28．内接于，直线与相切于点D，与相交于点E，．

(1)如图1，连接，求证：；
(2)如图2，当是的直径，点E是的中点，时，连接，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了求不规则图形面积，切线的性质，垂径定理，解直角三角形，圆周角定理等等：
（1）连接，如图1，根据切线的性质得到，则，利用垂径定理得到，然后根据圆周角定理得到结论；
（2）先由垂径定理得到，再由勾股定理得到，解直角三角形求出，则，再跟进进行求解即可．
【详解】（1）解：连接，如图所示．
∵直线与相切于点D，
∴，
又∵，
∴，
，
∴，

又，
∴；
（2）解：连接，
E是的中点，
，
由（1）知，，
，
在中，由勾股定理得，
∴，
，
∴，
，
∴，
．
29．如图，在中，，，以为直径的与边交于点D．
(1)判断直线与的位置关系，并说明理由；
(2)若，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】本题主要考查了切线的判定，求不规则图形面积，等边对等角，圆周角定理：
（1）利用等腰三角形的性质与三角形的内角和定理证明 从而可得结论；
（2）如图，连接，先证明 再利用阴影部分的面积等于三角形的面积减去三角形的面积，减去扇形的面积即可．
【详解】（1）证明：，，

即
在上，
为的切线．
（2）解：如图，连接，
，

∴
，
，
，，
，
．
30．如图，、是的切线，是切点，是的直径，连接，交于点，交于点．

(1)求证：；
(2)若恰好是的中点，且四边形的面积是，求阴影部分的面积．
【答案】(1)证明见解析；
(2)．
【分析】（）由切线长定理得，又由可得垂直平分线段，即得，由是的直径，得，可得，即可得；
（）先证明四边形是菱形，得到，即得是等边三角形，得到，，进而得，可得，再利用勾股定理得，由四边形的面积为得，设为，则，即得，求出，得到，，，再根据计算即可求解．
【详解】（1）证明：，是的切线，
∴，
又∵，
垂直平分线段，
∴，
又是的直径，
，
，
；
（2）解：连接，
点是的中点，
与互相垂直平分，
∴四边形是菱形，
，
∴是等边三角形，
，
，
∵是的切线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形的面积为，
，
∴，
设为，则，
∴，
解得（不合，舍去），，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了切线的性质，切线长定理，线段垂直平分线的判定和性质，圆周角定理，平行线的判定，菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，求弓形面积，掌握圆的有关性质定理是解题的关键．
31．为推进全民健身设施建设，某体育中心准备改扩建一块运动场地．现有甲、乙两个工程队参与施工，具体信息如下：
信息—
信息二
甲工程队施工所需天数与乙工程队施工所需天数相等．
(1)求x的值；
(2)该工程计划先由甲工程队单独施工若干天，再由乙工程队单独继续施工，两队共施工22天，且完成的施工面积不少于．该段时间内体育中心至少需要支付多少施工费用?
【答案】(1)x的值为600
(2)该段时间内体育中心至少需要支付施工费用56800元
【分析】（1）根据题意甲工程队施工所需天数与乙工程队施工所需天数相等列出分式方程解方程即可；
（2）设甲工程队先单独施工天，体育中心共支付施工费用元，根据先由甲工程队单独施工若干天，再由乙工程队单独继续施工，两队共施工22天，且完成的施工面积不少于列出不等式即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意列方程，得．
方程两边乘，得．
解得．
检验：当时，．
所以，原分式方程的解为．
答：x的值为600．
（2）解：设甲工程队先单独施工天，体育中心共支付施工费用元．
则．
，
．
1400>0，
随的增大而增大．
当时，取得最小值，最小值为56800．
答：该段时间内体育中心至少需要支付施工费用56800元．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，熟练掌握知识点是解题的关键．
32．桐梓县“四抓四到位”确保教育均衡发展，加速城区新、扩建项目工程，加快建设某间小学，公司经过调查了解：甲、乙两个工程队有能力承包建校工程，甲工程队单独完成建校工程的时间是乙工程队的2倍，甲、乙两队合作完成建校工程需要60天．
（1）甲、乙两队单独完成建校工程各需多少天？
（2）若甲、乙两队共同工作了10天后，乙队因其他工作停止施工，由甲队单独继续施工，要使甲队总的工作量不少于乙队已做工作量的2倍，那么甲队至少再单独施工多少天？
【答案】（1）甲工程队单独完成建校工程需要180天，乙工程队单独完成建校工程需要90天（2）甲队至少再单独施工30天
【分析】（1）根据题意可设乙工程队单独完成建校工程需要x天,则甲工程队单独完成建校工程需要2x天,利用甲乙合作工作量之和等于1,可列方程:60=1,
解得:x=90,所以2x=180．
（2）根据题意可设甲队再单独施工y天,
然后根据题意得:,解得:y≥30.
【详解】（1）设乙工程队单独完成建校工程需要x天,则甲工程队单独完成建校工程需要2x天,
根据题意得:60（+）=1,
解得:x=90,
经检验,x=90是原方程的解,且符合题意,
∴2x=180．
答:甲工程队单独完成建校工程需要180天,乙工程队单独完成建校工程需要90天．
（2）设甲队再单独施工y天,
根据题意得:≥×2,
解得:y≥30,
答:甲队至少再单独施工30天．
【点睛】本题主要考查分式方程的应用,不等式的应用,解决本题的关键是要熟练确定题目中的等量关系,正确列出方程和不等式.
33．鲜花饼是以云南特有的食用玫瑰花入料的酥饼，是具有云南特色的云南经典点心代表．某超市购进两种口味的鲜花饼，其中种口味鲜花饼每盒的价格比种口味的鲜花饼贵10元，用800元购买种口味鲜花饼的数量与用600元购买种口味鲜花饼的数量相同．
(1)求购买的两种口味的鲜花饼每盒分别是多少元？
(2)若计划用不超过5000元的资金再次购进两种口味的鲜花饼共计150盒，已知两种口味的鲜花饼成本不变，求种口味的鲜花饼最多能购进多少盒？
【答案】(1)A种口味的鲜花饼的价格为每盒40元，B种口味的鲜花饼的价格为每盒30元
(2)A种口味的鲜花饼最多能购进50盒
【分析】（1）设种口味的鲜花饼的价格为每盒元，种口味的鲜花饼的价格为每盒元，根据题意可列方程，进而可求出A、B两种口味的鲜花饼的单价；
（2）设种口味的鲜花饼购进盒，种口味的鲜花饼购进盒，依据题意列不等式可得答案．
【详解】（1）解：设B种口味的鲜花饼的价格为每盒元，A种口味的鲜花饼的价格为每盒元．
根据题意，得
解得
经检验是原分式方程的解．
∴（元）
答：A种口味的鲜花饼的价格为每盒40元，B种口味的鲜花饼的价格为每盒30元．
（2）解：设A种口味的鲜花饼购进盒，B种口味的鲜花饼购进盒，
根据题意，得
解得
答：A种口味的鲜花饼最多能购进50盒．
【点睛】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确找到等量关系和不等关系是解题的关键．
34．（2019·周口二模）由于技术更新，智能电视的功能越来越强大，价格也逐渐下降，某电器商行经营的A款40英寸智能电视去年销售总额为5万元，今年每台销售价比去年降低400元，若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少20%.
（1）今年A款40英寸智能电视每台售价多少元？（用列方程的方法解答）
（2）该电器商行计划新进一批A款40英寸智能电视和新款B款40英寸智能电视共60台，且B款40英寸智能电视的进货数量不超过A款40英寸智能电视数量的两倍，应如何进货才能使这批智能电视获利最多？
A，B两款40英寸智能电视的进货和销售价格如下表：
【答案】（1）今年A款40英寸智能电视每台售价为1600元；（2）当进A款电视20台，B款电视40台时，获利最大.
【分析】（1）设今年A款40英寸智能电视每台售价x元，则去年售价每台为（x+400）元，由卖出的数量相同建立方程求出其解即可；
（2）设今年新进A款40英寸智能电视a台，则B款40英寸智能电视（60-a）台，获利y元，由条件表示出y与a之间的关系式，由a的取值范围就可以求出y的最大值．
【详解】解：设今年A款40英寸智能电视每台售价为x元，则去年每台售价为（x+400）元，由题意得：
，
解得：x=1600，
经检验，x=1600是原方程的解，符合题意，
∴今年A款40英寸智能电视每台售价为1600元．
（2）设购进A款电视a台，则购进B款（60－a）台，此时获利y元，由题意，得
y=（1600-1100）a+（2000-1400）（60-a）
=-100a+36000，
∵B款40英寸智能电视的进货数量不超过A款40英寸智能电视数量的两倍，
∴60-a≤2a，
∴a≥20．
∵y=-100a+36000．
∴k=-100＜0，
∴y随a的增大而减小．
∴a=20时，y最大=34000元．
∴B款40英寸智能电视的数量为：60-20=40（台）．
∴当新进A款40英寸智能电视20台，B款40英寸智能电视40台时，这批智能电视获利最大．．
【点睛】本题考查了列分式方程解实际问题的运用，分式方程的解法的运用，一次函数的解析式的运用，解答时由销售问题的数量关系求出一次函数的解析式是关键．
35．“军运会”期间，某纪念品店老板用5000元购进一批纪念品，由于深受顾客喜爱，很快售完，老板又用6000元购进同样数目的这种纪念品，但第二次每个进价比第一次每个进价多了2元．
（1）求该纪念品第一次每个进价是多少元？
（2）老板以每个15元的价格销售该纪念品，当第二次纪念品售出时，出现了滞销，于是决定降价促销，若要使第二次的销售利润不低于900元，剩余的纪念品每个售价至少要多少元？
【答案】（1）10元；（2）至少要12元．
【分析】（1）设该纪念品第一次每个进价是x元，则第二次每个进价是（x+2）元，再根据等量关系：第二次进的个数＝第一次进的个数即可列出方程，解方程即得结果；
（2）设剩余的纪念品每个售价y元，由利润＝售价﹣进价，根据第二批的销售利润不低于900元即可列出关于y的不等式，解不等式即得结果．
【详解】解：（1）设该纪念品第一次每个进价是x元，由题意得：
，解得：x＝10，
经检验x＝10是分式方程的解，
答：该纪念品第一次每个进价是10元；
（2）设剩余的纪念品每个售价y元，由（1）知，第二批购进＝500（个），
根据题意，得：15×500×+y×500×﹣6000≥900，解得：y≥12．
答：剩余的纪念品每个售价至少要12元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用和不等式的应用，属于常考题型，正确理解题意、找准相等关系是解题关键．
36．李师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车．

(1)用含m的代数式表示新能源车的每千米行驶费用；
(2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元：
① 分别求出这两款车的每千米行驶费用；
② 若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4400元和6600元．问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？（年费用=年行驶费用+年其它费用）
【答案】(1)新能源车的每千米行驶费用为元；
(2)①燃油车的每千米行驶费用为元，新能源车的每千米行驶费用为元；②每年行驶里程超过5000千米时，买新能源车的年费用更低．
【分析】（1）利用电池电量乘以电价，再除以续航里程即可得；
（2）①根据燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元建立方程，解方程可得m的值，由此即可得；
②设每年行驶里程为千米时，买新能源车的年费用更低，根据这两款车的年费用建立不等式，解不等式即可得．
【详解】（1）解：新能源车的每千米行驶费用为元，
答：新能源车的每千米行驶费用为元；
（2）解：①由题意得：，
解得，
经检验，是所列分式方程的解，
则，，
答：燃油车的每千米行驶费用为元，新能源车的每千米行驶费用为元；
②设每年行驶里程为千米时，买新能源车的年费用更低，
由题意得：，
解得，
答：每年行驶里程超过5000千米时，买新能源车的年费用更低．
【点睛】本题考查了列代数式、分式方程的应用、一元一次不等式的应用，正确建立方程和不等式是解题关键．
37．正方形中，点在边，上运动（不与正方形顶点重合）．作射线，将射线绕点逆时针旋转45°，交射线于点．

(1)如图，点在边上，，则图中与线段相等的线段是___________；
(2)过点作，垂足为，连接，求的度数；
(3)在（2）的条件下，当点在边延长线上且时，求的值．
【答案】(1)
(2)的度数为或
(3)
【分析】（1）根据正方形的性质和已知条件得到，即可得到答案；
（2）当点在边上时，过点作，垂足为，延长交于点，证明，得到，推出为等腰直角三角形，得到答案；
当点在边上时，过点作，垂足为，延长交延长线于点，则四边形是矩形，同理得到，得到为等腰直角三角形得到答案；
（3）由平行的性质得到分线段成比例．
【详解】（1）．
正方形，
，
，
，
．
（2）解：①当点在边上时（如图），
过点作，垂足为，延长交于点．
，
四边形是矩形．
．
，，
，
为等腰直角三角形，．
．
．
．
，
．
为等腰直角三角形，．
．

②当点在边上时（如图），
过点作，垂足为，延长交延长线于点，则四边形是矩形，
同理，．
．
为等腰直角三角形，．
．

综上，的度数为45°或135°．
（3）解：当点在边延长线上时，点在边上（如图），
设，则．
．
．
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握平行线的分线段成比例以及全等三角形的判定和性质是解题的关键．
38．在矩形中，E是延长线上一点，连接．
(1)如图1，F、G分别为、的中点，连接、、．
①求证：；
②探究并猜想线段和的数量关系为______，并证明你的结论；
(2)如图2，若，过点C作于点H，若，，求线段的长度．
【答案】(1)①见详解，②
(2)
【分析】（1）①由G是的中点得到，再证明即可；②取的中点M，连接，，，在中由斜边上的中线等于斜边的一半求出，进而证明，得到，再由是的中位线即可求解；
（2）设，则和，在中求得，再设，则和，在中求得，在中求得，即可求得．
【详解】（1）解：①证明：∵是矩形，
∴，
又∵G是的中点，
∴
在和中
，
∴，
∴；
②取BC的中点M，连接MF，GM，DF，如下图所示，
∵F是直角斜边上的中点，
∴，
∴，
且，，
∴，
又M、G分别是和的中点，
∴，
在和中：
，
∴，
∴，
又∵M、F分别和的中点，
∴是△的中位线，
∴，
故；
（2）设，
∵，，
∴，，
在中，，解得，
则，，
设，则，
由角所对的直角边等于斜边的一半知，，
在中，由得，，解得，(舍去)，
∴，
在中，，则，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定和性质、中位线性质、三角形内角和定理、勾股定理、角所对直角边等于斜边的一半以及解一元二次方程，熟练掌握全等三角形定理及性质是解决本题的关键．
39．（2017辽宁省辽阳市）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D、E分别在AC、BC边上，DC=EC，连接DE、AE、BD，点M、N、P分别是AE、BD、AB的中点，连接PM、PN、MN．
（1）BE与MN的数量关系是 ；
（2）将△DEC绕点C逆时针旋转到如图2的位置，判断（1）中的结论是否仍然成立，如果成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由；
（3）若CB=6，CE=2，在将图1中的△DEC绕点C逆时针旋转一周的过程中，当B、E、D三点在一条直线上时，MN的长度为 ．
【答案】（1）BE=MN；（2）成立；（3）或．
【详解】试题分析：（1）如图1中，由三角形中位线定理可证明△PMN是等腰直角三角形，再利用勾股定理即可解决问题；
（2）如图2中，结论仍然成立．连接AD、延长BE交AD于点H．由△ECB≌△DCA，推出BE=AD，∠DAC=∠EBC，即可推出BH⊥AD，由M、N、P分别为AE、BD、AB的中点，推出PM∥BE，PM=BE，PN∥AD，PN=AD，推出PM=PN，∠MPN=90°，可得BE=2PM=2×MN=MN；
（3）有两种情形分别求解即可.
试题解析：（1）如图1中
∵AM=ME，AP=PB
∴PM∥BE，PM=BE
∵BN=DN，AP=PB
∴PN∥AD，PN=AD
∵AC=BC，CD=CE
∴AD=BE
∴PM=PN
∵∠ACB=90°
∴AC⊥BC
∵PM∥BC，PN∥AC
∴PM⊥PN
∴△PMN的等腰直角三角形
∴由勾股定理得：MN=PM
∴MN=•BE
∴BE=MN
故答案为：BE=MN
（2）如图2中，结论仍然成立
理由：连接AD、延长BE交AD于点H
∵△ABC和△CDE是等腰直角三角形
∴CD=CE，CA=CB，∠ACB=∠DCE=90°
∵∠ACB﹣∠ACE=∠DCE﹣∠ACE
∴∠ACD=∠ECB
∴△ECB≌△DCA
∴BE=AD，∠DAC=∠EBC
∵∠AHB=180°﹣（∠HAB+∠ABH）
=180°﹣（45°+∠HAC+∠ABH）
=∠180°﹣（45°+∠HBC+∠ABH）
=180°﹣90°
=90°
∴BH⊥AD
∵M、N、P分别为AE、BD、AB的中点
∴PM∥BE，PM=BE，PN∥AD，PN=AD
∴PM=PN，∠MPN=90°
∴BE=2PM=2×MN=MN
（3）①如图3中，作CG⊥BD于G，则CE=GE=DG=
当D、E、B共线时
在Rt△BCG中，BG= = =
∴BE=BG﹣GE=，∴MN=BE=
②如图4中，作CG⊥BD于G，则CE=GE=DG=
当D、E、B共线时
在Rt△BCG中，BG== =
∴BE=BG+GE=
∴MN=BE=
故答案为或
40．（1）【问题探索】如图1，和都是等边三角形，连接，．求证：．

（2）【类比发现】如图2，和都是等腰直角三角形，．连接，．请你判断与的数量关系，并证明你结论．

（3）【拓展提升】如图3，和都是直角三角形，，且．连接，．

①求的值；
②延长交于点，交于点．求的值．
【答案】（1）见解析；（2），证明见解析；（3）①；②
【分析】（1）根据“”证明，即可得出；
（2）证明，根据相似三角形的性质得出即可；
（3）①先证明，得出，，再证明，得出即可；
②根据，得出，根据，得出，得出．
【详解】（1）证明：和都是等边三角形，
，，，，
，
∴，
；
（2）；
证明：和都是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
；
（3）①∵，，

，
，，
，
，
；
②由①得：，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，三角形相似的判定和性质，三角形全等的判定和性质，求角的正弦值，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法．
41．如图1，在正方形中，点是对角线上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转，使点落在射线上的点处，连接．
【问题引入】
（1）证明：；
【探索发现】
（2）延长交直线于点，请将图1补充完整，猜想此时线段和线段的数量关系，并说明理由；
【拓展应用】
（3）如图2，若，延长至点，使，连接．当的周长最小时，请求线段的长．
【答案】（1）见解析；（2）图见解析，，理由见解析；（3）
【分析】（1）先根据正方形的性质证明，再结合旋转即可证明；
（2）过点作交于点，先根据正方形的性质证明，从而得到，再根据可证，即可证明；
（3）取的中点，连接，根据题意表示出的周长，可得当的周长最小时，最小，此时，，，三点共线，再根据条件证明即可求解．
【详解】（1）证明：四边形是正方形，
，，
，
，
．
由旋转得：，
∴；
（2）解：图1补充完整
猜想．
理由如下：过点作交于点，
则，
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
．
（3）解：如图2，取的中点，连接，
，
点是的中点，
，
的周长，
当的周长最小时，最小，此时，，，三点共线，
四边形是正方形，
，，，
在中，，
点是的中点，
，，
，
，
，
，
，
，即，
．
【点睛】本题是正方形综合题，考查了正方形性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质，旋转变换的性质等，熟练掌握全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、三角形中位线定理等是解题关键．
42．综合与实践
如图，的顶点A在直线上，，点D在直线上，．点E在直线上运动，探究当满足什么条件时，成立．

(1)如图2，当，请说明；
(2)根据（1）的证明，直接写出当满足什么条件时，；
(3)如图3，当，平分．在上截取，连接和，判断的形状，并证明你的结论．
【答案】(1)见解析
(2)（或）
(3)是等边三角形，证明见解析
【分析】（1）根据AAS证明，得出，，等量代换可，即可得到；
（2）根据可证，再根据证明，得出，等量代换可得；
（3）先证得，推出，再根据和均为等边三角形，推出，，进而可得，根据证明，即可得出．
【详解】（1）理由如下：∵，，
∴.
∴.
∴.
在和中，
∴
∴，.
∴.
∴．
（2）解：当时，．
理由如下：
当时
，
，
在和中，
，
，
，
；
综上所述，当时，．
（3）结论：是等边三角形
证明：，，
∴.
∴.
∴.
在和中，
∴
∴.
∵，平分，
∴.
∵，，
∴和是等边三角形.
∴，.
∴.
∴.
在和中，
∴
∴，.
∴.
∴是等边三角形．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理，熟练运用“一线三等角”模型．
43．定义：平面直角坐标系中，点，点，若，，其中为常数，且，则称点是点的“级变换点”．例如，点是点的“级变换点”．
(1)函数的图象上是否存在点的“级变换点”?若存在，求出的值；若不存在，说明理由；
(2)点与其“级变换点” 分别在直线，上，在，上分别取点，．若，求证：；
(3)关于x的二次函数的图象上恰有两个点，这两个点的“1级变换点”都在直线上，求n的取值范围．
【答案】(1)存在，
(2)见解析
(3)n的取值范围为且
【分析】（1）根据“级变换点”定义求解即可；
（2）求出点的坐标为，得到直线，的解析式分别为和，根据进行证明．
（3）由题意得，二次函数的图象上的点的“1级变换点”都在函数的图象上，得到函数的图象与直线必有公共点．分当时和当，时分类讨论即可．
【详解】（1）解：函数的图象上存在点的“级变换点”
根据“级变换点”定义，点的“级变换点”为，
把点代入中，
得，解得．
（2）证明：点为点的“级变换点”，
点的坐标为．
直线，的解析式分别为和．
当时，．
，
．
，
．
．
（3）解：由题意得，二次函数的图象上的点的
“1级变换点”都在函数的图象上．
由，整理得．
，
函数的图象与直线必有公共点．
由得该公共点为．
①当时，由得．
又得，
且．
②当，时，两图象仅有一个公共点，不合题意，舍去．
综上，n的取值范围为且．
【点睛】本题考查解一元一次不等式，根据题意理解新定义是解题的关键．
44．如图，某课外小组利用几何画板来研究二次函数的图象，给出二次函数解析式（b，c为常数），通过输入不同的b、c的值，在几何画板的展示区得到对应的抛物线．若所得抛物线恰好经过和两点，解决下列问题．
(1)求与抛物线相对应的b、c的值；
(2)若把抛物线相对应的b、c的值交换后，再次输入得到新的抛物线，求抛物线与x轴交点的坐标，并说明抛物线是否经过的顶点；
(3)另有直线l：与抛物线交于点P，Q，与抛物线交于点M，N，若的值是整数，请直接写出n的最大值．
【答案】(1)，
(2)；经过的顶点
(3)n的最大值为
【分析】（1）把和代入抛物线中解答即可；
（2）确定抛物线的顶点坐标，确定物线的解析式，令，解方程的根即可求抛物线与x轴交点的坐标，把抛物线的顶点坐标代入抛物线的解析式，验证说明即可；
（3）当时，得，，解得,,计算,，
得，令，根据反比例函数性质解答即可．
本题考查了待定系数法，抛物线与x轴的交点，解方程，反比例函数的性质，熟练掌握待定系数法，反比例函数的性质是解题的关键．
【详解】（1）把和代入抛物线，得
，
解得．
（2）∵,
∴的解析式为，
故抛物线的顶点坐标为；
根据题意，得抛物线的解析式，
令，
得，
解得，
故抛物线与x轴交点的坐标为；
当，
，
故抛物线经过的顶点．
（3）∵直线l：与抛物线交于点P，Q，与抛物线交于点M，N，
∴,
∴,
当时，
得，，
解得,,
∴,，
∴，
令，
根据反比例函数的性质，得当越小时，越大，
∵的值是整数，
∴y是整数，且是整数，
当时，不是整数，不符合题意；
当时，不是整数，不符合题意；
当时，是整数，符合题意；
∴的最小值是3，此时最大，此时，
故n的最大值为．
故n的最大值是．
45．已知关于x的函数y，当时，函数y的最大值为M，最小值为N．令函数，我们不妨把函数h称之为函数y的“清廉函数”．
(1)若函数，当时，求函数y的“清廉函数”h的值；
(2)若函数的“清廉函数”的图象与直线有交点，求t的值；
(3)若函数，是否存在实数k，使得函数y的最大值等于函数y的“清廉函数”h的最大值的2倍？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在或
【分析】（1）根据新定义结合正比例函数的性质即可求解；
（2）根据新定义结合反比例函数的性质列出，联立，得，即，即可求解；
（3）由题意可知函数y的图象的对称轴为直线，y的最大值为，分四种情况：①当时，即时，②当，即时，③当，即时，④当，即时，分别讨论即可求解．
【详解】（1）∵，
∴．
∵函数，
∴函数y的最大值，函数y的最小值，
∴．
（2）∵，
∴当时，y随x的增大而减小，
∴，，
∴．
联立，得，即，
解得或或，
∵，
∴，
∴．
（3）存在实数k，使得函数y的最大值等于函数y的“清廉函数”h的最大值的2倍．理由如下：
∵，
∴函数y的图象的对称轴为直线，y的最大值为．
①当时，即时，
，，
∴．
当时，，则，解得；
②当，即时，，，
∴，
当时，，则，解得；
③当，即时，，，
∴，此时h无最大值，k无解；
④当，即时，，，
∴，
当时，，则，解得．
综上，存在或使得题设成立．
【点睛】本题考查了函数新定义，要掌握一次函数，反比例数，二次函数的性质，难点在于分类讨论时，的取值范围的取舍．
46．我们约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点，，满足，则称此函数为关于m的等和函数，这两点叫做关于m的等和点．
(1)下列函数中，是关于1的等和函数的是________；
①； ②； ③．
(2)若点，在双曲线上，且C，D两点是关于m的等和点，求k的值；
(3)若函数的图像记为，将其沿直线翻折后的图像记为．若，两部分组成的图像上恰有两个关于m的等和点，请求出m的取值范围．
【答案】(1)①
(2)
(3)m的取值范围为或；
【分析】（1）根据等和函数的定义求解即可；
（2）根据等和函数的定义和反比例函数上点的特征列方程求解即可；
（3）先求出函数沿直线翻折后的解析式，再分别求出当与仅有一个交点时和当与仅有一个交点时的m值，结合图像即可求解．
【详解】（1）把，代入得：，
∴，
∴；
把，代入得：，
∴，
当，且互为倒数时，
∴；
把，代入得：，
∴，
假设，解得：，与题意不符
∴是关于1的等和函数的是；
（2）由题意得：，解得；
（3）在上取点，点关于直线的对称点为
则由对称性知，消m得：
∴，两部分的图像如下，

当，解得，
∴
当与仅有一个交点时，，解得：
当与仅有一个交点时，，
解得：
当过时，解得：
∴m的取值范围为或；
【点睛】本题考查一次函数的应用，涉及到新定义等和函数，正确理解概念和一次函数的联系是解题关键．
47．新定义：如果实数m，n满足时，则称为“立足点”，称为“制高点”，例如，是“立足点”，是“制高点”．
(1)求正比例函数图象上“制高点”的坐标；
(2)若点A是反比例函数图象上唯一的“立足点”，点B，C是反比例函数图象上的“制高点”，点M是反比例函数图象上的动点，求当面积与的面积相等时点M的坐标；
(3)已知点，是抛物线上的“制高点”，若，且，求的取值范围．
【答案】(1)；
(2)点M的坐标为或或；
(3)．
【分析】（1）设正比例函数图象上“制高点”的坐标为，得到，据此计算即可求解；
（2）设点A的坐标为，根据题意得，由题意，解得，得到反比例函数的解析式为，点A的坐标为，设点是反比例函数图象上的“制高点”，求得点B，C的坐标分别为，，由面积与的面积相等，得到，分两种情况讨论即可求解；
（3）利用根与系数的关系求得，根据题意求得，再根据二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设正比例函数图象上“制高点”的坐标为，
根据题意得，
解得，
∴正比例函数图象上“制高点”的坐标为；
（2）解：设点A的坐标为，
根据题意得，整理得，
∵点A是反比例函数图象上唯一的“立足点”，
∴，
解得，
∴反比例函数的解析式为，
当时，，
解得，，
∴点A的坐标为，
设点是反比例函数图象上的“制高点”，
根据题意得，
消去并整理得，
解得，，
∴，，
∴点B，C的坐标分别为，，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
∵面积与的面积相等，
∴，
可设直线的解析式为，
将代入得，
∴直线的解析式为，
联立得，
解得或，
∴，
在中，令，则，
将直线向上平移4个单位的直线，
直线与双曲线的交点为，
此时也满足面积与的面积相等，
联立得，
解得或，
将或分别代入，
得或，
∴或，
综上，点M的坐标为或或；
（3）解：∵，且，
∴，，，
∴，
∴，
∴，，
∴
，
由，得；
由，得；
∴，
设函数，
∴当时，
函数的值随自变量的增大而减少，
当，；
当，；
∴，
∴．
【点睛】此题重点考查一次函数的图象与性质、反比例函数的图象与性质、二次函数的图象与性质、一元二次方程根与系数的关系、新定义问题的求解等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．
48．新定义：已知抛物线（其中），我们把抛物线称为的“轮换抛物线”．例如：抛物线的“轮换抛物线”为．
已知抛物线：的“轮换抛物线”为，抛物线、与轴分别交于点、，点在点的上方，抛物线的顶点为．
(1)如果点的坐标为，求抛物线的表达式；
(2)设抛物线的对称轴与直线相交于点，如果四边形为平行四边形，求点的坐标；
(3)已知点在抛物线上，点坐标为，当时，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】本题考查的是二次函数综合题，重点考查二次函数的性质、平行四边形性质及相似三角形性质，
（1）将点代入表达式，求出m的值，根据“轮换抛物线”定义写出即可；
（2）根据轮换抛物线定义得出抛物线表达式及点E、F坐标，并求出P、Q坐标，根据平行四边形性质得出列方程并解出m值，进而解决问题；
（3）先求，结合求出的点P、E、F坐标得出及，根据相似三角形性质得出关于m的方程，解方程即可解决．
【详解】（1）解：抛物线：与轴交于点坐标为，
当，代入，得，
，
抛物线表达式为，
抛物线的“轮换抛物线”为表达式为；
（2）解：抛物线：，
当时，，即与y轴交点为，
抛物线：的“轮换抛物线”为，
抛物线表达式为，
同理抛物线与y轴交点为，
抛物线对称轴为直线，
当时，，
抛物线的顶点坐标为，
当时，，
抛物线的对称轴与直线交点，
点在点的上方，
，
解得：，
，
四边形为平行四边形，
，即，
解得：，
；
（3）解：点在抛物线上，
当时，，即，
点坐标为，，，，
，，
，
，
，
，
解得：．
最喜爱的课本剧
人数
A：《灰姑娘》
30
B：《小红帽》
60
C：《白雪公主》
38
D：《皇帝的新装》
m
E：其它
n
合计
解：因为…………………………………………第一步
所以………………………………………第二步
在与中……………………………………第三步
因为，，…………第四步
所以……………………………………第五步
所以………………………………………………第六步
我在学习完“探索三角形全等的条件”之后，知道“两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形不一定全等”．那在什么条件下，两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形就可以全等呢？我决定用所学知识研究一下这个问题．
我发现两边分别相等，其中一组等边的对角都是钝角且相等时，两个三角形全等．如图1所示，为钝角，用尺规作，在射线上作，以为圆心，的长为半径画弧，与交于点，连接，得到．
下面是证明的过程（部分）：
通过作图可知，，．
如图2，过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于点，则．
∵，，
且，
∴，（依据）
……
∴．
我和老师分享了我的研究成果，老师对我的数学思考给予了充分的肯定，我很开心，今后我还会多多思考，去发现更多数学的秘密．
工程队
每天施工面积（单位：）
每天施工费用（单位：元）
甲
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A款40英寸智能电视
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