【冲刺2024数学】中考真题（2023随州）及变式题（湖北随州2024中考专用）解答题部分

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【答案】，．
【分析】先根据分式的减法法则算括号里面的，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出答案即可．
【详解】解：
，
当时，原式．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
2．先化简，再求值计算：，其中，
【答案】，
【分析】本题考查的是分式的化简求值，在解答此类题目时要注意把分式化为最简形式，再代入求值．先根据分式的除法法则把原式进行化简，再把的值代入进行计算即可．
【详解】解：原式，
当，时，原式．
3．先化简，再求值：，其中．
【答案】
【分析】先把分子、分母能分解因式的分解因式，再把除法转化为乘法，约分后再代入求值即可．
【详解】解：


当 上式
【点睛】本题考查的是分式的除法运算，掌握把除法转化为乘法是解题的关键．
4．先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】将除法变成乘法，再算乘法，最后代入求出即可．
【详解】解：
当时，原式．
【点睛】本题考查了分式的除法运算，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．
5．先化简再求值∶ ，其中．
【答案】，
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，二次根式的加减计算，先把两个分式的分子，分母分别分解因式，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可．
【详解】解：
，
当时，原式．
6．（1）计算： ；
（2）先化简，再求代数式的值，其中x是不等式组的整数解．
【答案】（1）2020；（2），
【分析】（1）首先计算负整数指数幂，零指数幂，绝对值，特殊角的三角函数值，化简二次根式，然后计算加减；
（2）先将括号内通分，再根据分式的除法进行化简，然后求出不等式组的整数解代入求值即可．
本题考查负整数指数幂，零指数幂，绝对值，特殊角的三角函数值，分式的化简求值以及解一元一次不等式组．掌握各运算法则是解答本题的关键．
【详解】解：（1）
；
（2）
，
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
∴不等式组的解集为，
∴不等式组的整数解为3，且当时，原分式有意义，
∴当时，
原式．
7．如图，矩形的对角线，相交于点O，．

(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，求四边形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)3
【分析】（1）先根据矩形的性质求得，然后根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形分析推理；
（2）根据矩形的性质求得的面积，然后结合菱形的性质求解．
【详解】（1）解：∵，
∴四边形是平行四边形，
又∵矩形中，，
∴平行四边形是菱形；
（2）解：矩形的面积为，
∴的面积为，
∴菱形的面积为．
【点睛】本题考查矩形的性质、菱形的判定，属于中考基础题，掌握矩形的性质和菱形的判定方法，正确推理论证是解题关键．
8．如图，在四边形ABCD中，AC与BD交于点O，，BD平分．
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)E为OB上一点，连接CE，若，求菱形ABCD的面积．
【答案】(1)过程见解析
(2)16
【分析】对于（1），先根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”证明四边形ABCD是平行四边形，再根据角平分线的性质得∠ABD=∠ADB，可得AB=AD，即可根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”得出答案；
对于（2），先根据勾股定理求出CO，BO，再根据菱形的面积等于对角线乘以的一半得出答案．
【详解】（1）∵AO=CO，BO=DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴∠ADB=∠CBD．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AC=2CO，BD=2BO．
在Rt△COE中，，，
∴，
∴AC=2CO=4．
在Rt△BOC中，，，
∴，
∴BD=2BO=8．
所以菱形ABCD的面积=．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质和判定，掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半是解题的关键．
9．如图，矩形的对角线、相交于点O，，．
(1)求证：四边形为菱形；
(2)连接交于点F，求证：平分．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）首先利用平行四边形的判定得出四边形是平行四边形，进而利用矩形的性质得出DO＝CO，即可得出答案；
（2）利用全等三角形的判定和性质得出即可．
【详解】（1）证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵矩形的对角线、相交于点O，
∴，
∴四边形为菱形；
（2）连接交于点F，，
∵四边形为菱形，
∴，，
∴，
∵矩形，
∴，
∴，
在与中
，
∴，
∴，
即平分．
【点睛】此题主要考查了矩形的性质、菱形的判定和性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的性质进而得出对应线段关系是解题关键．
10．如图，在矩形AFCG中，BD垂直平分对角线AC，交CG于D，交AF于B，交AC于O．连接AD，BC．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若E为AB的中点，DE⊥AB，求∠BDC的度数；
【答案】（1）见解析；（2）60°
【分析】（1）根据垂直平分线的性质得到AD＝CD，AB＝BC，根据三角形全等得到CD＝AB，即可求证；
（2）根据等边三角形的性质求得∠DBA＝60°，即可求解．
【详解】（1）证明：
∵BD垂直平分AC，
∴OA＝OC，AD＝CD，AB＝BC．
∵四边形AFCG是矩形，
∴CG∥AF，
∴∠CDO＝∠ABO，∠DCO＝∠BAO，
∴△COD≌△AOB（AAS），
∴CD＝AB，
∴AB＝BC＝CD＝DA，
∴四边形ABCD是菱形．
（2）∵E为AB的中点，DE⊥AB，
∴DE垂直平分AB，
∴AD＝DB．
又∵AD＝AB，
∴△ADB为等边三角形，
∴∠DBA＝60°．
∵CD∥AB，
∴∠BDC＝∠DBA＝60°．
【点睛】此题考查了菱形的判定，涉及了全等三角形的证明，矩形的性质、垂直平分线的性质等，熟练掌握相关基本性质是解题的关键．
11．如图，四边形是菱形，点为对角线的中点，点在的延长线上，，垂足为，点在的延长线上，，垂足为，
(1)若，求证：四边形是菱形；
(2)若，的面积为24，求菱形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）证明出,即可得到结论．
（2）由三角形的面积求出,设,则,在中利用勾股定理得出方程,求出,再求出,即可解决问题．
【详解】（1）证明：∵四边形是菱形，，
∴，
又∵，，
∴，
∵点为对角线的中点，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
（2）解：，的面积为24，
∴，
∴，
如图，连接，则，，
∵点为对角线的中点，
∴、、在同一直线上，
∵，，
∴菱形的面积．
【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、含角的直角三角形的性质､直角三角形斜边上的中线性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
12．如图，将矩形纸片折叠，使点刚好落在线段上，且折痕分别与边、相交，设折叠后点、的对应点分别为点、，折痕分别与边、相交于点、．

(1)判断四边形的形状，并证明你的结论．
(2)若，，求的长．
【答案】(1)菱形，见解析
(2)
【分析】（1）根据翻转变换的性质得到，，，根据平行线的性质得到，得到，得到，根据菱形的判定定理证明；
（2）根据折叠的性质得到，根据勾股定理列出方程，解方程即可．
【详解】（1）解：结论：四边形是菱形．
理由：四边形是矩形，
∴，
，
图形翻折后点与点重合，为折痕，
，，，
，
，
，
四边形为菱形；
（2）解：设，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
解得：．
∴．
【点睛】本题考查的是菱形的判定、勾股定理的运用，掌握四条边相等的四边形是菱形、翻转变换的性质是解题的关键．
13．中学生心理健康受到社会的广泛关注，某校开展心理健康教育专题讲座，就学生对心理健康知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．

根据图中信息回答下列问题：
(1)接受问卷调查的学生共有___________人，条形统计图中m的值为___________，扇形统计图中“非常了解”部分所对应扇形的圆心角的度数为___________；
(2)若该校共有学生800人，根据上述调查结果，可以估计出该校学生中对心理健康知识“不了解”的总人数为___________人；
(3)若某班要从对心理健康知识达到“非常了解”程度的2名男生和2名女生中随机抽取2人参加心理健康知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到2名女生的概率．
【答案】(1)80，16，
(2)40
(3)恰好抽到2名女生的概率为．
【分析】（1）用“基本了解”的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，再用总人数减去其他项的人数，求出“了解很少”的人数；用乘以扇形统计图中“非常了解”部分所占的比例即可；
（2）用总人数800乘以“不了解”的人数所占的比例即可；
（3）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出恰好抽到2名女生的结果数，然后利用概率公式求解．
【详解】（1）解：接受问卷调查的学生共有（人，
（人，
扇形统计图中“非常了解”部分所对应扇形的圆心角的度数为；
故答案为：80，16，；
（2）解：根据题意得：
（人，
答：估计出该校学生中对心理健康知识“不了解”的总人数为40人；
故答案为：40；
（3）解：由题意列树状图：

由树状图可知，所有等可能的结果有12种，恰好抽到2名女生的结果有2种，
∴恰好抽到2名女生的概率为．
【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
14．为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况，某校宣传小组就“用过的餐巾纸应投放到哪种颜色的收集桶”在全校随机采访了部分学生，根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中信息，解答下列问题：

(1)此次调查一共随机采访了________名学生，在扇形统计图中，“灰”所在扇形的圆心角的度数为________度，补全条形统计图；
(2)若该校有3600名学生，估计该校学生将用过的餐巾纸投放到红色收集桶的人数为________；
(3)李老师计划从A，B，C，D四位学生中随机抽取两人参加学校的垃圾分类知识抢答赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中A，B两人的概率；
(4)请你谈谈如何让同学能更好的了解垃圾分类的知识．
【答案】(1)200；198；图见解析
(2)288名
(3)
(4)比如：加强垃圾分类的知识宣传、进行垃圾分类的抢答竞赛（答案不唯一）
【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图、求扇形统计图的圆心角、用样本评估总体、列表法或树状图求概率：
（1）由投放蓝色收集桶的人数及所占百分比可得总人数，再根据投放灰色收集桶的人数与总人数之比得比例，进而可求圆心角，利用总人数减去投放红、蓝、灰色收集桶的人数可得投放绿色收集桶的人数，由此补全条形统计图即可
（2）根据样本评估总体的方法即可求解；
（3）画出树状图，得出所有可能结果，从中找到恰好抽中A，B两人的结果数，利用概率公式即可求解；
从不同的统计图中获取信息及利用树状图求概率是解题的关键．
【详解】（1）解：统计图得：
此次调查一共随机采访的学生人数为：（名），
“灰”所在扇形的圆心角的度数为：，
投放绿色收集桶的人数有：（名），
补全条形统计图如图所示：

故答案为：200；198．
（2）由题意得：
（名），
答：估计该校学生将用过的餐巾纸投放到红色收集桶的人数为288名，
故答案为：288名．
（3）由题意可得树状图为：

共有12种等可能的结果，恰好抽中A，B两人的结果有2种，
∴P（恰好抽中A，B两人）．
（4）比如：加强垃圾分类的知识宣传、进行垃圾分类的抢答竞赛（答案不唯一）．
15．为庆祝建国70周年，推出许多新影片，全国人民掀起了看电影的热潮．为此，某电影公司派出了若干业务员到几个社区作随机调查，了解市民对电影A《中国机长》、B《我和我的祖国》、C《决胜时刻》、D《烈火英雄》的喜爱程度．业务员小王，将自己的调查结果进行分类并绘制成如下的统计图，请你结合图中所给信息解答下列问题：
（说明：A《中国机长》、B《我和我的祖国》、C《决胜时刻》、D《烈火英雄》）
（1）请把条形统计图补充完整；扇形统计图中D类所在的扇形的圆心角度数是_________；
（2）小易打算从喜欢《我和我的祖国》的5位山城人民（两男三女）中，抽取两人分别赠送电影票一张，问抽到一男一女的概率是多少?
【答案】（1）补全条形统计图见解析；36°；（2）
【分析】(1)先根据A种类人数及其所占百分比求出被调查的总人数，再由四个种类人数之和等于总人数求出D种类的人数，据此可补全图形，最后用360°乘以D种类人数所占比例；
(2)用列表法求出总的事件所发生的数目，再根据概率公式即可求出刚好抽到一男一女的概率.
【详解】(1)∵被调查的总人数为10÷20%=50 (人)，
∴D种类的人数为50- (10+23+12)=5 (人)，
补全图形如下：
扇形统计图中D类所在的扇形的圆心角度数是
故答案为：36°
(2)根据题意列表如下：
由表可知总有20种等可能性结果，其中抽到一男一女的情况有12种， 所以抽到一男一女的概率
为：P(一男一女)=.
【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率以及扇形统计图、条形统计图的知识，注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.
16．为了解学生参加学校社团活动的情况，对报名参加A：篮球，B：舞蹈，C：书法，D：田径，E：绘画这五项活动的学生（每人必选且只能参加一项）中随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．

根据所给的信息，解答下列问题：
(1)在这次调查活动中，采取的调查方式是______．（填写“全面调查”或“抽样调查”）；
(2)这次被调查的学生共有______人；在扇形统计图中“田径”所对应圆心角为______度；
(3)若该校共有1200名学生参加社团活动，请你估计这1200名学生中约有______人参加书法社团；
(4)在田径社团活动中，由于甲，乙，丙，丁四人平均的成绩突出，现决定从他们中任选两名参加区级运动会．则恰好选中甲，乙两位同学参加的概率是______．
【答案】(1)抽样调查
(2)150，96
(3)480
(4)
【分析】（1）在这次调查活动中，采取的调查方式是抽样调查；
（2）用篮球人数除以所占百分比即可求出调查的学生总人数，用总人数减去除田径外其他项目的人数即可得到参加田径的人数，用乘“田径”的占比即可求得“田径”所对应圆心角；
（3）先计算出参加书法社团的百分比，然后用1200相乘即可；
（4）画出树状图，然后根据树状图计算概率即可．
【详解】（1）解：在这次调查活动中，采取的调查方式是抽样调查；
故答案为：抽样调查
（2）解：被调查的学生共有（人），
参加田径的人数为（人），
“田径”所对应圆心角为；
故答案为：150；96
（3）解：（人），
答：这1200名学生中约有480人参加书法社团；
故答案为：480
（4）解：根据题意，画出树状图，如下：

由图可知，甲乙两位同学参加有2种情况，总共有12种情况，则怡好选中甲，乙两位同学参加的概率为．
故答案为：
【点睛】本题考查了条形统计图与扇形统计图综合应用，用样本估计总体，求扇形的圆心角，列表或画树状图求概率等，掌握相关知识并正确计算是解题关键．
17．某数学小组为调查放学时学生的回家方式，随机抽取了部分学生进行调查，所有被调查的学生都需从“A：乘坐电动车，B：乘坐普通公交车；C：乘坐校车，D：乘坐家庭汽车，E：步行或其他”这五种方式中选择，随后该数学小组将所有调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的条形统计图和扇形统计图，请结合统计图回答下列问题：
(1)本次调查中，一共抽取了__________名学生进行调查；
(2)E选项对应的扇形圆心角是_____________度；请补全条形统计图；
(3)若该校共有学生1260人，则估计该校学生放学选择乘坐校车的人数是__________人；
(4)若甲、乙两名学生放学时从A、B、C、D、E五种方式中随机选择一种，请用列表法求出甲、乙两名学生恰好选择同一种方式回家的概率．
【答案】(1)200
(2)72，详见解析
(3)315
(4)
【分析】此题考查了列表法求概率以及条形统计图和扇形统计图等知识．正确运用列表法是解题的关键，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
（1）由B的人数和所占百分比求出本次调查的学生人数，即可解决问题；
（2）求出C选项的人数，补全条形统计图即可；
（3）由该校九年级共有学生人数乘以选择乘坐学校定制公交车的人数所占的比例即可；
（4）列表统计结果，共有25种等可能的结果，其中甲、乙两名学生恰好选择同一种方式的结果有5种，再由概率公式求解即可．
【详解】（1）解：依题意，（人），
∴本次调查中，一共抽取了200名学生进行调查；
（2）解：依题意，，
E选项对应的扇形圆心角是72度；
则（人）
补全条形图如图：
（3）解：依题意，（人）
∴若该校共有学生1260人，则估计该校学生放学选择乘坐校车的人数是315人；
（4）解：画表如图：
表中共有25个等可能的结果，甲、乙两名学生恰好选择同一种交通方式回家的结果有5个，
甲、乙两名学生恰好选择同一种交通方式回家的概率为：．
18．我市某学校落实立德树人根本任务，构建“五育并举”教育体系，开设了“厨艺、园艺、电工、木工、编织”五大类劳动课程．为了解七年级学生对每类课程的选择情况，随机抽取了七年级若干名学生进行调查（每人只选一类最喜欢的课程），将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：
（1）本次随机调查的学生人数为 人；
（2）补全条形统计图；
（3）若该校七年级共有800名学生，请估计该校七年级学生选择“厨艺”劳动课程的人数；
（4）七（1）班计划在“园艺、电工、木工、编织”四大类劳动课程中任选两类参加学校期末展示活动，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中“园艺、编织”这两类劳动课程的概率．
【答案】（1）60；（2）见详解；（3）200人；（4）．
【分析】（1）利用园艺的人数除以百分比，即可得到答案；
（2）先求出编织的人数，再补全条形图即可；
（3）利用总人数乘以厨艺所占的百分比，即可得到答案；
（4）列表或树状图将所有等可能的结果列举出来后利用概率公式求解即可．
【详解】解：（1）根据题意，本次随机调查的学生人数为：
（人）；
故答案为：60；
（2）选择编织的人数为：（人），
补全条形图如下：
（3）该校七年级学生选择“厨艺”劳动课程的人数为：
（人）；
（4）根据题意，“园艺、电工、木工、编织”可分别用字母A，B，C，D表示，则
列表如下：
∵共有12种等可能的结果，其中恰好抽到“园艺、编织”类的有2种结果，
∴恰好抽到“园艺、编织”类的概率为：；
【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率的知识．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．
19．某校学生开展综合实践活动，测量某建筑物的高度，在建筑物附近有一斜坡，坡长米，坡角，小华在C处测得建筑物顶端A的仰角为，在D处测得建筑物顶端A的仰角为．（已知点A，B，C，D在同一平面内，B，C在同一水平线上）

(1)求点D到地面的距离；
(2)求该建筑物的高度．
【答案】(1)5米
(2)米
【分析】（1）过点D作，根据坡角的概念及含直角三角形的性质分析求解；
（2）通过证明，然后解直角三角形分析求解．
【详解】（1）解：过点D作，

由题意可得，
∴在Rt中，，
即点D到地面的距离为5米；
（2）如图，

由题意可得，，
∴，
又∵，
∴，
∴
∴在Rt中，，即，
解得，
在Rt中，，即，
解得，
答：该建筑物的高度为15米．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角、坡度坡角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
20．某数学社团的同学开展了测量古塔高度的实践活动过程如下：
制定方案在该塔底部所在的水平地面上选取两个不同的测量点．由甲组同学测量该塔尖的仰角，乙组同学测量这两个测量点之间的距离．
实地测量如图所示，线段表示塔高，水平地面上测量点，与塔底端在同一条直线上．
测量一：甲组同学在处测量一次，测得塔尖的仰角为，在处测量一次，测得塔尖的仰角为．
测量二：乙组同学测量了三次，数据如表：
(1)乙组同学三次测量，之间距离的平均值为______（精确到）
(2)求古塔的高度．（结果精确到参考数据：，，，，，）
(3)从减小误差的角度考虑，你认为哪个小组的测量方法更合理？请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)乙组得到测量方法更合理，因为多次测量的结果取平均值可以减小误差
【分析】（1）用三个数的和除以3，即可求解；
（2）设 ，分别在和中，根据锐角三角函数用x表示出的长，即可求解；
（3）根据多次测量的结果取平均值可以减小误差，即可求解．
【详解】（1）解：乙组同学三次测量，之间距离的平均值为；
故答案为：
（2）解：设 ，
在中，，
，
在中，，
，
，
，即，
解得．
答：古塔的高度约为；
（3）解：乙组得到测量方法更合理，因为多次测量的结果取平均值可以减小误差．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，明确题意，熟练掌握锐角三角函数是解题的关键．
21．2022年11月29日，搭载神舟十五号载人飞船的运载火箭在酒泉卫星发射中心成功发射．运载火箭从发射点O处发射，当火箭到达A处时、在地面雷达站C处测得点A的仰角为，在地面雷达站B处测得点A的仰角为．已知，O、B、C三点在同一条直线上，求B、C两个雷达站之间的距离（结果精确到，参考数据）．
【答案】
【分析】在中，求出，在中，由，，求得，进一步即可得到B、C两个雷达站之间的距离．
【详解】解：在中，，，，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
即B、C两个雷达站之间的距离为．
【点睛】此题考查了解直角三角形的应用，数形结合并准确计算是解题的关键．
22．某学校教学楼（甲楼）的顶部和大门之间挂了一些彩旗．小颖测得大门距甲楼的距离是，在处测得甲楼顶部处的仰角是．
(1)求甲楼的高度及彩旗的长度；
(2)若小颖在甲楼楼底处测得学校后面医院楼（乙楼）楼顶处的仰角为，爬到甲楼楼顶处测得乙楼楼顶处的仰角为，求乙楼的高度．（，，）
【答案】(1)甲楼的高度为，彩旗的长度
(2)
【分析】（1）在中，根据锐角三角函数，即可求解；
（2）过点F作于点M，在中，根据锐角三角函数可得，
在中，根据锐角三角函数可得，再由，求出x的值，即可求解．
【详解】（1）解：在中，，，
∴，，
解得：，，
答：甲楼的高度为，彩旗的长度；
（2）解：如图，过点F作于点M，
设两楼间的距离为，则，
根据题意得：，，
在中，，
∴，即，
在中，，
∴，即，
∴，
解得：，
∴乙楼的高度．
【点睛】此题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，熟练掌握直角三角形的性质是解本题的关键．
23．《海岛算经》是中国古代测量术的代表作，原名《重差》．这本著作建立起了从直接测量向间接测量的桥梁．直至近代，重差测量法仍有借鉴意义．
如图，为测量海岛上一座山峰的高度，直立两根高2米的标杆和，两杆间距相距6米，D、B、H三点共线．从点B处退行到点F，观察山顶A，发现A、C、F三点共线，且仰角为；从点D处退行到点G，观察山顶A，发现A、E、G三点共线，且仰角为．（点F、G都在直线上）

(1)求的长（结果保留根号）；
(2)山峰高度的长（结果精确到米）．
（参考数据：，）
【答案】(1)米
(2)山峰高度的长约为米
【分析】（1）根据题意可得：，，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答；
（2）设米，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义可得，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答．
【详解】（1）解：由题意得：，，
在中，，，
（米），
在中，，，
（米），
米，
米，
的长为米；
（2）解：设米，
在中，，
（米），
∵米，
米，
在中，，
，
，
解得：，
米，
∴山峰高度的长约为米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，相似三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义，以及A字模型相似三角形是解题的关键．
24．无人机在实际生活中应用广泛．如图8所示，小明利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中P处，测得楼楼顶D处的俯角为，测得楼楼顶A处的俯角为．已知楼和楼之间的距离为100米，楼的高度为10米，从楼的A处测得楼的D处的仰角为（点A、B、C、D、P在同一平面内）．
(1)填空：___________度，___________度；
(2)求楼的高度（结果保留根号）；
(3)求此时无人机距离地面的高度．
【答案】(1)75；60
(2)米
(3)110米
【分析】（1）根据平角的定义求，过点A作于点E，再利用三角形内角和求；
（2）在中，求出DE的长度再根据计算即可；
（3）作于点G，交于点F，证明即可．
【详解】（1）过点A作于点E，
由题意得：
∴
（2）由题意得：米，．
在中，，
∴，
∴
∴楼的高度为米．
（3）作于点G，交于点F，
则
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴（AAS）．
∴．
∴
∴无人机距离地面的高度为110米．
【点睛】此题考查了解直角三角形的应用-——仰角俯角问题的知识．此题难度适中，注意能借助仰角或俯角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键．
25．如图，是的直径，点E，C在上，点C是的中点，垂直于过C点的直线，垂足为D，的延长线交直线于点F．

(1)求证：是的切线；
(2)若，，①求的半径；②求线段的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)①3；②2
【分析】（1）根据等弧所对的圆周角相等和等边对等角的性质，得到，推出，进而得到，再利用圆的切线的判定定理即可证明结论；
（2）①连接，根据直径所对的圆周角是直角和平行线的判定，得到，进而得到，再利用锐角三角函数，求得，即可求出的半径；
②利用锐角三角函数，分别求出和的长，即可得到线段的长．
【详解】（1）证明：如图，连接，
点C是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
（2）解：①如图，连接，
是直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的半径为；
②由（1）可知，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题是圆和三角形综合题，考查了圆的切线的判定定理，圆的性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数等知识，熟练掌握圆的相关性质，灵活运用正弦值求边长是解题关键．
26．如图，是的直径，弦于点E，点F在上，与交于点G，点H在的延长线上，且是的切线，延长交的延长线于点M．
(1)求证：；
(2)连接，若，，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据切线性质得出，根据余角的性质证明，根据对顶角相等得出，求出，即可证明结论；
（2）连接，证明，得出，根据得出，即，求出，得出，，，根据勾股定理求出，证明，最后根据勾股定理求出结果即可．
【详解】（1）证明：连接，如图所示：
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：连接，如图所示：
由（1）得，，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴（负值舍去），
∴．
【点睛】本题主要考查了切线的性质，勾股定理，三角形相似的判定和性质，等腰三角形的判定，三角函数的应用，余角的性质，解题的关键是作出辅助线，证明．
27．如图，是的直径，是的切线，交于，，交于．

(1)求证：；
(2)若的半径，，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据圆的基本性质，得，根据，得，再根据三角形的外角和，等角对等边，即可；
（2）根据，得，求出，再根据勾股定理，求出，根据，，求出，根据相似三角形的判定和性质，得，得，即可求出．
【详解】（1）解：连接
∵是的直径，是的切线，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．

（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
连接，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．

【点睛】本题考查圆的基本性质，解直角三角形，相似三角形等知识，解题的关键是掌握圆的基本性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，勾股定理的运用．
28．如图，已知点D是上一点，点C在直径的延长线上，与相切，交的延长线于点E，且．
(1)求证：是的切线；
(2)若，
①求的半径；
②求的长．
【答案】(1)见解析
(2)①2；②
【分析】（1）如图，连接．要证是的切线，只要证明即可；
（2）①根据，构建方程求解即可；
②证明，推出，设，，利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）证明：如图，连接．
∵，
∴，，
∵与相切，是半径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是半径，
∴是的切线；
（2）解：①设，
∵，
∴，
∴，
∴，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴的半径为2；
②在中，，
∵是直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，，
∵，
∴，
∴（负根已经舍去），
∴．
【点睛】本题考查了切线的判定和性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
29．如图，为的直径，是延长线上一点，点为上方上的点，已知．
(1)求证：直线为的切线．
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）如图所示，连接，根据切线的证明方法即可求解；
（2）根据题意，证明，再根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】（1）证明：如图所示，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵AB为的直径，
∴，
∴．
∴，
∴，
∴．
又∵OD是的半径，
∴直线CD为的切线．
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查圆与三角形的综合，掌握相似三角形的判定与性质，切线的判定定理及其推论是解题的关键．
30．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD⊥CD，AC＝AB，⊙O为△ABC的外接圆．
(1)如图1，求证：AD是⊙O的切线；
(2)如图2，CD交⊙O于点E，过点A作AG⊥BE，垂足为F，交BC于点G．
①求证：AG＝BG；
②若AD＝2，CD＝3，求FG的长．
【答案】(1)AD是OO的切线
(2)①；②
【分析】（1)连接OA，OB，OC，由AC=AB，OA=OA，OC=OB可证出ΔOACΔOAB(SSS),利用全等三角形的性质可得出∠OAC=∠OAB,即AO平分∠BAC，利用垂径定理可得出AO⊥BC,结合AD//BC可得出AD⊥AO，由此即可证出AD是OO的切线；
（2)①连接AE，由圆内接四边形对角互补结合∠BCE=90°可得出∠BAE=90°，由同角的余角相等可得出∠BAG=∠AEB，结合∠ABC=∠ACB=∠AEB可得出∠BAG=∠ABC，再利用等角对等腰可证出AG=BG；②由∠ADC=∠AFB=90°，∠ACD=∠ABF，AC=AB可证出ΔADCΔAFB(AAS)，利用全等三角形的性质可求出AF，BF的长，设FG=x，在RtΔBFG中，利用勾股定理可求出x的值，此题得解．
【详解】（1）证明：如图1，连接OA，OB，OC．
在△OAC和△OAB中，
∴，
∴，
∴AO平分，
∴，
又∵，
∴，
∴AD是的切线．
（2）①证明：如图2，连接AE．
∵，
∴.
又∵，
∴．
∵
∴.
∵，
∴，
∴．
②在△ADC和△AFB中，
，
∴，
∴，．
设，在中，，，，
∴，即，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了切线的判定、全等三角形的判定与性质、垂径定理、圆周角定义、平行线的性质、圆内接四边形、等腰三角形的判定以及勾股定理，解题的关键是：（1)利用全等三角形的性质及垂径定理，找出AO⊥BC；(2)①利用等角的余角相等及圆周角定理，找出∠BAG=∠ABC；②在RtΔBFG中，利用勾股定理求出FG的长。
31．为了振兴乡村经济，增加村民收入，某村委会干部带领村民在网上直播推销农产品，在试销售的30天中，第x天（且x为整数）的售价p（元/千克）与x的函数关系式（且x为整数），销量q（千克）与x的函数关系式为，已知第5天售价为50元/千克，第10天售价为40元/千克，设第x天的销售额为W元
(1)___________， ___________；
(2)求第x天的销售额W元与x之间的函数关系式；
(3)在试销售的30天中，销售额超过1000元的共有多少天？
【答案】(1)，
(2)时，，当时，
(3)7天
【分析】
（1）利用待定系数法求待定系数；
（2）根据“销售额=售价×销售量”列出函数关系式，
（3）利用二次函数和一次函数的性质分析求解.
【详解】（1）解：∵第5天售价为50元/千克，第10天售价为40元/千克，
∴，解得，
故答案为：，；
（2）解：由题意当时，，
当时，，
（3）解：由题意当时，，
∵，
∴当时，最大为，
当时，，
由时，解得，
又∵x为整数，且，
∴当时，随的增大而增大，
∴第至天，销售额超过1000元，共7天．
【点睛】本题考查一次函数的应用，二次函数的应用，理解题意，分段分析函数解析式，掌握一次函数和二次函数的性质是解题关键．
32．某机械厂每月固定生产甲、乙两种零件共80万件，并能全部售出．甲零件每件成本10元，售价16元；乙零件每件成本8元，售价12元．设生产甲零件万件．所获总利润万元．
(1)写出与的函数关系式；
(2)如果每月投入的总成本不超过740万元，应该怎样安排甲、乙零件的产量，可使所获的总利润最大？最大总利润是多少万元？
(3)该厂在销售中发现：某月甲零件售价每提高1元，甲零件销量会减少5万件，乙零件售价不变，不管生产多少都能卖出．在（2）获得最大利润的情况下，为了获得更大的利润，该厂决定提高甲零件的售价，并重新调整甲、乙零件的生产数量．求甲零件售价提高多少元时，可获总利润最大？最大总利润是多少万元？
【答案】(1)
(2)生产甲零件50万件，生产乙零件30万件时，可使所获的总利润最大，最大总利润是420万元
(3)甲零件售价提高4元时，可获总利润最大，最大总利润是500万元
【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，二次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用：
（1）根据总利润单价利润零件数分别求出甲、乙零件的利润，然后求和即可得到答案；
（2）先根据总成本不超过740万元求出，进而根据一次函数的性质求解即可；
（3）设甲零件的售价提高m元，总利润为W，根据总利润单价利润零件数求出W关于m的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，
；
（2）解：由题意得，，
解得，
∵，，
∴y随x增大而增大，
∴当时，y最大，最大值为，
∴，
∴生产甲零件50万件，生产乙零件30万件时，可使所获的总利润最大，最大总利润是420万元；
（3）解：设甲零件的售价提高m元，总利润为W万元，
由题意得，
，
∵，
∴当时，最大，最大为500，
∴甲零件售价提高4元时，可获总利润最大，最大总利润是500万元．
33．某校医疗室从药店购买一批口罩，药店销售甲、乙两种防护口罩，已知甲种口罩每袋的售价比乙种口罩多5元，若该校医疗室从该药店花费1250元购买甲种口罩的数量与花费1000元购买乙种口罩的数量相同．
(1)求该药店甲、乙两种口罩每袋的售价；
(2)根据消费者需求，药店决定用不超过8000元购进甲、乙两种口罩共400袋．已知甲种口罩每袋的进价为22.2元，乙种口罩每袋的进价为17.8元，要使药店获利最大，应该购进甲、乙两种口罩各多少袋？并求出最大利润．
【答案】(1)该药店甲、乙两种口罩每袋的售价分别为25元，20元
(2)购进甲、乙两种口罩各200袋时，药店获利最大，最大利润为1000元
【分析】
本题考查了一次函数的应用、分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，在解答过程中寻找能够反映整个题意的等量关系是解答本题的关键．
（1）设该药店甲种口罩每袋的售价元，则乙种口罩每袋的售价元，根据“花费1250元购买甲种口罩的数量与花费1000元购买乙种口罩的数量相同”列分式方程解答即可；
（2）设药店购进甲口罩袋，总利润为元，根据题意得到w与的函数关系式，依据题意得到的取值范围，最后根据函数的增减性确定最大利润即可．
【详解】（1）解：设该药店甲种口罩每袋的售价元，则乙种口罩每袋的售价元，
根据题意，得：，
解得：，经检验，符合实际且是分式方程的解，
，
即：该药店甲、乙两种口罩每袋的售价分别为25元，20元．
（2）设该药店购进甲口罩袋，则购进乙口罩袋．
根据题意，得，
解得：．
设药店购进甲、乙两种口罩获利w元，
则．
，
随的增大而增大，
当时，有最大值，最大值为．
使药店获利最大的方案是购进甲、乙两种口罩各200袋，可获取的最大利润为1000元．
34．在2023年亚运会召开期间，杭州官方特许旗舰店购进一批A、B两种亚运会纪念品，已知购进2个A种纪念品和1个B种纪念品需要155元，购进3个A种纪念品和4个B种纪念品需要320元．
(1)A，B两种纪念品的单价各是多少元？
(2)该旗舰店计划购进A、B两种纪念品共100个，且A种纪念品的数量不少于B种纪念品数量的2倍，则该旗舰店购买两种纪念品各多少个时费用最少，最少费用是多少元？
【答案】(1)种纪念品每件的进价为元，种纪念品每件的进价为元
(2)当该商店购进纪念品件，纪念品件时，该店购买费用最少，最少是元
【分析】
本题考查了二元一次方程组和一次函数的应用，根据题意找出数量关系列方程是解题的关键．
（1）根据题意找出数量关系和等量关系列方程解方程即可；
（2）根据题意找出数量关系，列一次函数，并根据增减性和取值范围解题即可．
【详解】（1）设种纪念品每件的进价为元，种纪念品每件的进价为元，
根据题意得： ，
解得 ，
答：种纪念品每件的进价为元，种纪念品每件的进价为元；
（2）设购进种纪念品件，则购进种纪念品件，费用为元，
∵，解得，
根据题意得： ，
，
∴随的增大而增大，
，
∴当 时, 最小, 最小值为元，
此时 ，
答：当该商店购进纪念品件，纪念品件时，该店购买费用最少，最少是元．
35．某服装厂生产A品种服装，每件成本为71元，零售商到此服装厂一次性批发A品牌服装x件时，批发单价为y元，y与x之间满足如图所示的函数关系，其中批发件数x为10的正整数倍．
(1)当时，y与x的函数关系式为 ．
(2)某零售商到此服装厂一次性批发A品牌服装200件，需要支付多少元？
(3)零售商到此服装厂一次性批发A品牌服装x（）件，服装厂的利润为w元，问：x为何值时，w最大？最大值是多少？
【答案】(1)
(2)18000元
(3)一次性批发A品牌服装x（100≤x≤400）件时，x为190或200时，w最大，最大值是3800元
【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，二次函数的实际应用：
（1）利用待定系数法求出一次函数解析式即可；
（2）把，代入，确定批发单价，根据总价批发单价，进而求出答案；
（3）首先根据服装厂获利w元，当且x为10整数倍时，得出w与x的函数关系式，进而得出最值，再利用当时求出最值，进而比较得出即可．
【详解】（1）解：设当时，与的函数关系式为，
将点代入中得： ，
解得
故答案为：；
（2）解：当时，
元
答：零售商一次性批发200件，需要支付18000元；
（3）解：当时，
，抛物线开口向下
当时，随的增大而增大，
又∵为10的正整数倍，
时，最大，最大值是3800，
当时，随的增大而减小
又∵为10的正整数倍，
时，最大，最大值是3800；
当时，
随的增大而增大，
时，最大，最大值是3600，
∴当或时，最大，最大值是3800。
36．某玩具批发商销售每件进价为40元的玩具，市场调查发现，若以每件50元的价格销售，平均每天销售90件，单价每提高1元，平均每天就少销售3件．
(1)平均每天的销售量（件）与销售价（元/件）之间的函数关系式为______；
(2)求该批发商平均每天的销售利润（元）与销售价（元/件）之间的函数关系式；
(3)物价部门规定每件售价不得高于55元，当每件玩具的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少元？
【答案】(1)
(2)
(3)每件玩具的销售价为55元时，可获得1125元的最大利润
【分析】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，最大销售利润的问题常用函数的增减性来解答，要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在时取得．
（1）平均每天销售量原来的销售量相对于50元的单价提高的价格；
（2）销售利润单价的利润平均每天的销售量，代入即可得出与的函数关系式；
（3）根据题中所给的自变量的取值，结合（2）得到的关系式，即可求得二次函数的最值．
【详解】（1）解：由题意得：，
故答案为：；
（2）解：由题意得：；
（3）解：，
，
抛物线开口向下，故当时，取最大值1200，
是二次函数的对称轴，且开口向下，
当时，随的增大而增大，
规定每件售价不得高于55元，
当时，取得最大值为1125元，即每件玩具的销售价为55元时，可获得1125元的最大利润．
37．1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题．
(1)下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中①处从“直角”和“等边”中选择填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数，④处填写该三角形的某个顶点）
当的三个内角均小于时，
如图1，将绕，点C顺时针旋转得到，连接，

由，可知为 ① 三角形，故，又，故，
由 ② 可知，当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，如图2，最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”，且有 ③ ；
已知当有一个内角大于或等于时，“费马点”为该三角形的某个顶点．如图3，若，则该三角形的“费马点”为 ④ 点．
(2)如图4，在中，三个内角均小于，且，已知点P为的“费马点”，求的值；

(3)如图5，设村庄A，B，C的连线构成一个三角形，且已知．现欲建一中转站P沿直线向A，B，C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄A，B，C的铺设成本分别为a元/，a元/，元/，选取合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低为___________元．（结果用含a的式子表示）
【答案】(1)①等边；②两点之间线段最短；③；④A．
(2)
(3)
【分析】（1）根据旋转的性质和两点之间线段最短进行推理分析即可得出结论；
（2）根据（1）的方法将绕，点C顺时针旋转得到，即可得出可知当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，最小值为，在根据可证明，由勾股定理求即可，
（3）由总的铺设成本，通过将绕，点C顺时针旋转得到，得到等腰直角，得到，即可得出当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，即取最小值为，然后根据已知和旋转性质求出即可．
【详解】（1）解：∵，
∴为等边三角形；
∴，，
又，故，
由两点之间线段最短可知，当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，
最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”，
∴，，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，，
∴，，
∴三个顶点中，顶点A到另外两个顶点的距离和最小．
又∵已知当有一个内角大于或等于时，“费马点”为该三角形的某个顶点．
∴该三角形的“费马点”为点A，
故答案为：①等边；②两点之间线段最短；③；④．
（2）将绕，点C顺时针旋转得到，连接，
由（1）可知当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，最小值为，

∵，
∴，
又∵
∴，
由旋转性质可知：，
∴，
∴最小值为，
（3）∵总的铺设成本
∴当最小时，总的铺设成本最低，
将绕，点C顺时针旋转得到，连接，
由旋转性质可知：，，，，
∴，
∴，
当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，即取最小值为，

过点作，垂足为，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
的最小值为
总的铺设成本（元）
故答案为：
【点睛】本题考查了费马点求最值问题，涉及到的知识点有旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，以及两点之间线段最短等知识点，读懂题意，利用旋转作出正确的辅助线是解本题的关键．
38．探究：如图和图，四边形中，已知，，点、分别在、上，．

(1)如图，若、都是直角，把绕点逆时针旋转至，使与重合，直接写出线段、和之间的数量关系______；
如图，若、都不是直角，但满足，线段、和之间的结论是否仍然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
(2)拓展：如图，在中，，点、均在边边上，且，若，求的长．
【答案】(1)①；②成立，证明见解析
(2)
【分析】（1）根据旋转的性质得出，，，求出，证≌，根据全等三角形的性质得出，即可求出答案；
结合中证明过程即可求解；
（2）作旋转三角形，根据等腰直角三角形性质和勾股定理求出，，根据旋转的性质得出，，，求出，证≌，根据全等得出，设，则，，根据勾股定理得出方程，求出即可．
【详解】（1）解：如图，
把绕点逆时针旋转至，使与重合，
，，，，
，
、、共线，
，，
，
，
即，
在和中，

，
≌，
，
，
，
故答案为：；
成立，
理由：如图，把绕点旋转到，使和重合，
则，，，
，
，
、、在一条直线上，
与同理得，，
在和中，
，
≌，
，
，
；
（2）解：中，，，
，
由勾股定理得：，

如图，把绕点旋转到，使和重合，连接．
则，，，
，
，
，
在和中，
≌，
，
设，则，
，
，
，，
，
由勾股定理得：，
，
解得：，
即．
【点睛】本题考查了四边形的综合题，旋转的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用．运用类比的思想；首先在特殊图形中找到规律，然后再推广到一般图形中，对学生的分析问题，解决问题的能力要求比较高．
39．【问题背景】学校数学兴趣小组在专题学习中遇到一个几何问题：如图1，已知等边△ABC，D是△ABC外一点，连接AD、CD、BD，若∠ADC＝30°，AD＝3，BD＝5，求CD的长．该小组在研究如图2中△OMN≌△OPQ中得到启示，于是作出图3，从而获得了以下的解题思路，请你帮忙完善解题过程．
解：如图3所示，以DC为边作等边△CDE，连接AE．
∵△ABC、△DCE是等边三角形，
∴BC＝AC，DC＝EC，∠BCA＝∠DCE＝60°．
∴∠BCA+∠ACD＝ +∠ACD，
∴∠BCD＝∠ACE，
∴ ，
∴AE＝BD＝5．
∵∠ADC＝30°，∠CDE＝60°，
∴∠ADE＝∠ADC+∠CDE＝90°．
∵AD＝3，
∴CD＝DE＝ ．
【尝试应用】如图4，在△ABC中，∠ABC＝45°，AB＝，BC＝4，以AC为直角边，A为直角顶点作等腰直角△ACD，求BD的长．
【拓展创新】如图5，在△ABC中，AB＝4，AC＝8，以BC为边向外作等腰△BCD，BD＝CD，∠BDC＝120°，连接AD，求AD的最大值．

【答案】【问题背景】；；4；【尝试应用】；【拓展创新】AD的最大值为．
【分析】问题背景：根据所给思路，结合图形进行求证即可得；
尝试应用：以点A为旋转中心，将绕点A顺时针旋转，得，连接BE，根据各角之间的数量关系可得，在与中，利用两次勾股定理求解即可得
拓展创新：以点D为旋转中心，将绕点D顺时针旋转，得，连接AF，由旋转的性质可得，，，利用等边对等角得出，，结合图形当A、B、F三点共线时，AF最大，此时 ，过点D作，得出， ，利用勾股定理可得，当AF取得最大值时，AD取得最大值，代入求解即可得．
【详解】问题背景：解：如图3所示，以DC为边作等边三角形，连接AE，
∵，是等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
在中，
，
∴，
故答案为：；；4；
尝试应用：解：以点A为旋转中心，将绕点A顺时针旋转，得，连接BE，

∴，，
∴，
∵，
∴，
在中，
∵，
∴，
在中，
∵，
∴，
∴；
拓展创新：以点D为旋转中心，将绕点D顺时针旋转，得，连接AF，

∴，，，
∴，
当A、B、F三点共线时，AF最大，
∵，，
∴，
如图中，过点D作，且，

∴， ，
∵
化简得：，当AF取得最大值时，AD取得最大值，
∴，
∴AD的最大值为．
【点睛】题目主要考查全等三角形的判定和性质，三角形旋转的性质，勾股定理解三角形等，理解题意，作出相应图形，综合运用这些知识点是解题关键．
40．【问题情境】八上《伴你学》第138页有这样一个问题：如图1，把一块三角板（AB＝BC，∠ABC＝90°）放入一个“U”形槽中，使三角形的三个顶点A、B、C分别在槽的两壁及底边上滑动，已知∠D＝∠E＝90°，在滑动过程中，你发现线段AD与BE有什么关系？试说明你的结论；
【变式探究】小明在解决完这个问题后，将其命名为“一线三等角”模型；如图2，在△ABC中，点D、E、F分别在边BC、AC、AB上，若∠B＝∠FDE＝∠C，则这三个相等的角之间的联系又会使图形中出现其他的一些等角．请你写出其中的一组，并加以说理；
【拓展应用】如图3，在△ABC中，BA＝BC，∠B＝45°，点D、F分别是边BC、AB上的动点，且AF＝2BD．以DF为腰向右作等腰△DEF，使得DE＝DF，∠EDF＝45°，连接CE．
①试判断线段DC、BD、BF之间的数量关系，并说明理由；
②如图4，已知AC＝2，点G是AC的中点，连接EA、EG，直接写出EA＋EG的最小值．
【答案】【问题情境】AD＝BE，理由见解析；
【变式探究】∠BED＝∠FDC，∠EDB＝∠DFC，理由见解析；
【拓展应用】①BD+BF＝DC，理由见解析；
②EA+EG的最小值为，理由见解析．
【分析】问题情境：证明△ABD≌△BCE（AAS），即可求解；
变式探究：利用等量代换即可求解；
拓展应用：①用等量代换即可求解；
②如图5，在CD上截取DM＝BF，连接EM，作点G关于CE的对称点N，连接CN，AN，先证明△BDF≌△MED（SAS），得到EM＝CM，在求出∠ECM＝∠MEC＝22.5°，即可确定E点在射线CE上运动，当A、E、N三点共线时，EA+EG的值最小，最小值为AN，在Rt△ANC中求出AN即可．
【详解】解： AD＝BE，理由如下：
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABD+∠CBE＝90°，
∵∠BAD+∠ABD＝90°，
∴∠BAD＝∠CBE，
∵AB＝BC，∠ADB＝∠BEC=90°，
∴△ABD≌△BCE（AAS），
∴AD＝BE；
【变式探究】解：∠BED＝∠FDC，∠EDB＝∠DFC；
∵∠EDB+∠BED＝180°﹣∠B，
∠EDB+∠FDC＝180°﹣∠FDE
∠FDC+∠DFC＝180°﹣∠C，
∠B＝∠FDE＝∠C，
∴∠BED＝∠FDC，∠EDB＝∠DFC；
【拓展应用】①解：BD+BF＝DC理由如下：
∵AB＝BC，
∴AF+BF＝BD+DC，
∵AF＝2BD，
∴2BD+BF＝BD+DC，
∴BD+BF＝DC；
②如图5，在CD上截取DM＝BF，连接EM，作点G关于CE的对称点N，连接CN，AN，
∵∠B＝45°，∠EDF＝45°，
∴∠BFD＝∠EDM，
∵DF＝DE，DM＝BF，
∴△BDF≌△MED（SAS），
∴BD＝EM，∠B＝∠DME＝45°，
∵CD＝BD+BF＝CM+DM，BF=DM
∴CM＝BD，
∴EM＝CM，
∴△MEC是等腰三角形
∴∠MCE＝∠MEC，
∵∠EMD＝45°，∠EMD＝∠MCE+∠MEC
∴∠ECM＝∠MEC＝∠EMD =22.5°，
∴E点在射线CE上运动，
∵G点与N的关于CE对称，
∴EG＝EN，
∴EA+EG＝EA+EN≥AN，
∴当A、E、N三点共线时，EA+EG的值最小，最小值为AN，
∵∠B＝45°，AB＝BC，
∴ △ABC是等腰三角形
∴∠ACB＝∠ BAC=(180°－∠B)= 67.5°，
∴∠ACE＝∠ACB －∠ECM =45°，
由对称性可知，∠ACE＝∠ECN=45°，
∴∠ACN＝90°，
∵点G是AC的中点，AC＝2，
∴CG＝1，
∴CN＝1，
在Rt△ANC中，AN2＝AC2+CN2=5
∴AN=，
∴EA+EG的最小值为．
【点睛】本题是三角形的综合题，熟练掌握三角形全等的判定及性质，轴对称求最短距离的方法是解题的关键．
41．如图，和均为等腰直角三角形，点O为直角顶点，连接，点E是线段的中点，连接．

【问题解决】
（1）如图①，当，两点分别在边，上时，线段与线段之间的数量关系为______；
【类比探究】
（2）将绕点O顺时针旋转到如图②所示位置，请探究（1）中的数量关系是否成立，并说明理由．
【拓展延伸】
（3）在的旋转过程中，当时，，，请直接写出的长．
【答案】（1）；（2）（1）中的数量关系成立，理由见解析；（3）的长为或
【分析】（1）证明，可得，再由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得，即可得出结论；
（2）延长至点F使，连接，，交于点，则四边形是平行四边形，得出，进而判断出，可得，即可得出结论；
（3）当绕点O顺时针旋转时，，过点C作交延长线于F，过点E作交于G，求出，，利用勾股定理求；当绕O点逆时针旋转时，，过点C作交于F，过点E作交于G，求出，，利用勾股定理求．
【详解】解：（1）∵和是等腰直角三角形，
∴，，，
∴，
∴，
在中，E是的中点，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）延长至点F使，连接，，交于点，
∵是的中点，，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，

（3）解：如图3，当绕点O顺时针旋转时，，

∴，
过点C作交延长线于F，过点E作交于G，
∴，
∵，
∴，，
∵E是的中点，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
如图4，当绕O点逆时针旋转时，，
∴，
过点C作交于F，过点E作交于G，

∴，
∵，
∴，，
∵E是的中点，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上所述：的长为或．
【点睛】本题考查几何变换综合题，掌握旋转的性质，等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定及性质，平行四边形的判定和性质是解题的关键．
42．如图1，在中，，D为边上一点，，E为线段上一点，．
(1)求证：；
(2)过点C作交的延长线于点F，试探索与的数量关系；
(3)如图2，若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）利用三角形外角的性质以及角的和差定义解决问题即可．
（2）如图1中，在上截取AJ，使得．证明，推出，再证明即可解决问题．
（3）如图2中，过点B作于K，作交的延长线于F，过点C作于Q．首先证明， ，再证明，，，，，利用参数构建方程解决问题即可．
【详解】（1）证明：∵，
又∵，
∴，
∴．
（2）解：结论：．
理由：如图1中，在上截取，使得．
∵
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）如图2中，过点B作于K，作交的延长线于F，过点C作于Q．
设，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴可以假设，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，
∵，
∴，
∴，
∴，，，
∵，
∴．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
43．如图1，平面直角坐标系中，抛物线过点，和，连接，点为抛物线上一动点，过点作轴交直线于点，交轴于点．

(1)直接写出抛物线和直线的解析式；
(2)如图2，连接，当为等腰三角形时，求的值；
(3)当点在运动过程中，在轴上是否存在点，使得以，，为顶点的三角形与以，，为顶点的三角形相似（其中点与点相对应），若存在，直接写出点和点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)抛物线：；直线：
(2)或或
(3)，或，或，
【分析】（1）由题得抛物线的解析式为，将点代入求，进而得抛物线的解析式；设直线的解析式为，将点，的坐标代入求，，进而得直线的解析式．
（2）由题得，分别求出，，，对等腰中相等的边进行分类讨论，进而列方程求解；
（3）对点在点左侧或右侧进行分类讨论，设法表示出各线段的长度，利用相似三角形的相似比求解，进而可得，的坐标．
【详解】（1）解：抛物线过点，，
抛物线的表达式为，
将点代入上式，得，
．
抛物线的表达式为，即．
设直线的表达式为，
将点，代入上式，
得，
解得．
直线的表达式为．
（2）解：点在直线上，且，
点的坐标为．
，，．
当为等腰三角形时，
①若，则，
即，
解得．
②若，则，
即，
解得或（舍去）．
③若，则，
即，
解得（舍去）或．
综上，或或．
（3）解：点与点相对应，
或．
①若点在点左侧，
则，，．
当，即时，
直线的表达式为，
，解得或（舍去）．
，即．
，即，
解得．
，．
当，即时，
，，
，即，
解得（舍去）或（舍去）．
②若点在点右侧，
则，．
当，即时，
直线的表达式为，
，解得或（舍去），
，
，即，
解得．
，．
当，即时，
，．
，即，
解得或（舍去）．
，．
综上，，或，或，．
【点睛】本题是二次函数的综合应用，考查了待定系数法求函数解析式，等腰三角形的性质与判定，平面直角坐标系中两点距离的算法，相似三角形的性质与判定等，熟练掌握相关知识是解题的关键．
44．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且，，，抛物线的对称轴与直线BC交于点M，与x轴交于点N．

(1)求抛物线的解析式；
(2)若点P是对称轴上的一个动点，是否存在以P、C、M为顶点的三角形与相似？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
(3)点Q是抛物线上位于x轴上方的一点，点R在x轴上，是否存在以点Q为直角顶点的等腰？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在以P、C、M为顶点的三角形与相似；点P的坐标是或
(3)存在，Q的坐标是或
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）先求直线的解析式，然后分两种情况讨论：①当时，则有轴，求出；②当时，由，可求得；
（3）分两种情况讨论：点在轴右侧和点在轴左侧，设，过点作轴的平行线交轴于点，过点作轴交于点，证明，则，得出关于的方程，求解方程即可得出答案．
【详解】（1）∵，，，
∴．
设抛物线的解析式为，则
，
解得：，
∴抛物线的解析式为．
（2）存在以P、C、M为顶点的三角形与相似，理由如下：
∵，
∴对称轴是直线．
设直线的解析式为，把代入得，
，
解得：，
∴．
∴．
∴由两点间距离公式可得：．
若以P、C、M为顶点的三角形与相似，则有，
①如图1，当时，则有轴，
∴．

②如图2，当时，

∴．
∴．
∴．
∴．
综上所述，点P的坐标是或
（3）存在，理由如下：
①如图3，当点在轴右侧时，设，过点作轴的平行线交轴于点，过点作轴交于点，

∵，
∴．
∵，
∴．
∴，即，
解得：，（不合题意，舍去）
∴Q的坐标是．
②如图4，当点在轴左侧时，设，过点作轴的平行线交轴于点，过点作轴交于点，

∵，
∴．
∵，
∴．
∴，即，
解得：，（不合题意，舍去）
∴Q的坐标是．
综上所述，Q的坐标是或．
【点睛】本题主要考查了待定系数法，二次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，根据题意画出图形，利用数形结合和分类讨论的数学思想解决问题，属于压轴题，难度较大．
45．如图1，抛物线与x轴交于点，，且经过点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)若M、N分别是边、上的动点，且，Q为线段的中点，．
①以为一边，在的上方作正方形，当点H落在该抛物线上时，求此时点H的横坐标；
②如图2，P的坐标为，将绕点P顺时针旋转到，若恰好落在边上，直接写出此时m的值．
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】（1）运用待定系数法求解即可；
（2）①过点M作轴于点D，过点H作于点E，证明可得，设，则，，利用求得，再代入求出k，从而得解；
②先证明，再求出直线和的解析式，从而求出点的坐标，继而求出，从而得解．
【详解】（1）解：将点，， 代入得：，
解得：，
故抛物线的表达式是：；
（2）①∵，， ，
∴，
如图，过点M作轴于点D，过点H作于点E，
则轴，
∴，
∴，
∴，
设，则，，
∴，，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴
∵，，
∴，
∴，，
∴，，
即，
将点代入得：，
解得：，(舍去)
∴，
即点H的横坐标是；
②，理由如下：
作图如下：作的角平分线交y轴于点F，作轴于点T，
由旋转可知：
由①可知：，
∴，，
又∵Q为线段的中点，
∴，
设直线的解析式是
∵，
∴，，，
∵
∴，
设，则由平分可知中边上的高等于，
∵，即，
解得，即，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵， ，
∴直线的解析式是：，
设直线的解析式是，
将点代入得到：，
解得：，
即直线的解析式是，
同理由， ，可得直线的解析式是：，
将直线的解析式和直线的解析式联立得：，
解得：，
∴，
∴，
∴，即．
【点睛】本题考查二次函数的综合题，涉及相似三角形的判定与性质，全等三角形判定与性质，角平分线的性质，两点间的距离公式等知识，正确作出辅助线是解题的关键．
46．抛物线：交x轴于A，B两点（A在B的左边），交y轴于点C．
(1)直接写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；
(2)如图（1），作直线，分别交x轴，线段，抛物线于D，E，F三点，连接，若与相似，求t的值；
(3)如图（2），将抛物线平移得到抛物线，其顶点为原点．直线与抛物线交于O，G两点，过的中点H作直线MN（异于直线）交抛物线于M，N两点，直线与直线交于点P，问点P是否在一条定直线上？若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由．
【答案】(1)对称轴：直线，顶点坐标
(2)2或
(3)是，
【分析】（1）将抛物线解析式化为顶点式，即可得解；
（2）分和两种情况求解即可；
（3）先求出，与联立求出点，再求出，设，求出直线的解析式，代入得．求出直线的解析式为，直线的解析式为，联立求出交点．设点在直线上，代入点P坐标，整理可得点在定直线上．
【详解】（1）将变形得：，
∴抛物线的对称轴为直线，
顶点坐标为；
（2）是直线与抛物线的交点，
，
①如图，若时，
，
∴
，
∴，
解得，（舍去）或．
②如图，若时．过作轴于点．
，
∴，
∴，
，
，
∴
，
∴，，
，
∴，
解得，（舍去）或．
综上，符合题意的的值为2或．
（3）∵将抛物线平移得到抛物线，其顶点为原点，
∴，
∵直线的解析式为，
∴联立直线与解析式得：，
解得：（舍去），，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴，
设，直线的解析式为，
则，
解得，，
∴直线的解析式为，
∵直线经过点，
∴
同理，直线的解析式为；直线的解析式为．
联立，得，
解得：．
∵直线与相交于点，
．
设点在直线上，则，①
整理得，，
比较系数得：，解得：，
∴当时，无论为何值时，等式①恒成立．
∴点在定直线上．
【点睛】本题考查了待定系数法，二次函数的图象与性质，二次函数的平移，抛物线与坐标轴的交点，相似三角形的判定和性质，一次函数的交点等知识，解答本题的关键要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，运用分类讨论思想思考解决问题．
47．如图，抛物线与x轴分别交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，若且．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)如图1，点是第四象限内抛物线上的一个点且位于对称轴右侧，分别连接、相交于点，当时，求点的坐标；
(3)如图2，在（2）的条件下，交轴于点，过点的直线与线段，分别交于，，当直线绕点旋转时，为定值，请求出和的值．
【答案】(1)
(2)
(3)，．
【分析】本题考查二次函数的图象及性质，平行线分线段成比例．
（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）过点作轴交于点，过点作轴交于点，则，由，可得，设，，分别求出，，根据，建立方程求出的值即可求点坐标；
（3）过点作轴交于点，过点作轴交于点，连接，则，根据平行线的性质可得，，，
，化简得，，再由，求出，再由，得到，根据平行得到，求出，则，因为，即可求，的值．
【详解】（1）解： ，
，
，
，
，
将、代入，
，
解得，
抛物线的解析式为；
（2），
抛物线的对称轴为直线，
设，，
当时，，
解得或，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
过点作轴交于点，过点作轴交于点，则，
，
，
，
，
，，
，，
，
解得(舍去)或，
；
（3）过点作轴交于点，过点作轴交于点，连接，
，，
轴，
，则，
，，，，
，，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，则，
，
又，，
，
，
，
， 即，
，．
48．已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线 经过B、C两点，与x轴的另一交点为点A．
(1)如图1，求抛物线的解析式；
(2)如题图2， 点 D 为直线上方抛物线上一动点， 连接， 设直线交线段于点E，的面积为，的面积为，当 时，求点 D 的坐标；
(3)在（2）的条件下，且点 D的横坐标小于2，是否在数轴上存在一点P，使得以A、C、P为顶点的三角形与相似，如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)或
(3)或或
【分析】（1）利用一次函数求出两点的坐标，再利用待定系数法求解即可；
（2）分别过点A、点D作y轴的平行线，交直线于点F和点G，设点，则， 求出点F的坐标，证明，由，得到，即，求解出m的值即可；
（3）当点P在y轴时，以A、C、P为顶点的三角形与相似，存在、 两种情况，利用解直角三角形的方法即可求解；当点P 在x轴上时，同理可解．
【详解】（1）解：把代入，得：，
．
把代入得：，
，
将、代入得：，
解得，．
抛物线的解析式为；
（2）解：分别过点A、点D作y轴的平行线，交直线于点F和点G，
抛物线的解析式为，令，得，
解得：或，
，
设点，则，
当时，
∴，即，
∵，
∴，
∵ ，
∴，
得，
∴，
解得，
∴点D坐标为或时，；
（3）解：存在，理由：
由题意得，点，
由点A、B、C、D的坐标得，，，
，
，
在中，则，，
当点P在y轴时，
∵以A、C、P为顶点的三角形与相似，
当时， 则，
则，
，
，
则点；
当时， 此时，点P、O重合，
，
，
，
故点；
当点在x轴上时，
只有，以A、C、P为顶点的三角形与相似，
则，
则点，
综上，点P的坐标为或或时，以A、C、P为顶点的三角形与相似．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解直角三角形、三角形相似、面积的计算等，分类求解是解题的关键．
女1
女2
女3
男1
男2
女1
女1女2
女1女3|
男1女1
男2女1
女2
女1女2
女2女3|
男1女2|
男2女2
女3
女1女3
|女3女2
男1女3|
男2女3
男1
男1女1 |
男2女1
男3女1
男1男2
男2|
男1女2|
男2女2
男3女2|
男1男2
甲的选择
乙的选择
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
测量项目
第一次
第二次
第三次
，之间的距离