【冲刺2024数学】中考真题（2023无锡）及变式题（江苏无锡2024中考专用）解答题部分

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1．（1）计算：
（2）化简：
2．计算或化简：
(1)；
(2)．
3．（1）计算：．
（2）化简：．
4．计算题：
(1)计算：；
(2)化简：．
5．（1）计算：；
（2）化简：．
6．计算与化简
（1）．
（2）（2x＋y）（2x﹣y）﹣（x﹣2y）2＋y（﹣4x＋5y＋1）．
【2023无锡真题及变式题第20】
7．（1）解方程：
（2）解不等式组：
8．解下列方程及不等式组
(1)x2＋2x﹣5＝0
(2)（x﹣2）2＋x（x﹣2）＝0
(3)解不等式组，并将解集在数轴上表示出来．
9．（1）解方程：；
（2）解不等式组．
10．（1）解方程：；
（2）解不等式组：．
11．（1）解方程：（x+1）（x+3）＝15
（2）解方程：3x2﹣2x＝2
（3）解不等式组
12．解下列方程或解不等式组：
(1)
(2)
(3)
【2023无锡真题及变式题第21】
13．如图，中，点D、E分别为的中点，延长到点F，使得，连接．求证：

(1)；
(2)四边形是平行四边形．
14．如图，中，，点D为中点，，绕点D旋转，使与边交于E（不与A，B重合），与边交于点F．

(1)求证：；
(2)若，求四边形的面积．
15．如图，在中，连接，取中点O，过点O作直线，分别交于点E，F．
(1)求证：；
(2)连接，试说明四边形是平行四边形．
16．如图所示，在中，点D是上一点，连接AD，E、F、G、H分别为、、、的中点，连接．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，，求的长．
17．如图，中，D、E分别是边上的中点，连接并延长使，连接，
(1)四边形是怎样的四边形？证明你的结论；
(2)当满足什么条件时，四边形是矩形？
18．如图，在中，点D在斜边上，过点D向边作垂线，垂足为点E，延长至点F，使得，连接、．

(1)求证：
(2)当D为中点时，
①求证：四边形是菱形：
②若，求证：四边形是正方形．
【2023无锡真题及变式题第22】
19．为了深入推动大众旅游，满足人民群众美好生活需要，我市举办中国旅游日惠民周活动，活动主办方在活动现场提供免费门票抽奖箱，里面放有4张相同的卡片，分别写有景区：A．宜兴竹海，B．宜兴善卷洞，C．阖闾城遗址博物馆，D．锡惠公园．抽奖规则如下：搅匀后从抽奖箱中任意抽取一张卡片，记录后放回，根据抽奖的结果获得相应的景区免费门票．
(1)小明获得一次抽奖机会，他恰好抽到景区A门票的概率是_________．
(2)小亮获得两次抽奖机会，求他恰好抽到景区A和景区B门票的概率．
20．非物质文化遗产是中华民族古老生命记忆和活态的文化基因，陕西是非物质文化遗产的重要代表地区．某学校为让学生深入了解非物质文化遗产，决定邀请A秦腔，B陕北民歌，C民间面塑，D皮影制作的相关传承人（每项一人）进校园宣讲．
(1)若从以上非物质遗产中任选一个，则选中C民间面塑传承人的概率是____________．
(2)若该学校决定邀请两位非遗传承人进校园宣讲，请用画树状图或列表的方法，求选中B陕北民歌和D皮影制作传承人的概率．
21．甲、乙两人做游戏，他们在一只不透明的袋子中装了五个小球，分别标有数字：1，1，2，2，3，这些小球除编号外都相同．
(1)搅匀后，甲从中任意摸出一个小球，则这个小球的编号是偶数的概率为 ；
(2)搅匀后，甲从中任意摸出一个小球，记录小球的编号后放回、搅匀，乙再从中任意摸出一个小球，若摸出两个小球编号之和为偶数甲获胜；否则，乙获胜，请你用画树状图或列表的方法说明谁获胜的概率大．
22．嘉嘉和琪琪周末约好参观展览馆，如图是该展览馆出入口示意图．嘉嘉和琪琪分别从两入口进入参观．
(1)参观结束后，嘉嘉从C出口走出的概率是 ．
(2)参观结束后，通过画树状图或列表求嘉嘉和琪琪恰好从同一出口走出的概率．
23．某校有名女生和名男生参加学校青少年禁毒知识演讲决赛，采用抽签的方式决定出场顺序．
(1)第一个出场为男生的概率是______．
(2)用列表或画树状图求前两个出场都是女生的概率．
24．如图是一个可以自由转动的转盘，被等分成4个扇形，每个扇形上分别标有相应的数字1，2，3，4．甲和乙做游戏：甲转动转盘，当转盘停止转动后记下指扇形区域内的数字，再由乙转动转盘，当转盘停止转运后记下指针所指扇形区域内的数字（如果指针恰好指在分割线上，那么重新转一次，直到指针指向一个数字为止），若两人转出的数字之和小于5，则甲获胜；若两次转出的数字之和大于等于5，则乙获胜．

(1)甲随机转运转盘，当转盘停止转运后，指针指向扇形区域内的数字小于4是________．（填“必然”“随机”或“不可能”）
(2)你认为该游戏规则是否公平?请利用画树状图或列表的方法进行说明．
【2023无锡真题及变式题第23】
25．2023年5月30日，神州十六号载人飞船成功发射，为大力弘扬航天精神，普及航天知识，激发学生探索和创新热情，某初中在全校开展航天知识竞赛活动现采用简单随机抽样的方法从每个年级抽取相同数量的学生答题成绩进行分析，绘制成下列图表，请根据图表提供的信息，解答下列问题：
学生参加航天知识竞赛成绩频数分布表
学生参加航天知识竞赛成绩统计表

(1)_________；_________%；
(2)请根据“学生参加航天知识竞赛成绩统计表”对本次竞赛中3个年级的总体情况做出评价，并说明理由．
26．为增强学生垃圾分类意识，推动垃圾分类进校园，某校组织初一全体学生参加了“垃圾分类知识”比赛．现从该年级随机抽取甲、乙两个班，并从两个班中各抽取20名学生的比赛成绩进行整理和分析，成绩得分用x表示，共分成五组：A组：，B组：，C组：，D组：，E组：，下面给出了部分信息．
甲班20名学生的比赛成绩在D组中的数据是：84，83，84，80，84，82
乙班20名学生的比赛成绩是：
55，68，70，76，72，76，79，79，75，79，82，87，87，82，86，81，92，98，96，100
甲、乙两班抽取的学生比赛成绩统计表

根据上述信息，解答下列问题：
(1)请直接写出上述表中的 ， ， ；
(2)你认为该校初一年级甲班、乙班中哪个班学生掌握垃圾分类知识较好？请说明理由．（写出一条理由即可）；
(3)若此次比赛成绩不低于80分为优秀，请估计全年级1200人中优秀人数为多少．
27．甲、乙两校参加市英语口语比赛，两校参赛人数相等．比赛成绩分为A，B，C，D四个等级，其中相应等级的得分依次记为分，分，分，分，组委会将甲、乙两所学校的成绩整理并绘制成统计图，已知乙学校有人的成绩是A等级．根据以上提供的信息解答下列问题：
(1)将甲学校的成绩统计图补充完整；
(2)补全下面的表格，并根据表格回答问题．
①从平均数和中位数角度来比较甲、乙两所学校的成绩；
②从平均数和众数角度来比较甲、乙两所学校的成绩．
28．市图书馆充分发挥资源优势，利用“数字图书馆”组织开展了主题为“数字阅读+悦读”的中小学生暑假阅读活动，某校随机抽取了七年级的若干学生进行调查，并将所收集的数据分组整理，绘制了如下两幅不完整的统计图表．

(1)求出表中a，b的值；
(2)已知该校七年级的学生有1000人，试估计该校七年级学生每天阅读时长在的约有多少人？
29．在学校组织的“喜迎世博，知荣明耻，文明出行”的知识竞赛中，每班参加比赛的人数相同，成绩分为，，，四个等级，其中相应等级的得分依次记为分，分，分，分，学校将八年级的一班和二班的成绩整理并绘制成如下的统计图：
请你根据以上提供的信息解答下列问题：

(1)此次竞赛中二班成绩在级以上（包括级）的人数为______；
(2)请你将表格补充完整：
30．2022午3月25日，教育部印发《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》，优化了课程设置，将劳动从综合实践活动课程中独立出来．某校为了解该校学生一周的课外劳动情况，随机抽取部分学生调查了他们一周的课外劳动时间，将数据进行整理并制成如一统计图．

请根据图中提供的信息，解答下向的问题：
(1)求图l中的______，本次调查数据的中位数是______，本次调查数据的众数是______h；
(2)若该校共有2000名学生，请根据统计数据，估计该校学生一周的课外劳动时间不小于3h的人数．
【2023无锡真题及变式题第24】
31．如图，已知，点M是上的一个定点．

(1)尺规作图：请在图1中作，使得与射线相切于点M，同时与相切，切点记为N；
(2)在（1）的条件下，若，则所作的的劣弧与所围成图形的面积是_________．
32．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°．
(1)求作圆C，使它与AB相切于点D，与AC相交于点E；
（要求尺规作图，不写作法，但应保留作图痕迹，并标明字母）
(2)在（1）中所作的图形中，若BC＝2，AC＝，求弧DE的长．
33．如图，在中，，与相切，且与相切于点C．
(1)用直尺与圆规作出（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)若，则的半径为_______
34．尺规作图：
如图，已知，在中，，
(1)已知点O在边上，请用圆规和直尺作出，使经过点C，且与相切（保留作图痕迹，不写作法和证明）
(2)若与切于点D，与的另一个交点为E，若，的半径为2，求劣弧与线段所围成的图形的面积．（结果保留）
35．如图，在中，．

(1)尺规作图：作，使得圆心在边上，过点且与边相切于点（请保留作图痕迹，标明相应的字母，不写作法）；
(2)在（1）的条件下，若，求与重叠部分的面积．
36．如图，已知在中，
(1)已知点O在边BC上，请用圆规和直尺作出，使经过点C，且与AB相切（保留作图痕迹，不写作法和证明）．
(2)若与AB切于点D，与CB的另一个交点为E，连接AO、DE，求证：DE//OA．
(3)若，，求的半径．
【2023无锡真题及变式题第25】
37．如图，是的直径，与相交于点．过点的圆O的切线，交的延长线于点，．

(1)求的度数；
(2)若，求的半径．
38．如图，线段是半圆的直径，点为的中点，在线段的延长线上取点，过点作的切线，切点为，点是弧（不与点，重合）上一点，延长交于的延长线于点．
(1)连接，，若，求证：；
(2)在（1）的条件下，若，，求的半径．
39．如图，是的弦，是的直径，过点作的切线交的延长线于点，过点作交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）若，的半径为2，求的长．
40．如图，在中，是边上的一点，以点为圆心，的长为半径，恰好与边相切于点，与边交于点，连接．
(1)求证：；
(2)若，，求的半径．
41．如图，是的外接圆，，，是的切线，切点分别为A，C．

(1)求证；
(2)若，，
①求的半径：
②连接，与交于点P，连接，，则______．
42．如图，是的直柽，弦于H，点E在上，且，与交于点G，与交于点F．
(1)求证，．
(2)连接，试判断与的位置关系，并说明理由．
(3)过点D作的切线，交的延长线于点P，点M在上．若，，试探究在点M的运动过程中，的值是否发生变化？若不变，求出其值，若变化，说明变化规律．
【2023无锡真题及变式题第26】
43．某景区旅游商店以元的价格采购一款旅游食品加工后出售，销售价格不低于元，不高于元，经市场调查发现每天的销售量与销售价格（元）之间的函数关系如图所示．

(1)求关于的函数表达式：
(2)当销售价格定为多少时，该商店销售这款食品每天获得的销售利润最大？最大销售利润是多少？【销售利润=（销售价格一采购价格）×销售量】
44．我市雷雷服饰有限公司生产了一款夏季服装，通过实体商店和网上商店两种途径进行销售，销售一段时间后，该公司对这种商品的销售情况，进行了为期30天的跟踪调查，其中实体商店的日销售量y（百件）与时间（t为整数，单位：天）的函数关系为：，网上商店的日销售量（百件）与时间（t为整数，单位：天）的部分对应值如图所示．
(1)求与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围：
(2)在跟踪调查的30天中，设实体商店和网上商店的日销售总量为y（百件），求y与t的函数关系式；当t为何值时，日销售总量y达到最大，并求出此时的最大值．
(3)求这30天中第几天的日销售量为8000件？
45．寒冬来临，豆丝飘香，豆丝是鄂州民间传统美食；某企业接到一批豆丝生产任务，约定这批豆丝的出厂价为每千克5元，按要求在20天内完成．为了按时完成任务，该企业招收了新工人，新工人李明第1天生产90千克豆丝，由于不断熟练，以后每天都比前一天多生产10千克豆丝；设李明第x天（，且x为整数）生产y千克豆丝，解答下列问题：
(1)求y与x的关系式，并求出李明第几天生产豆丝280千克？
(2)设第x天生产的每千克豆丝的成本是p元，p与x之间满足如图所示的函数关系；若李明第x天创造的利润为w元，求w与x之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大？最大利润是多少元？（利润出厂价成本）
46．某超市试销一种新商品，在销售过程中，超市每天以每件100元的价格将当天所进该商品全部售出.一个月（按30天计算）后，对销售情况进行了统计：该商品第x天的进价y（元/件）与x（天）之间的相关信息如下表：
该商品在销售过程中，日销售量（件）与（天）之间的函数关系如图所示．
(1)直接写出该商品的日销售量m（件）与x（天）之间的函数关系式；（不要求写出自变量取值范围）
(2)此超市在销售该商品的过程中，第几天的日销售利润最大?最大日销售利润是多少?
47．2023杭州亚运会举办期间，某商店销售的吉祥物纪念品深受广大人民的肖爱，已知每个纪念品的进价为50元，每日销售量y（个）与销售单价（元）调足一次函数关系，下表记录的是有关数据，出于营销考虑，要求每个纪念品的销售单价不低于进价且不高于100元，设商店销售纪念品的日获利为（元）．
(1)求日销售量与销售单价的函数关系式，并写出自变量的取值范围
(2)当销售单价定为多少时，销售这种纪念品的日获利最大？最大利润为多少元？
48．某商家在购进一款产品时，由于运输成本及产品成本的提高，该产品第天的成本（元/件）与（天）之间的关系如图所示，并连续50天均以80元/件的价格出售，第天该产品的销售量（件）与（天）满足关系式．
(1)第5天，该商家获得的利润是________元；第40天，该商家获得的利润是________元；
(2)设第天该商家出售该产品的利润为元．
①求与之间的函数关系式，并指出第几天的利润最大，最大利润是多少？
②在出售该产品的过程中，当天利润不低于1125元的共有________天？（直接填写结果）
【2023无锡真题及变式题第27】
49．如图，四边形是边长为的菱形，，点为的中点，为线段上的动点，现将四边形沿翻折得到四边形．

(1)当时，求四边形的面积；
(2)当点在线段上移动时，设，四边形的面积为，求关于的函数表达式．
50． （1） 如图1， 在菱形中， 点E 为边 上的一动点， 连接，， 以为边在右侧作菱形， 使得连接．求证：
（2） 如图2，四边形 是平行四边形， 点E 为边上的一动点， 连接， ， 以 为边在右侧作平行四边形 ， 使得 且 连接．试探究线段与的数量关系 并说明理由．
51．【基础巩固】
（1）如图1，在中，D为上一点，，求证：．
【尝试应用】
（2）如图2，在中，E为上一点，F为延长线上一点，，若，，求的长．
【拓展提高】
（3）如图3，在菱形中，E是上一点，F是内一点，，，，，，求菱形ABCD的边长．
52．如图，在中，，，，动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿方向绕行一周，动直线从开始，以每秒1个单位长度的速度向右平移，分别交、于、两点，当点运动到点时，直线也停止运动．

(1)求点到的最大距离；
(2)当点在上运动时，
①求的值；
②把绕点顺时针旋转，当点的对应点落在上时，的对应线段恰好与垂直，求此时的值．
(3)当点关于直线的对称点为时，四边形能否成为菱形？若能，直接写出的值；若不能，请说明理由．
53．如图，菱形中，，点分别是边上动点，且，（不与点重合），与交于点．

(1)求证：①；②是等边三角形；
(2)若，求的长；
(3)若，请作交于点，交于点，请求出的值．
54．在和中，，，，连接，．
(1)求证：；
(2)若和 均为等边三角形，作直线，点 C 在直线l上且点 D 在 右侧，的延长线交l于E，连接，．
①求证：点D 在线段的垂直平分线上；
②若 斜边上的高为2，点C在直线l上运动，则 的最小值 = ．
【2023无锡真题及变式题第28】
55．已知二次函数的图像与轴交于点，且经过点和点．
(1)请直接写出，的值；
(2)直线交轴于点，点是二次函数图像上位于直线下方的动点，过点作直线的垂线，垂足为．
①求的最大值；
②若中有一个内角是的两倍，求点的横坐标．
56．已知抛物线经过点和点，与轴交于另一点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P为第四象限内抛物线上的点，连接，如图1，若的面积为1，求P点坐标；
(3)设点M为抛物线上的一点，若时，求M点坐标．
57．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，坐标分别为点，，与y 轴交于点C，作直线BC ，动点P在x 轴上运动，过点P 作PM⊥x轴，交抛物线于点M，交直线BC于点N ，设点P的横坐标为m．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点P 在线段OB 上运动时，求线段MN 的最大值；
(3)当以C，O，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出m的值．
58．如图，以D为顶点的抛物线yx2＋bx＋c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，直线BC的表达式为y＝﹣x＋6
(1)求抛物线的表达式；
(2)在直线BC上有一点P，使PO＋PA的值最小，求点P的坐标；
(3)在x轴上是否存在一点Q，使得以A、C、Q为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
59．如图，平面直角坐标系中，二次函数的图象与坐标轴交于A、B、C三点，其中点，，是第一象限内二次函数图象上一动点，过点作于点，交于点．
(1)求二次函数的表达式．
(2)求的最大值．
(3)如图2，过点作的垂线，交轴于点，交二次函数图象的对称轴于点，连接、，是否存在点使得？若存在，直接写出点的横坐标，若不存在，请说明理由．
60．如图，已知二次函数的图象与x轴交于点A、C，与y轴交于点B，并且经过不同的两点、，当时，总有．直线l经过点B和点C，点D为抛物线的顶点，连接．
(1)求b的值；
(2)请求出四边形的面积；
(3)直线l绕点C逆时针旋转，与直线重合时终止运动，在旋转过程中，直线l与线段交于点P，点P与点A、B不重合，点M为线段的中点．
①过点P作于点E，于点F，连接，在旋转的过程中的大小是否发生变化，若不变化，求出的度数；若发生变化，请说明理由；
②在①的条件下，连接，直接写出线段的最小值．
竞赛成绩x（组别）
（A）
（B）
（C）
（D）
（E）
（F）
频数
21
96
a
57
b
6
年级
平均数
众数
中位数
七年级
82
81
八年级
82
82
九年级
83
80
平均数
中位数
众数
甲班
81
a
95
乙班
81
80
b
学校
平均分
中位数
众数
甲学校
乙学校
组别
阅读时长（单位：小时）
人数（单位：人）
A
a
B
72
C
18
D
b
平均数（分）
中位数（分）
众数（分）
一班
二班
时间（天）
进价（元/件）
50
销售单价 （元）
日销量y（个）