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【知识点梳理】知识点04 概率与统计（公式、定理、结论图表）-中考数学必背知识手册
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这是一份【知识点梳理】知识点04 概率与统计（公式、定理、结论图表）-中考数学必背知识手册，共7页。学案主要包含了数据的收集与处理，概率等内容，欢迎下载使用。
考点一、数据的收集与处理
1.一般步骤：调查收集数据的过程一般有下列六步：明确调查问题、确定调查对象、选择调查方法、展开调查、记录结果、得出结论．
2.调查收集数据的方法:普查与抽样调查.
要点诠释：
(1)通过调查总体的方式来收集数据的，抽样调查是通过调查样本方式来收集数据的．
(2)一般地，当总体中个体数目较多，普查的工作量较大；受客观条件的限制，无法对所有个体进行普查；或调查具有破坏性时，不允许普查,这时我们往往会用抽样调查来体现估计总体的思想.
(3)用抽签的办法决定哪些个体进入样本．统计学家们称这种理想的抽样方法为简单的随机抽样.
典例1：今年我市有4万名学生参加中考,为了了解这些考生的数学成绩,从中抽取2000名考生的数学成绩进行统计分析.在这个问题中,下列说法:
①这4万名考生的数学中考成绩的全体是总体;
②每个考生是个体;
③2000名考生是总体的一个样本;
④样本容量是2000.
其中说法正确的有( ).
A. 4个B. 3个
C. 2个D. 1个
【解析】 总体是指考查的对象的全体,个体是总体中的每一个考查的对象,样本是总体中所抽取的一部分个体,而样本容量则是指样本中个体的数目.我们在区分总体、个体、样本、样本容量,这四个概念时,首先找出考查的对象.从而找出总体、个体.再根据被收集数据的这一部分对象找出样本,最后再根据样本确定出样本容量.
这4万名考生的数学中考成绩的全体是总体;每个考生的数学中考成绩是个体;2000名考生的中考数学成绩是总体的一个样本,样本容量是2000.故正确的是①④.
【答案】 C
【误区纠错】 从总体中抽取的一部分个体叫做总体的一个样本,而样本中个体的数目叫做样本容量.对“样本”与“样本容量”这两个概念的混淆,是较为常见的错误.
3.数据的统计:条形统计图、折线统计图、扇形统计图是三种最常用的统计图．
要点诠释：
这三种统计图各具特点：
条形统计图可以直观地反映出数据的数量特征；
折线统计图可以直观地反映出数据的数量变化规律；
扇形统计图可以直观地反映出各部分数量在总量中所占的份额．
典例2： 连云港市实行中考改革，需要根据该市中学生体能的实际情况重新制定中考体育标准．为此，抽取了50名初中毕业的女学生进行“一分钟仰卧起坐”次数测试．测试的情况绘制成表格如下：
⑴求这次抽样测试数据的平均数、众数和中位数；
⑵根据这一样本数据的特点，你认为该市中考女生“一分钟仰卧起坐”项目测试的合格标准应定为多
少次较为合适？请简要说明理由；
⑶根据⑵中你认为合格的标准，试估计该市中考女生“一分钟仰卧起坐”项目测试的合格率是多少？
【思路点拨】
本题是以统计初步知识在该市怎样定中考女生“一分钟仰卧起坐”项目测试的合格标
准的应用为背景，把制定体育成绩的某项合格指标转化为统计问题，求出了统计中的平均数、众数、中位数.
【答案与解析】
⑴该组数据的平均数
众数为18，中位数为18；
⑵该市中考女生一分钟仰卧起坐项目测试的合格标准应定为 18次较为合适，因为众数及中位数均为18，且50人中达到18次的人数有41人，确定18次能保证大多数人达标；
⑶根据⑵的标准，估计该市中考女生一分钟仰卧起坐项目测试的合格率为 82%.
【总结升华】
确定众数的方法是找该组数据中出现次数最多的数，如果有多个数出现的次数相同,那这些出现次数相同的数都是这组数据的众数；平均数、众数、中位数及其应用，在中考试卷中它们有机地交汇于实际情境中，考查应用意识．
考点二.数据分析
1.基本概念：
总体：把所要考查的对象的全体叫做总体；
个体：把组成总体的每一个考查对象叫做个体；
样本：从总体中取出的一部分个体叫做总体的一个样本；
样本容量：样本中包含的个体的个数叫做样本容量；
频数：在记录实验数据时，每个对象出现的次数称为频数；
频率：每个对象出现的次数与总次数的比值（或者百分比）称为频率；
平均数：在一组数据中，用数据的总和除以数据的总个数就得到这组数据的平均数；
中位数：将一组数据从小到大依次排列，位于正中间位置的数（或正中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数；
众数：在一组数据中，出现频数最多的数叫做这组数据的众数；
极差：一组数据中的最大值减去最小值所得的差称为极差；
方差：我们可以用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果通常称为方差．
计算方差的公式：设一组数据是，是这组数据的平均数。则这组数据的方差是：
标准差：一组数据的方差的算术平方根，叫做这组数据的标准差．
用公式可表示为：
要点诠释：
1．平均数、中位数和众数可以用来概括一组数据的集中趋势.
平均数的优点：平均数的计算过程中用到了一组数据中的每一个数，因此比中位数和众数更灵敏，反映了更多数据的信息.
平均数的缺点：计算较麻烦，而且容易受到极端值的影响.
中位数的优点：计算简单，不容易受到极端值的影响，确定了中位数之后，可以知道小于中位数的数值和大于中位数的数值在这组数据中各占一半.
中位数的缺点：除了中间的值以外，不能反映其他数据的信息.
众数的优点：众数很容易从直方图中获得，它可以清楚地告诉我们：在一组数据中哪个或哪些数值出现的次数最多.
众数的缺点：不能反映众数比其他数出现的次数多多少，而且也丢失了很多其他数据的信息.
2.极差、方差是表示一组数据离散程度的指标.极差就是一组数据中的最大值减去最小值所得的差.它可以反映一组数据的变化范围.极差的不足之处在于只和极端值相关，而方差则弥补了这一不足.方差可以比较全面地反映一组数据相对于平均值的波动情况，只是计算比较复杂.
2.绘制频数分布直方图的步骤
①计算最大值与最小值的差；
②决定组距和组数；
③决定分点；
④画频数分布表；
⑤画出频数分布直方图．
3.加权平均数
在一组数据中，各个数在总结果中所占的百分比称为这个数的权重，每个数乘以它相应的权重后所得的平均数叫做这组数据的加权平均数．
要点诠释：
在通常计算平均数的过程中，各个数据在结果中所占的份量是相等的。而实际情况有时并非如此，如果要区分不同的数据的不同权重，就需要使用加权平均数.当我们改变一组数据中各个数值所占的权重时，这组数据的加权平均数就有可能随之改变.
典例3：某中学随机抽查了50名学生,了解他们一周的课外阅读时间,结果如下表所示:
则这50名学生一周的平均课外阅读时间是 小时.
【解析】 平均数的计算方法是求出所有数据的和,然后除以数据的总个数.
该组数据的平均数为(4×10+5×20+6×15+7×5)÷50=265÷50=5.3(小时).
【答案】 5.3
【误区纠错】 一般的,如果一组数据的权分别为,那么为这n个数的加权平均数.本题易出现的错误是求4,5,6,7这四个数的平均数,对平均数的理解不正确.
考点三、概率
1．概率的定义：一般地，如果在一次实验中，有n种可能结果，并且它们发生的可能性相等，事件A包含其中m种结果，那么事件A发生的概率P(A)= .
2．概率的求法
(1)用列举法
(2)用频率来估计：事件A的概率： 一般地，在大量重复进行同一实验时，事件A发生的频率 ，总是接近于某个常数，在它附近摆动.这个常数叫做事件A的概率，记作P(A).
3.事件
必然事件:那些无需通过实验就能够预先确定它们在每一次实验中都一定会发生的事件称为必然事件．
不可能事件：那些在每一次实验中都一定不会发生的事件称为不可能事件．
随机事件:无法预先确定在一次实验中会不会发生的事件称为不确定事件或随机事件．
要点诠释：
①求一个事件概率的基本方法是通过大量的重复实验；
②当频率在某个常数附近摆动时，这个常数叫做事件A的概率；
③概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值；
④概率反映了随机事件发生的可能性的大小；
⑤必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0，因此0≤P(A)≤1；
⑥必然事件和不可能事件统称为确定事件．
典例4：（2023•盐城）在英文句子“ ！”中，字母“”出现的频数为 3 ．
【分析】求出英语句子中的所有字母的个数以及字母出现的次数，再根据频数的定义进行解答即可．
【解答】解：英文句子“ ！”中共有16个字母，其中有3个，
所以字母“”出现的频数为3．
故答案为：3．
【点评】本题考查频数与频率，理解频数的意义是正确解答的前提．
典例5：如图，4张背面完全相同的纸牌（用①、②、③、④表示），在纸牌的正面分别写有四个不同的条件，小明将这4张纸牌背面朝上洗匀后，先随机摸出一张（不放回），再随机摸出一张．
（1）用树状图（或列表法）表示两次摸牌出现的所有可能结果；
（2）以两次摸出牌上的结果为条件，求能判断四边形ABCD是平行四边形的概率．
【思路点拨】
（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；
（2）由（1）求得能判断四边形ABCD是平行四边形的情况，利用概率公式即可求得答案．
【答案与解析】
（1）画树状图得：
则共有12种等可能的结果；
（2）∵能判断四边形ABCD是平行四边形的有：①②，①③，②①，②④，③①，③④，④②，④③共8种情况，
∴能判断四边形ABCD是平行四边形的概率为：=．
【总结升华】
此题考查的是用列表法或树状图法求概率的知识．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=符合条件的情况数与总情况数之比． 次数
6
12
15
18
20
25
27
30
32
35
36
人数
1
1
7
18
10
5
2
2
1
1
2
时间(小时)
4
5
6
7
人数
10
20
15
5
考点一、数据的收集与处理
1.一般步骤：调查收集数据的过程一般有下列六步：明确调查问题、确定调查对象、选择调查方法、展开调查、记录结果、得出结论．
2.调查收集数据的方法:普查与抽样调查.
要点诠释：
(1)通过调查总体的方式来收集数据的，抽样调查是通过调查样本方式来收集数据的．
(2)一般地，当总体中个体数目较多，普查的工作量较大；受客观条件的限制，无法对所有个体进行普查；或调查具有破坏性时，不允许普查,这时我们往往会用抽样调查来体现估计总体的思想.
(3)用抽签的办法决定哪些个体进入样本．统计学家们称这种理想的抽样方法为简单的随机抽样.
典例1：今年我市有4万名学生参加中考,为了了解这些考生的数学成绩,从中抽取2000名考生的数学成绩进行统计分析.在这个问题中,下列说法:
①这4万名考生的数学中考成绩的全体是总体;
②每个考生是个体;
③2000名考生是总体的一个样本;
④样本容量是2000.
其中说法正确的有( ).
A. 4个B. 3个
C. 2个D. 1个
【解析】 总体是指考查的对象的全体,个体是总体中的每一个考查的对象,样本是总体中所抽取的一部分个体,而样本容量则是指样本中个体的数目.我们在区分总体、个体、样本、样本容量,这四个概念时,首先找出考查的对象.从而找出总体、个体.再根据被收集数据的这一部分对象找出样本,最后再根据样本确定出样本容量.
这4万名考生的数学中考成绩的全体是总体;每个考生的数学中考成绩是个体;2000名考生的中考数学成绩是总体的一个样本,样本容量是2000.故正确的是①④.
【答案】 C
【误区纠错】 从总体中抽取的一部分个体叫做总体的一个样本,而样本中个体的数目叫做样本容量.对“样本”与“样本容量”这两个概念的混淆,是较为常见的错误.
3.数据的统计:条形统计图、折线统计图、扇形统计图是三种最常用的统计图．
要点诠释：
这三种统计图各具特点：
条形统计图可以直观地反映出数据的数量特征；
折线统计图可以直观地反映出数据的数量变化规律；
扇形统计图可以直观地反映出各部分数量在总量中所占的份额．
典例2： 连云港市实行中考改革，需要根据该市中学生体能的实际情况重新制定中考体育标准．为此，抽取了50名初中毕业的女学生进行“一分钟仰卧起坐”次数测试．测试的情况绘制成表格如下：
⑴求这次抽样测试数据的平均数、众数和中位数；
⑵根据这一样本数据的特点，你认为该市中考女生“一分钟仰卧起坐”项目测试的合格标准应定为多
少次较为合适？请简要说明理由；
⑶根据⑵中你认为合格的标准，试估计该市中考女生“一分钟仰卧起坐”项目测试的合格率是多少？
【思路点拨】
本题是以统计初步知识在该市怎样定中考女生“一分钟仰卧起坐”项目测试的合格标
准的应用为背景，把制定体育成绩的某项合格指标转化为统计问题，求出了统计中的平均数、众数、中位数.
【答案与解析】
⑴该组数据的平均数
众数为18，中位数为18；
⑵该市中考女生一分钟仰卧起坐项目测试的合格标准应定为 18次较为合适，因为众数及中位数均为18，且50人中达到18次的人数有41人，确定18次能保证大多数人达标；
⑶根据⑵的标准，估计该市中考女生一分钟仰卧起坐项目测试的合格率为 82%.
【总结升华】
确定众数的方法是找该组数据中出现次数最多的数，如果有多个数出现的次数相同,那这些出现次数相同的数都是这组数据的众数；平均数、众数、中位数及其应用，在中考试卷中它们有机地交汇于实际情境中，考查应用意识．
考点二.数据分析
1.基本概念：
总体：把所要考查的对象的全体叫做总体；
个体：把组成总体的每一个考查对象叫做个体；
样本：从总体中取出的一部分个体叫做总体的一个样本；
样本容量：样本中包含的个体的个数叫做样本容量；
频数：在记录实验数据时，每个对象出现的次数称为频数；
频率：每个对象出现的次数与总次数的比值（或者百分比）称为频率；
平均数：在一组数据中，用数据的总和除以数据的总个数就得到这组数据的平均数；
中位数：将一组数据从小到大依次排列，位于正中间位置的数（或正中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数；
众数：在一组数据中，出现频数最多的数叫做这组数据的众数；
极差：一组数据中的最大值减去最小值所得的差称为极差；
方差：我们可以用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果通常称为方差．
计算方差的公式：设一组数据是，是这组数据的平均数。则这组数据的方差是：
标准差：一组数据的方差的算术平方根，叫做这组数据的标准差．
用公式可表示为：
要点诠释：
1．平均数、中位数和众数可以用来概括一组数据的集中趋势.
平均数的优点：平均数的计算过程中用到了一组数据中的每一个数，因此比中位数和众数更灵敏，反映了更多数据的信息.
平均数的缺点：计算较麻烦，而且容易受到极端值的影响.
中位数的优点：计算简单，不容易受到极端值的影响，确定了中位数之后，可以知道小于中位数的数值和大于中位数的数值在这组数据中各占一半.
中位数的缺点：除了中间的值以外，不能反映其他数据的信息.
众数的优点：众数很容易从直方图中获得，它可以清楚地告诉我们：在一组数据中哪个或哪些数值出现的次数最多.
众数的缺点：不能反映众数比其他数出现的次数多多少，而且也丢失了很多其他数据的信息.
2.极差、方差是表示一组数据离散程度的指标.极差就是一组数据中的最大值减去最小值所得的差.它可以反映一组数据的变化范围.极差的不足之处在于只和极端值相关，而方差则弥补了这一不足.方差可以比较全面地反映一组数据相对于平均值的波动情况，只是计算比较复杂.
2.绘制频数分布直方图的步骤
①计算最大值与最小值的差；
②决定组距和组数；
③决定分点；
④画频数分布表；
⑤画出频数分布直方图．
3.加权平均数
在一组数据中，各个数在总结果中所占的百分比称为这个数的权重，每个数乘以它相应的权重后所得的平均数叫做这组数据的加权平均数．
要点诠释：
在通常计算平均数的过程中，各个数据在结果中所占的份量是相等的。而实际情况有时并非如此，如果要区分不同的数据的不同权重，就需要使用加权平均数.当我们改变一组数据中各个数值所占的权重时，这组数据的加权平均数就有可能随之改变.
典例3：某中学随机抽查了50名学生,了解他们一周的课外阅读时间,结果如下表所示:
则这50名学生一周的平均课外阅读时间是 小时.
【解析】 平均数的计算方法是求出所有数据的和,然后除以数据的总个数.
该组数据的平均数为(4×10+5×20+6×15+7×5)÷50=265÷50=5.3(小时).
【答案】 5.3
【误区纠错】 一般的,如果一组数据的权分别为,那么为这n个数的加权平均数.本题易出现的错误是求4,5,6,7这四个数的平均数,对平均数的理解不正确.
考点三、概率
1．概率的定义：一般地，如果在一次实验中，有n种可能结果，并且它们发生的可能性相等，事件A包含其中m种结果，那么事件A发生的概率P(A)= .
2．概率的求法
(1)用列举法
(2)用频率来估计：事件A的概率： 一般地，在大量重复进行同一实验时，事件A发生的频率 ，总是接近于某个常数，在它附近摆动.这个常数叫做事件A的概率，记作P(A).
3.事件
必然事件:那些无需通过实验就能够预先确定它们在每一次实验中都一定会发生的事件称为必然事件．
不可能事件：那些在每一次实验中都一定不会发生的事件称为不可能事件．
随机事件:无法预先确定在一次实验中会不会发生的事件称为不确定事件或随机事件．
要点诠释：
①求一个事件概率的基本方法是通过大量的重复实验；
②当频率在某个常数附近摆动时，这个常数叫做事件A的概率；
③概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值；
④概率反映了随机事件发生的可能性的大小；
⑤必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0，因此0≤P(A)≤1；
⑥必然事件和不可能事件统称为确定事件．
典例4：（2023•盐城）在英文句子“ ！”中，字母“”出现的频数为 3 ．
【分析】求出英语句子中的所有字母的个数以及字母出现的次数，再根据频数的定义进行解答即可．
【解答】解：英文句子“ ！”中共有16个字母，其中有3个，
所以字母“”出现的频数为3．
故答案为：3．
【点评】本题考查频数与频率，理解频数的意义是正确解答的前提．
典例5：如图，4张背面完全相同的纸牌（用①、②、③、④表示），在纸牌的正面分别写有四个不同的条件，小明将这4张纸牌背面朝上洗匀后，先随机摸出一张（不放回），再随机摸出一张．
（1）用树状图（或列表法）表示两次摸牌出现的所有可能结果；
（2）以两次摸出牌上的结果为条件，求能判断四边形ABCD是平行四边形的概率．
【思路点拨】
（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；
（2）由（1）求得能判断四边形ABCD是平行四边形的情况，利用概率公式即可求得答案．
【答案与解析】
（1）画树状图得：
则共有12种等可能的结果；
（2）∵能判断四边形ABCD是平行四边形的有：①②，①③，②①，②④，③①，③④，④②，④③共8种情况，
∴能判断四边形ABCD是平行四边形的概率为：=．
【总结升华】
此题考查的是用列表法或树状图法求概率的知识．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=符合条件的情况数与总情况数之比． 次数
6
12
15
18
20
25
27
30
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36
人数
1
1
7
18
10
5
2
2
1
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时间(小时)
4
5
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人数
10
20
15
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