中考数学 专题06 对角互补模型在三角形中应用（专题练习）

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对角互补模型证明全等三角形，其辅助线的添加非常灵活，尤其是很多全等证明的题目经常和旋转综合考察，作为初二数学中的压轴题型。我们集中讲解旋转综合中常见的模型、题型，希望各位同学能从中收益。
【知识总结】
一、双等边类型

△BCD≌△ACE△ABD≌△ACE△BOE∽△COF
二、双等腰直角类型
△BCD≌△ACE△BCE≌△DCF△ABD∽△ACE
【类型】一、全等型—60º和120º
如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120º，OC平分∠AOB.
则可得到如下几个结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③.
【类型】二、全等型—90º
如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90º，OC平分∠AOB.
则可以得到如下几个结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③.
如图，已知∠DCE的一边与AO的延长线交于点D，∠AOB＝∠DCE＝90º，OC平分∠AOB
则可得到如下几个结论：①CD＝CE，②OE－OD＝OC，③.
【类型】三、全等型—和
如图，已知∠AOB＝，∠DCE＝，OC平分∠AOB.
则可以得到以下结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝2OC·cs，③.
【类型】四、相似型—90º
如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90º，∠BOC＝.
结论：CE＝CD·.
【基础训练】
【类型】一、一般情况
基本条件:△ABC∽△EDC，连接AE、BD后,有△AEC∽△BDC，相似比为AC边与BC边之比。
可见,上面几种有图形中有全等情况出现，只因图形中有边长相等。
1、(直接用双子)如图，直角坐标系中，点A的坐标为(1,0),以线段OA为边在第四象限内作等边△AOB,点C为x正半轴上一动点(OC＞1),连接BC，以线段BC为边在第四象限内作等边△CBD,直线DA交y轴于点E．
(1)△OBC与△ABD全等吗？判断并证明你的结论；
(2)着点C位置的变化，点E的位置是否会发生变化？若没有变化，求出点E的坐标；若有变化，说明理由．
[
2、如图,△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,∠BAC＝∠DAE＝90°,AB＝AC＝2，O为AC中点，若点D在直线BC上运动，连接OE，则在点D运动过程中，线段OE的最小值是为（ ）
A．EQ \F(1,2) B．EQ \F(\R(,2),2) C．1 D．EQ \R(,2)
3、如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°,csC＝ EQ \F(5,6),点D、E分别是边BC、AC的中点，连接DE，将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为θ．当0°≤θ＜360°时EQ , \F(AE,BD)的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明．

（图1） （图2）
【类型】二、旋转构造双子型
此类图的特点在于图形的不完整。一且补全图形,答案即可解出,而方法不仅仅是构造,亦可用旋转,构造与旋转本就可互相代替,但我们常常选用旋转来解决!不过本专题打算用构造的思路去解决!面转的方法读者可自行尝试,图是一样的！
1．如图所示，在四边形ABCD中，AD＝3,CD＝2,∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°,则BD的长为_________．

2、如图，在△ABC中,∠ABC＝60°,AB＝EQ 2 \R(,3),BC＝8，以AC为腰，点A为顶点作等腰△ACD,且∠DAC＝120°,则BD的长为________.
【巩固提升】
1、如图所示，已知△ABC和△BDE均为等边三角形，连接AD、CE，若∠BAD＝39°,那么∠ACE＝_______．
2、如图,△ABC为等边三角形,AB＝2,点D为BC边上的动点,连接AD,以AD为一边向右作等边△ADE,连接CE
(1)在点D从点B运动到点C的过程中,点E运动的路径长为_________;
2)在点D的运动过程中,是否存在∠DEC＝60°,若存在,求出BD的长,若不存在,请说明理由.
(3)取AC中点P,连接PE,在点D的运动过程中,求PE的最小值.
3、在锐角△ABC中，AB＝4,BC＝5,∠ACB＝45°,将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到EQ △A\S\DO(1)BC\S\DO(1)．
（1）如图1，当点EQ C\S\DO(1)在线段CA的延长线上时，求EQ ∠CC\S\DO(1)A\S\DO(1)的度数；
（2）如图2，连接EQ AA\S\DO(1),CC\S\DO(1)．若EQ △ABA\S\DO(1)的面积为4，求EQ △CBC\S\DO(1)的面积；

图1 图2
4、【提出问题】
（1）如图1，在等边△ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等边△AMN,连结CN．求证：BM＝CN．
【类比探究】
（2）如图2，在等边△ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其它条件不变,(1)中结论BM＝CN还成立吗？请说明理由．
【拓展延伸】
（3）如图3，在等腰△ABC中，BA＝BC,AB＝6,AC＝4，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等腰△AMN,使顶角∠AMN＝∠ABC．连结CN．试探究BM与CN的数量关系，并说明理由．
图1 图2 图3
5、如图，正方形ABCD、BGFE边长分别为2、1，正方形BGFE绕点B旋转，直线AE、GC相交于点H．
（1）在正方形BGFE绕点B旋转过程中,∠AHC的大小是否始终为90°,请说明理由；
（2）连接DH、BH，在正方形BGFE绕点B旋转过程中，求DH的最大值；
备用图
6、如图1，已知点A(0,－3)和x轴上的动点C(m,0),△AOB和△BCD都是等边三角形．
（1）在C点运动的过程中，始终有两点的距离等于OC的长度，请将它找出来，并说明理由．
（2）如图2，将△BCD沿CD翻折得△ECD,当点C在x轴上运动时，设点E(x,y),请你用m来表示点E的坐标并求出点E运动时所在图象的解析式．
（3）在C点运动的过程中，当EQ m＞ \R(,3)时，直接写出△ABD是等腰三角形时E点的坐标．
图1 图2
7、【问题探究】
（1）如图1，锐角△ABC中分别以AB、AC为边向外作等腰△ABE和等腰△ACD,使AE＝AB,AD＝AC,∠BAE＝∠CAD,连接BD,CE,试猜想BD与CE的大小关系，并说明理由．
【深入探究】
（2）如图2，四边形ABCD中，AB＝7cm,BC＝3cm,∠ABC＝∠ACD＝∠ADC＝45°,求BD的长．
（3）如图3，在（2）的条件下，当△ACD在线段AC的左侧时，求BD的长．
图1 图2 图3
2、(1)如图1，已知△ABC,以AB、AC为边分别向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE,连接BE、CD，请你完成图形（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），并证明：BE＝CD；
（2）如图2，利用（1）中的方法解决如下问题：在四边形ABCD中，AD＝3,BD＝2,∠ABC＝∠ACB＝∠ADB＝45°,求BD的长；
（3）如图3，四边形ABCD中,∠BAC＝90°,∠ADB＝∠ABC＝α,tanα＝EQ \F(4,3),BD＝5,AD＝12，求BD的长．
图1 图2 图3