中考数学专题练习03 三角形中的导角模型-“8”字模型、“A”字模型与三角板模型

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模型1、“8”字模型

图1 图2
8字模型（基础型）
条件：如图1，AD、BC相交于点O，连接AB、CD；结论：①；②。
8字模型（加角平分线）
条件：如图2，线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD；结论：2∠P=∠B+∠D
例1．（2021·河北·统考中考真题）下图是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为，且，，保持不变．为了舒适，需调整的大小，使，则图中应 （填“增加”或“减少”） 度．
例2．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠K的度数．
例3．（2023·山东德州·八年级校考阶段练习）如图1，已知线段相交于点O，连接，则我们把形如这样的图形称为“8字型”．(1)求证：；(2)如图2，若和的平分线和相交于点P，且与分别相交于点．①若，求的度数；②若角平分线中角的关系改为“”，试探究与之间的数量关系．
例4．（2023春·广东深圳·七年级统考期末）定理：三角形任意两边之和大于第三边．
(1)如图1，线段，交于点，连接，，判断与的大小关系，并说明理由；
(2)如图2，平分，为上任意一点，在，上截取，连接，．求证：；
(3)如图3，在中，，为角平分线上异于端点的一动点，求证：．
例5．（2023春·江苏苏州·七年级校联考期中）阅读：基本图形通常是指能够反映一个或几个定理，或者能够反映图形基本规律的几何图形．这些图形以基本概念、基本事实、定理、常用的数学结论和基本规律为基础，图形简单又具有代表性．在几何问题中，熟练把握和灵活构造基本图形，能更好地帮助我们解决问题．我们将图1①所示的图形称为“8字形”．在这个“8字形”中，存在结论．
我们将图1②所示的凹四边形称为“飞镖形”．在这个“飞镖形”中，存在结论．

(1)直接利用上述基本图形中的任意一种，解决问题：
如图2，、分别平分、，说明：．
(2)将图2看作基本图形，直接利用（1）中的结论解决下列问题：
①如图3，直线平分的外角，平分的外角，若，，求的度数．②在图4中，平分的外角，平分的外角，猜想与、的关系（直接写出结果，无需说明理由）．③在图5中，平分，平分的外角，猜想与、的关系（直接写出结果，无需说明理由）．


模型2、“A”字模型

结论：①∠3+∠4=∠D+∠E ；②∠1+∠2=∠A+180° 。
例1．（2023·浙江·八年级假期作业）如图是某建筑工地上的人字架，若，那么的度数为 ．
例2．（2023·绵阳市·八年级假期作业）如图，中，，直线交于点D，交于点E，则（ ）．
A．B．C．D．
例3．（2022·福建泉州·九年级校考期中）如图，，若，那么（ ）
A．B．C．D．
例4．（2023秋·广西·八年级专题练习）如图所示，的两边上各有一点，连接，求证．
例5．（2023·广东八年级课时练习）如图，已知在中，，现将一块直角三角板放在上，使三角板的两条直角边分别经过点，直角顶点D落在的内部，则（ ）．
A．B．C．D．
例6．（2023秋·河南信阳·八年级校联考期末）（1）如图1，为直角三角形，，若沿图中虚线剪去，则__________；

（2）如图2，在中，，剪去后成为四边形，则__________；
（3）如图2，根据（1）和（2）的求解过程，请归纳与的关系是______________；
（4）若没有剪去，而是将折成如图3的形状，试探究与的关系，并说明理由．
例7．（2022秋·河北邯郸·八年级统考期中）利用“模型”解决几何综合问题往往会取得事半功倍的效果．
几何模型：如图（1），我们称它为“A”型图案，易证明：∠EDF = ∠A + ∠B + ∠C；
应用上面模型解决问题：
(1)如图（2），“五角星”形，求？
分析： 图中是“A”型图，于是，所以= ；
(2)如图（3），“七角星”形，求；
(3)如图（4），“八角星”形，可以求得= ；
模型3、三角板模型
【模型解读】由一副三角板拼凑出的几个图形我们称他们为三角板模型。
图①中：∠A=30°，∠C=60°，图②中：∠A=∠C=45°，
例1．（2023·山西吕梁·联考模拟预测）如图：和是两块直角三角尺，两直角三角尺的斜边AB、DE在同一直线上，其中，，，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
例2．（2023春·安徽·九年级专题练习）将两块直角三角尺按如图摆放，其中，，，若相交于点E，则的大小为（ ）
A．B．C．D．
例3.（2023·陕西咸阳·校考一模）如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点C在的延长线上，点C、F分别为直角顶点，且，，若，则的度数是（ ）

A．15°B．20°C．25°D．30°
例3．（2023·江苏盐城·统考二模）一副三角板如图所示摆放，其中含角的直角三角板的直角顶点在另一个三角板的斜边上，若，则的度数是（ ）

A．B．C．D．
例4．（2023春·陕西渭南·七年级统考期中）如图，，一副直角三角板和如图摆放，，，若，则下列结论：①；②；③；④平分，正确的有 ．（填序号）

例5．（2023春·湖南衡阳·七年级统考期末）一副三角板如图1摆放，，，，点在上，点在上，且平分，现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转（当点落在射线上时停止旋转），设旋转时间为秒．

(1)当______秒时，；当______秒时，；
(2)在旋转过程中，与的交点记为，如图2，若有两个内角相等，求的值；
(3)当边与边、分别交于点、时，如图3，连接，设，，，试问是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由．
课后专项训练
1．（2023·广东江门·八年级校考期中）如下图，的度数为（ ）
A．540°B．500°C．460°D．420°
2．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，已知四边形中，，若沿图中虚线剪去，则等于（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·福建福州·七年级统考期中）如图，将一块直角三角板DEF放置在锐角△ABC上，使得该三角板的两条直角边DE、DF恰好分别经过点B、C，若∠ABC+∠ACB＝120°，则∠ABD+∠ACD的值为( )
A．60°B．50°C．40°D．30°
4．（2023·河北邯郸·统考一模）如图，已知在中，，若沿图中虚线剪去，则的度数是（ ）．
A．B．C．D．
5．（2022秋·河南商丘·八年级统考阶段练习）如图所示，五条线段首尾相连形成的图形中，，则等于（ ）

A．B．C．D．
6．（2023秋·湖北武汉·八年级校联考期中）如图，在由线段组成的平面图形中，，则的度数为（ ）．
A．B．C．D．
7．（2022秋·湖北孝感·八年级统考期中）一副三角板如图所示放置，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
8．（2023秋·海南海口·九年级校考期末）将一个直角三角板与一个直尺按如图所示的方式摆放，若，，，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
9（2022春·广东揭阳·八年级校考期末）探索归纳：
（1）如图1，已知△ABC为直角三角形，∠A=90°，若沿图中虚线剪去∠A，则∠1+∠2= °．
（2）如图2，已知△ABC中，∠A=40°，剪去∠A后成四边形，则∠1+∠2= °．
（3）如图2，根据（1）与（2）的求解过程，请你归纳猜想∠1+∠2与∠A的关系是 ．
10．（2022·安徽·八年级校考期中）如图，若，则 ．

11．（2022秋·四川绵阳·八年级统考期中）如图，已知， ．
12．（2023春·重庆黔江·七年级统考期末）如图，将三角板与三角板摆放在一起；如图，其中，，．固定三角板，将三角板绕点按顺时针方向旋转，记旋转角．

(1)在旋转过程中，当为 度时，；当为 度时，．
(2)当时，连接，利用图探究值的大小变化情况，并说明理由．
13．（2023春·安徽宿州·八年级校联考期中）小明善于用数学的眼光观察生活，从中找到数学研究的乐趣．他用一副三角板拼成了如下两幅图．(1)图1中，的度数是______．(2)①求图1中的度数；②图2中，，求的度数．

14．（2022秋·湖北省直辖县级单位·八年级校联考期中）如图所示，有一块直角三角板足够大，其中，把直角三角板放置在锐角上，三角板的两边、恰好分别经过、．
(1)若，则______，______，______
(2)若，则______．（写出求解过程）
(3)请你猜想一下与所满足的数量关系，并说明理由．
15．（2023·福建南平·八年级统考期末）结论：直角三角形中，的锐角所对的直角边等于斜边的一半.
如图①，我们用几何语言表示如下：

∵在中，，，∴.
你可以利用以上这一结论解决以下问题：如图②，在中，，，，，
（1）求的面积；（2）如图③，射线平分，点从点出发，以每秒1个单位的速度沿着射线的方向运动，过点分别作于，于，于.设点的运动时间为秒，当时，求的值.
16．（2022·广东云浮·九年级校考期中）把一副三角板按如图甲放置，其中，，，斜边，．把三角板绕点顺时针旋转得到（如图乙）．这时与相交于点、与相交于点．
(1)写出 度；(2)线段的长为 ；(3)若把绕着点顺时针旋转得，这时点在的内部、外部、还是边上？说明理由．
17．（2022·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图所示，AB、CD相交于点O，∠A＝48°，∠D＝46°．
(1) 若BE平分∠ABD交CD于F，CE平分∠ACD交AB于G，求∠BEC的度数；
(2) 若直线BM平分∠ABD交CD于F，CM平分∠DCH交直线BF于M，求∠BMC的度数．

18．（2023·广东湛江·八年级统考期中）问题情景：如图①，有一块直角三角板放置在上（点在内），三角板的两条直角边、恰好分别经过点和点．探究与是否存在某种确定的数量关系．

(1)特殊探究：若，则____度，____度，____度；(2)类比探索：请探究与的关系；
(3)类比延伸：如图②，改变直角三角板的位置，使点在外，三角板的两条直角边、仍然分别经过点和点，（2）中的结论是否仍然成立？若不成立，请直接写出你的结论，并说明理由．
19．（2023·安徽淮北·八年级统考期末）如图，在中，，直线分别交的边、和的延长线于点D、E、F．(1)若，则 ．(2)、、有什么数量关系？请说明理由．
20．（2023·山东青岛·八年级校联考期末）阅读材料，回答下列问题：
【材料提出】“八字型”是数学几何的常用模型，通常由一组对顶角所在的两个三角形构成．
【探索研究】探索一：如图1，在八字形中，探索∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系为 ；
探索二：如图2，若∠B＝36°，∠D＝14°，求∠P的度数为 ；
探索三：如图3，CP、AG分别平分∠BCE、∠FAD，AG反向延长线交CP于点P，则∠P、∠B、∠D之间的数量关系为 ．
【模型应用】应用一：如图4，在四边形MNCB中，设∠M＝α，∠N＝β，α+β＞180°，四边形的内角∠MBC与外角∠NCD的角平分线BP，CP相交于点P．则∠A＝ （用含有α和β的代数式表示），∠P＝ ．（用含有α和β的代数式表示）
应用二：如图5，在四边形MNCB中，设∠M＝α，∠N＝β，α+β＜180°，四边形的内角∠MBC与外角∠NCD的角平分线所在的直线相交于点P，∠P＝ ．（用含有α和β的代数式表示）
【拓展延伸】拓展一：如图6，若设∠C＝x，∠B＝y，∠CAP＝∠CAB，∠CDP＝∠CDB，试问∠P与∠C、∠B之间的数量关系为 ．（用x、y表示∠P）
拓展二：如图7，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的邻补角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的关系，直接写出结论 ．