中考数学专题练习05 三角形中的导角模型-双角平分线（三角形）模型

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图1 图2 图3
1）两内角平分线的夹角模型
条件：如图1，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BE，CF交于点G；结论：．
2）两外角平分线的夹角模型
条件：如图2，在△ABC中，BO，CO是△ABC的外角平分线；结论：．
3）一个内角一个外角平分线的夹角模型
条件：如图3，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点P；结论：．

图4 图5 图6
4）凸多边形双内角平分线的夹角模型
条件：如图4，BP、CP平分∠ABC、∠DCB，两条角平分线相交于点P；结论：
5）两内角平分线的夹角模型
条件：如图5，BP、DP平分∠BCD、∠CDE，两条角平分线相交于点P；结论：
6）一个内角一个外角平分线的夹角模型（累计平分线）
条件：如图6，，的平分线相交于点，的平分线相交于点，，的平分线相交于点……以此类推；结论：的度数是．
7）旁心模型
旁心：三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点
条件：如图，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点D；结论：AD平分∠CAD
例1．（2022秋·安徽阜阳·八年级统考期中）如图，在中，点是内一点，且点到三边的距离相等，若，则 ．
例2．（2022·湖北十堰·八年级统考期末）如图，在五边形ABCDE中，，DP，CP分别平分，，则的度数是 ．
例3．（2023·山东济南·校考模拟预测）如图1，在△ABC中，∠BAC的平分线AD与∠BCA的平分线CE交于点O．(1)求证：∠AOC＝90°＋∠ABC；(2)当∠ABC＝90°时，且AO＝3OD（如图2），判断线段AE，CD，AC之间的数量关系，并加以证明．
例4．（2023秋·成都市·八年级专题练习）如图，在中，，三角形两外角的角平分线交于点E，则 ．
例5．（2023·湖北·八年级专题练习）如图，已知在中，、的外角平分线相交于点，若，，求的度数.
例6．（2023·辽宁葫芦岛·八年级统考期中）如图，CD、BD分别平分∠ACE、∠ABC，∠A＝70°，则∠BDC＝（ ）
A．35°B．25°C．70°D．60°
例7．（2022秋·八年级课时练习）如图，和分别是的内角平分线和外角平分线，是的平分线，是的平分线，是的平分线，是的平分线，……以此类推，若，则 ．
例8．（2023春·成都市七年级课时练习）如图在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE为外角∠ACD的平分线，交BO的延长线于点E，记，，则以下结论①，②，③，④，正确的是 ．（把所有正确的结论的序号写在横线上）

例9．（2023秋·广东佛山·八年级校考期末）（1）如图1所示，在中，和的平分线将于点O，则有，请说明理由．
（2）如图2所示，在中，内角的平分线和外角的平分线交于点O，请直接写出与之间的关系，不必说明理由．
（3）如图3所示，AP，BP分别平分，，则有，请说明理由．
（4）如图4所示，AP，BP分别平分，，请直接写出与，之间的关系，不必说明理由．
课后专项训练
1．（2023·成都·八年级月考）如图，的外角的平分线与内角的平分线交于点，若，则
A．B．C．D．
2．（2023秋·绵阳市·八年级专题练习）如图，在中，，，点E在的延长线上，的平分线与的平分线相交于点D，连接，下列结论中不正确的是（ ）

A．B．C．D．
3．（2022春·北京海淀·七年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与y轴在正半轴、x轴正半轴分别交A、B两点，点C在BA的延长线上，AD平分∠CAO，BD平分∠ABO，则∠D的度数是（ ）
A．30°B．45°C．55°D．60°
4．（2022秋·河北张家口·八年级统考阶段练习）如图，点在内，且到三边的距离相等，连接．若，则的度数是（ ）

A．B．C．D．
5．（2022秋·四川绵阳·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠A＝30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D等于（ ）
A．10°B．15°C．20°D．30°
6．（2023春·福建漳州·七年级统考期末）如图，在中，是角平分线，是边上的高，延长与外角的平分线交于点．以下四个结论：①；②；③；④．其中结论正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
7．（2022秋·贵州遵义·八年级校考阶段练习）如图，中，，，的平分线与外角的平分线交于点E，连接，则的度数为 ．
8．（2023春·江苏南通·七年级统考阶段练习）如图，和分别是的内角平分线和外角平分线，是的平分线，是的平分线，是的平分线，是的平分线，若，则 ．
9．（2022秋·北京大兴·八年级统考期末）如图，在中，，的平分线与外角的平分线相交于点M，作的延长线得到射线，作射线，有下面四个结论：
①；②；③射线是的角平分线；④．
所有正确结论的序号是 ．
10．（2023春·河北·七年级专题练习）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，延长BO与∠ACB的外角平分线交于点D，若∠BOC＝130°，则∠D＝
11．（2023·浙江杭州·八年级期末）如图，在四边形中，，的平分线与的平分线交于点，则 ．（用含字母的代数式表示）
12．（2023春·河南·七年级专题练习）如图，点M是△ABC两个内角平分线的交点，点N是△ABC两外角平分线的交点，如果∠CMB：∠CNB＝3：2，那么∠CAB＝ ．
13．（2023·黑龙江八年级课时练习）（1）如图（1）所示，已知在△ABC中，O为∠ABC和∠ACB的平分线BO，CO的交点．试猜想∠BOC和∠A的关系，并说明理由．（2）如图（2）所示，若O为∠ABC的平分线BO和∠ACE的平分线CO的交点，则∠BOC与∠A的关系又该怎样？为什么？
14．（2023·北京昌平·八年级校考阶段练习）认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题.
探究1：如图l，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，通过分析发现∠BOC=90+∠A,理由如下：
∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线
∴∠1=∠ABC, ∠2=∠ACB
∴∠l+∠2=(∠ABC+∠ACB)= (180-∠A)= 90-∠A
∴∠BOC=180-(∠1+∠2) =180-(90-∠A)=90+∠A
(1)探究2；如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由．
(2)探究3：如图3中, O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？（直接写出结论）
(3)拓展：如图4，在四边形ABCD中，O是∠ABC与∠DCB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A+∠D有怎样的关系？（直接写出结论）
15．（2023春·江苏无锡·七年级校考阶段练习）如图1，点A、B分别在射线OM、ON上运动（不与点O重合），AC、BC分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，BC延长线交OM于点G．
（1）若∠MON＝60°，则∠ACG＝ °；若∠MON＝90°，则∠ACG＝ °；
（2）若∠MON＝n°，请求出∠ACG的度数；（用含n的代数式表示）（3）如图2，若∠MON＝n°，过C作直线与AB交于F，若CF∥OA时，求∠BGO－∠ACF的度数．（用含n的代数式表示）．
16．（2023·山西晋城·七年级统考期末）在△ABC中，已知∠A＝α．
（1）如图1，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点D．
①当α＝70°时，∠BDC度数＝ 度（直接写出结果）；
②∠BDC的度数为 （用含α的代数式表示）；
（2）如图2，若∠ABC的平分线与∠ACE角平分线交于点F，求∠BFC的度数（用含α的代数式表示）．
（3）在（2）的条件下，将△FBC以直线BC为对称轴翻折得到△GBC，∠GBC的角平分线与∠GCB的角平分线交于点M（如图3），求∠BMC的度数（用含α的代数式表示）．
17．（2023·江苏连云港·七年级统考期中）在数学学习过程中，对有些具有特殊结构，且结论又具有一般性的数学问题我们常将其作为一个数学模型加以识记，以积累和丰富自己的问题解决经验．
【结论发现】小明在处理教材第43页第21题后发现：三角形的一个内角平分线与另一内角的外角平分线的夹角的度数是三角形第三内角度数的一半．
【结论探究】（1）如图1，在中，点是内角平分线与外角的平分线的交点，则有．请补齐下方的说理过程．
理由如下：因为，
又因为在中，，
所以．
所以______．（理由是：等式性质）
同理可得：______．
又因为和分别是和的角平分线，
所以，______．
所以．
即（）．
所以．
请直接应用上面的“结论发现”解决下列问题：
【简单应用】（2）如图2，在中，．延长至，延长至，已知、的角平分线与的角平分线及其反向延长线交于、，求的度数；
【变式拓展】（3）如图3，四边形的内角与外角的平分线形成如图所示形状．
①已知，，求的度数；②直接写出与的关系．
18．（2023春·江苏南京·七年级期中）（1）问题发现：
如图1，在中，，和的平分线交于，则的度数是______
（2）类比探究：
如图2，在中，的平分线和的外角的角平分线交于，则与的关系是______，并说明理由．
（3）类比延伸：
如图3，在中，外角的角平分线和的外角的角平分线交于，请直接写出与的关系是______．
19．（2023春·河南周口·七年级统考期末）【基本模型】（1）如图1，在中，平分，平分外角，试说明．
【变式应用】（2）如图2，，A，B分别是射线上的两个动点，与的平分线的交点为P，则点A，B的运动的过程中，的大小是否会发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由．
【拓展应用】（3）如图3，，作的平分线，A是射线上的一定点，B是直线上的任意一点（不与点O重合），连接，设的平分线与的邻补角的平分线的交点为P，请直接写出的度数．

20．（2023春·江苏淮安·七年级统考期末）【定义】在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的3倍，我们称这两个角互为“和谐角”，这个三角形叫做“和谐三角形”．例如：在中，，，则与互为“和谐角”，为“和谐三角形”．
【理解】(1)若为和谐三角形，，则这个三角形中最小的内角为______°；
(2)若为和谐三角形，，则这个三角形中最小的内角为______°；
(3)已知是和谐中最小的内角，并且是其中的一个和谐角，试确定的取值范围，并说明理由；
(4)【应用】如图，中，，，交于点F，点D是延长线上一点，，若是和谐中的一个和谐角，设，则______．