中考数学专题练习07 三角形中的重要模型-等积模型

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模型1. 等积变换基础模型
1）等底等高的两个三角形面积相等；
如图1，当//，则； 反之，如果，则可知直线//。

图1 图2 图3
2）两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。
如图2，当点D是BC边上的动点时，则S△ABD∶S△ADC＝BD∶DC。
如图3，当点D是BC边上的动点，BE⊥AD，CF⊥AD时，则S△ABD∶S△ADC＝BE∶CF。
例1．（山东省临沂市2023-2024学年八年级月考）如图，是边的中线，点E在上，，的面积是3，则的面积是（ ）

A．4B．3C．2D．1
【答案】D
【分析】利用三角形面积公式，等高的三角形的面积比等于底边的比，由此利用已知条件可以分别求出．
【详解】解：∵是边的中线，的面积是3，∴，
∵，∴，故选：D．
【点睛】本题考查了三角形面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半；三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
例2．（河北省石家庄市2023-2024学年八年级月考）如图，是的边上的中线，是的边上的中线，是的边上的中线，若的面积是32，则阴影部分的面积是（ ）

A．9B．12C．18D．20
【答案】B
【分析】利用中线等分三角形的面积进行求解即可．
【详解】解：∵是的边上的中线，∴，
∵是的边上的中线，∴，
又∵是的边上的中线，则是的边上的中线，
∴，，
则，故选：B．
【点睛】本题考查了中线的性质，清晰明确三角形之间的等量关系，进行等量代换是解题的关键．
例3．（湖北十堰五校联考2023-2024学年八年级月考）如图，点为的重心，，，分别为，，的中点，具有性质：．已知的面积为2，则的面积为 ．
【答案】12
【分析】根据高相等的两个三角形的面积之比等于底之比可得答案．
【详解】解：，的面积为2，
的面积为4，的面积为，
点为的中点，的面积的面积，
的面积为，故答案为：12．
【点睛】本题主要考查了三角形的重心，三角形的面积等知识，熟练掌握高相等的两个三角形的面积之比等于底之比是解题的关键．
例4．（浙江省杭州市2023-2024学年八年级上学期10月月考数学试题）如图，是的一条中线，E为边上一点且，相交于F，四边形的面积为6，则的面积是 ．

【答案】14.4
【分析】连接, 设则根据为边上中线，可得；根据，可得 进而，的面积可表示为和 由此建立方程解出a的值即可得到的面积.
【详解】解：连接，如图所示：设 则

∵为边上中线，
∵，
，
，
即 解得: . ，故答案为: 14.4.
【点睛】本题考查了三角形面积的计算，关键是利用同底等高的三角形面积相等、等高不同底的三角形面积比为底之比来表示出三角形面积，进而使用方程思想解决问题.
例5．（2023春·江西萍乡·八年级统考期中）基本性质：三角形中线等分三角形的面积．
如图1，是边上的中线，则．
理由：因为是边上的中线，所以．
又因为，，所以．
所以三角形中线等分三角形的面积．
基本应用：
在如图2至图4中，的面积为a．
(1)如图2，延长的边到点D，使，连接．若的面积为，则 （用含a的代数式表示）；
(2)如图3，延长的边到点D，延长边到点E，使，，连接．若的面积为，则 （用含a的代数式表示）；
(3)在图3的基础上延长到点F，使，连接，，得到（如图4）．若阴影部分的面积为，则 （用含a的代数式表示）；
拓展应用：
(4)如图5，点D是的边上任意一点，点E，F分别是线段，的中点，且的面积为，则的面积为 （用含a的代数式表示），并写出理由．
【答案】(1)a (2)2a (3)6a (4)2a，见解析
【分析】（1）直接根据“等底同高的三角形面积相等”即可得出答案；
（2）连接，运用“等底同高的三角形面积相等”得出，即可得解；
（3）由（2）结论即可得出，从而得解；
（4）点E是线段的中点，可得，．．点F是线段的中点，可得．从而可得答案．
【详解】（1）解：如图2，延长的边到点，使，
为的中线，即；
（2）如图3，连接，

延长的边到点，延长边到点，使，，
，，，即；
（3）由（2）得，
同理：，，；
（4），理由如下：理由：∵点E是线段的中点，
∴，．∴．
∵点F是线段的中点，∴．∴．
【点睛】此题考查了阅读与理解：三角形中线的性质，等底同高的三角形面积相等，灵活运用这个结论并适当添加辅助线是解答此题的关键．
例6．（2023春·上海·九年级期中）解答下列各题
(1)如图1，已知直线，点、在直线上，点、在直线上，当点在直线上移动时，总有______与的面积相等．

(2)解答下题．①如图2，在中，已知，且边上的高为5，若过作，连接、，则的面积为______．
②如图3，、、三点在同一直线上， ，垂足为．若，，，，求的面积．
(3)如图4，在四边形中，与不平行，，且，过点画一条直线平分四边形的面积（简单说明理由）．
【答案】(1)(2)①15；②(3)图见解析，理由见解析
【分析】（1）根据，可得和同底等高，即可求解；
（2）①先求出，再由，可得△ABC和△BAE是同底等高的两个三角形，即可求解；
②先求出=，再由，，可得AC∥BF，从而得到，即可求解；（3）过点B作BE∥AC交DC延长线于点E，连接AE，取DE的中点F，作直线AF，则直线AF即为所求，可得，从而得到，即可求解．
【详解】（1）解：∵，∴和同底等高，则与的面积相等；
（2）解：①∵，且边上的高为5，∴，
∵，∴△ABC和△BAE是同底等高的两个三角形，∴；
②∵，，，∴，
∵，，
∴，，
∴∠EBG=120°， ∴∠EBF=60°，∴∠EBF=∠BAC，∴AC∥BF，∴；
（3）解： 如图，过点B作BE∥AC交DC延长线于点E，连接AE，取DE的中点F，作直线AF，则直线AF即为所求，理由如下：
∵BE∥AC，∴△ABC和△AEC的公共边AC上的高也相等，
∴，∴，
∴，∵，
∴所以面积等分线必与CD相交，取DE中点F，则直线AF即为要求作的四边形ABCD的面积等分线．
【点睛】本题主要考查了平行的性质，熟练掌握两平行线间的距离处处相等，并利用类比思想解答是解题的关键．
模型2.蝴蝶（风筝）模型
蝴蝶模型（定理）提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。

蝴蝶定理：任意四边形中的比例关系
如图1，结论：①或；②。
梯形蝴蝶定理：梯形中比例关系
如图2，结论：①；②；③梯形的对应份数为。
例1．在四边形ABCD中，AC和BD互相垂直并相交于O点，四个小三角形的面积如图所示．则阴影部分三角形BCO的面积为 ．
【答案】45
【详解】设阴影部分面积为x。
根据蝴蝶（风筝）定理：
即：20：x=16：36 解得：x=45
估阴影部分的面积为45.
例2、如图，S△ACB＝24平方厘米，S△ACD＝16平方厘米，S△ABD＝25平方厘米，则S△COB为 平方厘米。
【答案】9平方厘米
【解析】在四边形ABCD中，根据蝴蝶（风筝）模型得：DO：BO＝S△ACD：S△ACB＝16：24＝2：3，
则S△AOB＝S△ABD＝×25＝15（平方厘米），则S△COB＝S△ACB—S△AOB＝24—15＝9（平方厘米）
例3、如下图，梯形的平行于，对角线，交于，已知与的面积分别为 平方厘米与平方厘米，那么梯形的面积是________平方厘米．

【答案】144平方厘米
【解析】根据梯形蝴蝶定理，，可得，
再根据梯形蝴蝶定理，，所以(平方厘米)．
那么梯形的面积为(平方厘米)．
例4、如图，梯形中，、的面积分别为和，则梯形的面积为 ．
【答案】7.5
【解析】根据梯形蝴蝶定理，，所以，
，，
．
例5、梯形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AB垂直AC，并且已知AO＝6厘米，BO＝10厘米，则三角形DOC的面积是 平方厘米。
【答案】24平方厘米
【解析】在梯形ABCD中，根据蝴蝶定理得：S△DOC＝S△AOB
在直角三角形AOB中，根据勾股定理得：AB2＝OB2—OA2＝102—62＝64＝82，所以AB＝8
所以S△DOC＝S△AOB＝6×8÷2＝24（平方厘米）
例6、图中大平行四边形被分成若干小块，其中四块的面积已经标出，则中间的四边形GQHS的面积为 。
【答案】17
【解析】如下图，连接EF、GH和IJ
在平行四边形ABEF中，根据蝴蝶模型得：S△ABP＝S△EPF＝6，
在平行四边形EFGH中，S△EQF＝S△GQH＝13—6＝7；
在平行四边形IDCJ中，S△DCT＝S△IJT＝5，
在平行四边形GIJH中，S△GSH＝S△ISJ＝15—5＝10，
所以S四边形GQHS＝S△GQH＋S△ISJ＝7＋10＝17
模型3.燕尾（定理）模型
条件：如图，在中，E分别是上的点，在上一点，结论：S1S2S3S4S1+S3S2+S4BEEC。
例1、如图，△ABC中，M、N分别是BC、AC边上的三等分点，AM、BN相交于点O，已知△BOM的面积为2，则四边形MCNO的面积为 。
【答案】8
【解析】如图，连接OC
由“燕尾定理”可得：,
所以可得
所以,所以四边形MCNO的面积为8.
例2．（2023·山东·八年级专题练习）如图，在△ABC中，已知点P、Q分别在边AC、BC上，BP与AQ相交于点O，若△BOQ、△ABO、△APO的面积分别为1、2、3，则△PQC的面积为（ ）
A．22B．22.5C．23D．23.5
【答案】B
【分析】连接CO，根据△BOQ、△ABO、△APO的面积分别为1、2、3，求出S△POQ=1.5，设S△OPC=x，S△COQ=y，仍然利用△BOQ、△ABO、△APO的面积分别为1、2、3，列出关于x、y的方程组，解得x、y的值，然后利用S△QPC=S△OPC+S△COQ-S△POQ即可求出答案．
【详解】连接CO，
∵△BOQ、△ABO、△APO的面积分别为1、2、3，
∴，，∴S△POQ=1.5，
设S△OPC=x，S△COQ=y，则，解得，
S△QPC=S△OPC+S△COQ-S△POQ=15+9-1.5=22.5．故选B．
【点睛】本题考查三角形面积的相关知识点，解题的关键是熟练的掌握三角形关于面积的相关知识与运算.
例3．如下图，三角形中，，且三角形的面积是，则三角形的面积为 ．
【答案】19
【详解】连接BG，份
根据燕尾定理，，
得(份)，(份)，则(份)，因此,
同理连接AI、CH得,,所以
三角形GHI的面积是1，所以三角形ABC的面积是19
例4．（2023江苏淮安九年级月考）已知的面积是60，请完成下列问题：
(1)如图1，若是的边上的中线，则的面积______的面积．（填“>”“