中考数学专题练习08 三角形中的重要模型-平分平行（平分射影）构等腰、角平分线第二定理模型

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角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各大模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，，本专题就角平分线的非全等类模型作相应的总结，需学生反复掌握。
平分平行（射影）构等腰模型、角平行线第二定理模型（内角平分线定理和外角平分线定理模型）
模型1、平分平行（射影）构等腰
1）角平分线加平行线必出等腰三角形．
模型分析：由平行线得到内错角相等，由角平分线得到相等的角，等量代换进行解题．平行线、角平分线及等腰，任意由其中两个条件都可以得出第三个。 （简称：“知二求一”，在以后还会遇到很多类似总结）。
平行四边形中的翻折问题就常出现该类模型。

图1 图2 图3
条件：如图1，OO’平分∠MON，过OO’的一点P作PQ//ON. 结论：△OPQ是等腰三角形。
条件：如图2，△ABC中，BD是 ∠ ABC的角平分线，DE ∥ BC。结论：△BDE是等腰三角形。
条件：如图3，在中，平分，平分，过点O作的平行线与，分别相交于点M，N．结论：△BOM、△CON都是等腰三角形。
2）角平分线加射影模型必出等腰三角形．
→
图4
条件：如图4，BE平分∠CBA，∠ACB＝∠CDA＝90°. 结论：三角形CEF是等腰三角形。
例1．（2023·河南濮阳·统考二模）如图，直线，点、分别在、上，以点为圆心，适当长为半径画弧，交、于点、；分别以、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点；作射线交于点．若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
例2．（2023.湖南长沙八年级期中）如图，点O为△ABC的∠ABC和∠ACB的平分线的交点，OD // AB交BC于点D， OE // AC交BC于点E．若AB=5 cm，BC=10 cm，AC=9 cm，则△ODE的周长为( )
A．10 cmB．9 cmC．8 cmD．5 cm
例3．（2023·广东·八年级期末）如图，▱ABCD中，AB＝3cm，BC＝5cm，BE平分∠ABC交AD于E点，CF平分∠BCD交AD于F点，则EF的长为 cm．
例4.（2023.成都市青羊区八年级期中）如图，在中，，于点D，的平分线BE交AD于F，交AC于E，若，，则_____________．
例5．（2023.山东八年级期末）如图①，△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于E、F.(1)图①中有几个等腰三角形?猜想:EF与BE、CF之间有怎样的关系.
(2)如图②,若AB≠AC，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗?如果有，分别指出它们.在第(1)问中EF与BE、CF间的关系还存在吗?(3)如图③，若△ABC中∠B的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O，过O点作OE∥BC交AB于E，交AC于F.这时图中还有等腰三角形吗?EF与BE、CF关系又如何?说明你的理由.
模型2、角平行线第二定理（内角平分线定理和外角平分线定理）模型
1）内角平分线定理

图1 图2 图3
条件：如图1，在△ABC中，若AD是∠BAC的平分线。 结论：
2）外角平分线定理
条件：如图2，在△ABC中，∠BAC的外角平分线交BC的延长线于点D。 结论：．
3）奔驰模型
条件：如图3，的三边、、的长分别是a，b，c，其三条角平分线交于点O，将分为三个三角形。结论：=c：a：b。
例1．（2022秋·山东菏泽·八年级统考期中）如图，在中，，，，是的平分线，设和的面积分别是，，则 ．
例2．（2023·广东惠州·八年级校考阶段练习）如图，的三边，，长分别是3，4，5，其三条角平分线将分为三个三角形，则为（ ）

A．B．C．D．
例3．（2022春·江苏·九年级专题练习）请阅读以下材料，并完成相应的问题：
角平分线分线段成比例定理，如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，则．
下面是这个定理的部分证明过程．
证明：如图2，过点C作．交BA的延长线于点E．…
任务：(1)请按照上面的证明思路，写出该证明过程的剩余部分；
(2)如图3，已知Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，AD平分∠BAC，求△ABD的周长．
例4、△ABC中，∠BAC的外角平分线交BC的延长线于点D，求证：．
例5.（2022秋·北京·八年级北京八十中校考期中）在中，D是边上的点（不与点B、C重合），连接．(1)如图1，当点D是边的中点时，_____；(2)如图2，当平分时，若，，求的值（用含m、n的式子表示）；(3)如图3，平分，延长到E．使得，连接，若，求的值．
课后专项训练
1．（2023春·山东淄博·九年级校考期中）如图，中，，点I为各内角平分线的交点，过I点作的垂线，垂足为H，若，，，那么的值为（ ）
A．1B．C．2D．
2．（2023春·湖南岳阳·八年级统考期末）如图，是的角平分线，相交于点于，，下列四个结论：①；②；③若的周长为，则；④若，则．其中正确的结论有（ ）个．

A．B．C．D．
3．（2023秋·四川南充·八年级校考期末）如图，内角和外角的平分线交于点，交于点，过点作交于点，交于点，连接，有以下结论；①；②；③若，则；④；⑤．其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．（2022秋·江苏宿迁·八年级校考期末）如图，在中，，垂足为D，平分，交于点E，交于点F．若，则的长为（ ）
A．B．3C．D．
5．（2023春·四川达州·八年级校考阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F，则下列结论成立的是（ ）

A．EC＝EFB．FE＝FCC．CE＝CFD．CE＝CF＝EF
6．（2023·贵州·中考模拟）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MNBC交AB于M，交AC于N，若BM+CN=9，则线段MN的长为（ ）
A．6B．7C．8D．9
7．（2023·河南开封·统考模拟预测）如图，在中，，，以为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点和，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，以下结论错误的是（ ）
A．是的平分线B．
C．点在线段的垂直平分线上D．
8．（2023·江苏扬州·九年级校联考期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F．若AC＝6，AB＝10，则DE的长为（ ）
A．B．3C．D．
9．（2023·北京顺义·统考二模）如图，在中，，分别是，的平分线，过点D作，分别交，于点E，F．若，，则的长为 ．
10．（2023春·陕西咸阳·八年级咸阳市秦都中学校考阶段练习）如图，在中，，点为的边上一点，点分别在边上，连接，若，则的度数为 ．

11．（2023秋·安徽滁州·八年级统考期末）中，D是边上的点（不与点B，C重合），连接．

（1）如图1，当平分时，若，，则 ；（2）如图2，平分，延长到E，使得，连接，如果，，，则 .
12.（2023.广东九年级期中）如图所示，在△ABC中，BC =6，E、F分别是AB、AC的中点，动点P在射线EF上，BP交CE于D，∠CBP的平分线交CE于Q，当CQ =CE时，EP+BP =________.

13．（2023春·山东淄博·七年级统考期末）如图，在中，，是斜边上的高，的平分线交于点，交于点．(1)求证：是等腰三角形．(2)若，．求的长度．

14．（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，在中，，是边上的高，是的角平分线，与交于点，求证：是等腰三角形．

15．（2023广东江门八年级月考）（1）如图1，已知，在中，，平分，平分，过点作，分别交、于、两点，则图中共有________个等腰三角形：与、之间的数量关系是________，的周长是________．
（2）如图2，若将（1）中“中，”改为“若为不等边三角形，，”其余条件不变，则图中共有________个等腰三角形；与、之间的数量关系是什么？证明你的结论，并求出的周长．
（3）已知：如图3，在外，，且平分，平分的外角，过点作，分别交、于、两点，则与、之间又有何数量关系呢？写出结论并证明．
16.（2022秋·福建厦门·八年级厦门市湖里中学校考期中）如图，为的角平分线．
（1）如图1，若于点，交于点，，．则________；
（2）如图2，若，，的面积是10，求的面积；
（3）如图3，若，，，请直接写出的长（用含，的式子表示）
17．（2023·湖南长沙·统考二模）如图，，按照下列步骤作图：
①以点A为圆心，小于的长为半径画弧，分别交、于E、F两点；
②分别以E、F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P；③作射线，交于点M．
(1)试根据作图过程，说明是的平分线的理由；(2)若，求的度数．
18．（2023·宁夏石嘴山·统考一模）爱动脑筋的小明同学在学习完角平分线的性质一节后意犹未尽经过思考发现里面还有一个有趣的结论：
(1)【问题发现】如图1所示，若是的角平分线，可得到结论：．
小明的解法如下：过点D作于点E，于点F，过点A作于点G，
∵是的角平分线，且，，
∴ ，
，
∵，∴
(2)【类比探究】如图2所示，若是的外角平分线，与的延长线交于点D．求证：．
(3)【直接应用】如图3所示，中，，是交于D，若，，在不添加辅助线的情况下直接写出 ．
(4)【拓展应用】如图4所示，在中，，，，将先沿的平分线折叠，B点刚好落在上的E点，剪掉重叠部分（即四边形ABDE），再将余下部分（）沿的平分线折叠，再剪掉重叠部分（即四边形DEGF），求出剩余部分的面积．

19．（2023·河南驻马店·校考三模）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．
《数学的发现》是2006年科学出版社出版的图书，作者是（美）乔治·波利亚．本书通过对各种类型生动而有趣的典型问题（有些是非数学的））进行细致剖析，提出它们的本质特征，从而总结出各种数学模型．
共高三角形：有一条公共高的三角形称为共高三角形．
共高定理：如图①，设点M在直线上，点P为直线外一点，则有
下面是该结论的证明过程：证明：如图①，过点P作于点Q，
．．．．．．
按要求完成下列任务：
(1)请你按照以上证明思路，结合图①完成剩余的证明；
(2)如图②，，①画出的平分线（不写画法，保留作图痕迹，使用2B铅笔作图）；
②若的平分线交于D，求证：；(3)如图③，E是平行四边形边上一点，连接并延长，交的延长线于点F，连接，若的面积为2，则的面积为 ；
20．（2023·安徽合肥·九年级校考阶段练习）阅读下列材料，完成相应的学习任务：
已知角平分线分线段成比例定理内容：三角形内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例，如图①，在△ABC中，AD平分∠BAC，则．下面是这个定理的部分证明过程．
(1)证明：如图②，过C作CE∥DA，交BA的延长线于E．请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分．
(2)你还有其他的证明方法么？如果有，另外写出一个完整的证明过程。