中考数学专题练习13 全等模型-倍长中线与截长补短模型

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模型1.倍长中线模型
【模型解读】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．（注：一般都是原题已经有中线时用，不太会有自己画中线的时候）。
【常见模型及证法】
1、基本型：如图1，在三角形ABC中，AD为BC边上的中线.
证明思路：延长AD至点E，使得AD=DE. 若连结BE，则；若连结EC，则；
2、中点型:如图2，为的中点.
证明思路：若延长至点，使得，连结，则;
若延长至点，使得，连结，则.
3、中点+平行线型：如图3, ，点为线段的中点.
证明思路：延长交于点 (或交延长线于点)，则.
例1．（2023·江苏徐州·模拟预测）（1）阅读理解：
如图①，在中，若，，求边上的中线的取值范围．
可以用如下方法：将绕着点逆时针旋转得到，在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是______；
（2）问题解决：如图②，在中，是边上的中点，于点，交于点，交于点，连接，求证：；
（3）问题拓展：如图③，在四边形中，，，，以为顶点作一个的角，角的两边分别交、于、两点，连接，探索线段，，之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）；（2）见详解；（3），理由见详解
【分析】（1）根据旋转的性质可证明，，在中根据三角形三边关系即可得出答案；（2）延长FD至M，使DF=DM，连接BM，EM，可得出，根据垂直平分线的性质可得出，利用三角形三边关系即可得出结论；
（3）延长AB至N，使BN=DF，连接CN，可得，证明，得出，利用角的和差关系可推出，再证明，得出，即可得出结论．
【详解】解：（1）∵
∴∴
在中根据三角形三边关系可得出：，即
∴故答案为：；
（2）延长FD至M，使DF=DM，连接BM，EM，

同（1）可得出，∵∴
在中，∴；
（3），理由如下：延长AB至N，使BN=DF，连接CN，
∵∴
∴∴
∵∴
∴（SAS）∴
∴∴．
【点睛】本题考查的知识点有旋转的性质、全等三角形的判定及性质、线段垂直平分线的性质、三角形三边关系、角的和差等，解答此题的关键是作出辅助线，构造出与图①中结构相关的图形．此题结构精巧，考查范围广，综合性强．
例2．（2023·贵州毕节·二模）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
(1)如图1，△ABC中，若AB=5，AC=3，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE=AD，请根据小明的方法思考帮小明完成解答过程．
(2)如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC干E，交AD于F，且AE=EF．请判昕AC与BF的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析(2)AC=BF，理由见解析
【解析】（1）解：如图，延长AD到点E，使DE=AD，连接BE，
在△ADC和△EDB中∵，∴△ADC≌△EDB（SAS）．∴BE=AC=3．
∵AB-BE