中考数学专题练习19 相似三角形重要模型之（双）A字型与（双）8字型

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A字型和8 (X )字型的应用难点在于过分割点(将线段分割的点)作平行线构造模型，有的是直接作平行线，有的是间接作平行线(倍长中线就可以理解为一种间接作平行线) ， 这一点在模考中无论小题还是大题都是屡见不鲜的。
模型1. “A”字模型
【模型解读与图示】
“A”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似．

图1 图2 图3
1）“A”字模型 条件：如图1，DE∥BC；结论：△ADE∽△ABC⇔eq \f(AD,AB)＝eq \f(AE,AC)＝eq \f(DE,BC).
2）反“A”字模型 条件：如图2，∠AED＝∠B；结论：△ADE∽△ACB⇔eq \f(AD,AC)＝eq \f(AE,AB)＝eq \f(DE,BC).
3）同向双“A”字模型
条件：如图3，EF∥BC；结论：△AEF∽△ABC，△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC⇔
例1．（2023·湖北十堰·统考中考真题）如图，在菱形中，点E，F，G，H分别是，
，，上的点，且，若菱形的面积等于24，，则 ．

【答案】6
【分析】连接，交于点O，由题意易得，，，，则有，然后可得，设，则有，进而根据相似三角形的性质可进行求解．
【详解】解：连接，交于点O，如图所示：

∵四边形是菱形，，∴，，，，
∵，∴，∴，∴，
∵，∴，∴，∴，同理可得，
设，则有，
∵，∴，∴，即，∴，
同理可得，即，∴，∴；故答案为6．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定及菱形的性质，熟练掌握菱形的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键．
例2．（2023·安徽·九年级期末）如图，在三角形中，点D、E分别在边、上，，，，．(1)求证：；(2)若的平分线交于点F，交于点G，求．

【答案】(1)见解析(2)
【分析】（1）证明，，可得，结合，从而可得结论；
（2）由（1）可得，可得，证明，可得，再利用相似三角形的性质可得答案．
【详解】（1）解：∵，，，，
∴，．∴，，∴，
又∵，∴，∴．
（2）由（1）可得，∴，又∵平分，∴，
∴，∴，∴．
【点睛】本题考查的是角平分线的定义，相似三角形的判定与性质，相似三角形的判定方法是解本题关键．
例3．（2022·山东东营·中考真题）如图，在中，点F、G在上，点E、H分别在、上，四边形是矩形，是的高．，那么的长为____________．
【答案】##4.8
【分析】通过四边形EFGH为矩形推出，因此△AEH与△ABC两个三角形相似，将AM视为△AEH的高，可得出，再将数据代入即可得出答案．
【详解】∵四边形EFGH是矩形，∴，∴，
∵AM和AD分别是△AEH和△ABC的高，
∴，∴，
∵，代入可得：，解得，
∴，故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质及矩形的性质，灵活运用相似三角形的性质是本题的关键．
例4．（2022·浙江宁波·中考真题）(1)如图1，在中，D，E，F分别为上的点，交于点G，求证：．
(2)如图2，在（1）的条件下，连接．若，求的值．
(3)如图3，在中，与交于点O，E为上一点，交于点G，交于点F．若平分，求的长．
【答案】(1)证明见详解(2)(3)
【分析】（1）利用，证明，利用相似比即可证明此问；
（2）由（1）得，，得出是等腰三角形，利用三角形相似即可求出 的值；
（3）遵循第（1）、（2）小问的思路，延长交于点M，连接，作，垂足为N．构造出等腰三角形、含30°、45°角的特殊直角三角形，求出、的值，即可得出的长．
(1)解：∵，∴，
∴，∴．∵，∴．
(2)解：由（1）得，∵，∴．
∵，∴．∵，∴．∴．
(3)解：如图，延长交于点M，连接，作，垂足为N．
在中，．∵，∴由（1）得，
∵，∴，∴．
∵，∴，∴．
∵平分，∴，∴．
∴．在中，．
∵，∴，∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质及判定、等腰三角形的性质及判定、解特殊的直角三角形等知识，遵循构第（1）、（2）小问的思路，构造出等腰三角形和特殊的直角三角形是解决本题的关键．
例5. （2023•安庆一模）如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边BC、AB、CA上，且DE∥CA，DF∥AB．（1）若点D是边BC的中点，且BE＝CF，求证：DE＝DF；（2）若AD⊥BC于D，且BD＝CD，求证：四边形AEDF是菱形；（3）若AE＝AF＝1，求+的值．
【分析】（1）根据中点和平行两个条件可得中点，从而可得DE是△ABC的中位线，进而可得DE＝FC，同理可得DF＝BE，即可解答；（2）根据已知易证四边形AEDF是平行四边形，再利用等腰三角形的三线合一性质可得∠BAD＝∠CAD，然后利用平行线的性质可得∠EDA＝∠CAD，从而可得∠BAD＝∠EDA，进而可得EA＝ED，即可解答；（3）根据A字模型相似三角形可知△BED∽△BAC，△CDF∽△CBA，从而可得＝，＝，然后把两个式子相加进行计算，即可解答．
【解答】（1）证明：∵点D是边BC的中点，DE∥CA，
∴点E是AB的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝AC，
∵点D是边BC的中点，DF∥AB，∴点F是AC的中点，
∴FC＝AC，∴DE＝FC，同理可得：DF＝BE，∵BE＝FC，∴DE＝DF；
（2）证明：∵DE∥CA，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形，
∵AD⊥BC，BD＝CD，∴AD是BC的垂直平分线，
∴AB＝AC，∴∠BAD＝∠CAD，∵DE∥AC，∴∠EDA＝∠CAD，
∴∠BAD＝∠EDA，∴EA＝ED，∴四边形AEDF是菱形；
（3）∵DE∥CA，∴∠EDB＝∠C，
∵∠B＝∠B，∴△BED∽△BAC，∴＝，∵DF∥AB，∴∠B＝∠FDC，
∵∠C＝∠C，∴△CDF∽△CBA，∴＝，∴+＝+＝＝1，
∵四边形AEDF是平行四边形，∴DE＝AF，DF＝AE，
∵AE＝AF＝1，∴DE＝DF＝1，∴+＝1，∴+的值为1．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，分式的化简求值，菱形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定与性质，以及A字模型相似三角形的关键．
模型2. “X”字模型（“8”模型）
【模型解读与图示】
“8”字模型图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似．

图1 图2 图3 图4
1）“8”字模型
条件：如图1，AB∥CD；结论：△AOB∽△COD⇔eq \f(AB,CD)＝eq \f(OA,OC)＝eq \f(OB,OD).
2）反“8”字模型
条件：如图2，∠A＝∠D；结论：△AOB∽△DOC⇔eq \f(AB,CD)＝eq \f(OA,OD)＝eq \f(OB,OC).
3）平行双“8”字模型
条件：如图3，AB∥CD；结论：
4）斜双“8”字模型
条件：如图4，∠1＝∠2；结论：△AOD∽△BOC，△AOB∽△DOC⇔∠3＝∠4.
例1．（2022·辽宁·中考真题）如图，在正方形中，E为的中点，连接交于点F．若，则的面积为___________．
【答案】3
【分析】由正方形的性质可知，，则有，然后可得，进而问题可求解．
【详解】解：∵四边形是正方形，，
∴，，∴，∴，
∵E为的中点，∴，
∴，，∴，∴；故答案为3．
【点睛】本题主要考查正方形的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握正方形的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键．
例2．（2023·黑龙江·哈尔滨九年级阶段练习）如图，，，分别交于点G，H，则下列结论中错误的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据平行线分线段成比例和相似三角形的性质与判定，进行逐一判断即可．
【详解】解：∵AB∥CD∴，∴A选项正确，不符合题目要求；
∵AE∥DF，∴∠CGE=∠CHD，∠CEG=∠D，∴△CEG∽△CDH，∴，∴，
∵AB∥CD，∴，∴，∴，∴，∴B选项正确，不符合题目要求；
∵AB∥CD，AE∥DF，∴四边形AEDF是平行四边形，∴AF=DE，
∵AE∥DF∴，∴； ∴C选项正确，不符合题目要求；
∵AE∥DF，∴△BFH∽△BAG，∴，
∵AB＞FA，∴∴D选项不正确，符合题目要求． 故选D．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质和判定的应用，能根据定理得出比例式是解此题的关键．
例3．（2021·上海·中考真题）如图，在梯形中，是对角线的中点，联结并延长交边或边于E．
（1）当点E在边上时，①求证：；②若，求的值；
（2）若，求的长．
【答案】（1）①见解析；②；（2）或
【分析】（1）①根据已知条件、平行线性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可推导，，由此可得；
②若，那么在中，由．可得，作于H．设，那么．根据所对直角边是斜边的一半可知，由此可得的值．
（2）①当点E在上时，可得四边形是矩形，设，在和中，根据，列方程求解即可．
②当点E在上时，设，由，得，所以，所以；由得，所以，解出x的值即可．
【详解】（1）①由，得．
由，得．
因为是斜边上的中线，所以．所以．
所以．所以．
②若，那么在中，由．可得．
作于H．设，那么．
在中，，所以．
所以．所以．
（2）①如图5，当点E在上时，由是的中点，可得，
所以四边形是平行四边形．又因为，所以四边形是矩形，
设，已知，所以．已知，所以．
在和中，根据，列方程．
解得，或（ 舍去负值）．
②如图6，当点E在上时，设，已知，所以．
设，已知，那么．
一方面，由，得，所以，所以，
另一方面，由是公共角，得．
所以，所以．
等量代换，得．由，得．
将代入，整理，得．
解得，或（舍去负值）．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，斜边上的中线，勾股定理等，能够运用相似三角形边的关系列方程是解题的关键．
例4．（2022·贵州铜仁·中考真题）如图，在四边形中，对角线与相交于点O，记的面积为，的面积为．（1）问题解决：如图①，若AB//CD，求证：
（2）探索推广：如图②，若与不平行，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展应用：如图③，在上取一点E，使，过点E作交于点F，点H为的中点，交于点G，且，若，求值．
【答案】（1）见解析；（2）（1）中的结论成立，理由见解析：（3）
【分析】（1）如图所示，过点D作AE⊥AC于E，过点B作BF⊥AC于F，求出，然后根据三角形面积公式求解即可；
（2）同（1）求解即可；
（3）如图所示，过点A作交OB于M，取BM中点N，连接HN，先证明△OEF≌△OCD，得到OD=OF，证明△OEF∽△OAM，得到，设，则，证明△OGF∽△OHN，推出，，则，由（2）结论求解即可．
【详解】解：（1）如图所示，过点D作AE⊥AC于E，过点B作BF⊥AC于F，
∴，∴，
，
∵∠DOE=∠BOF，∴；∴；

（2）（1）中的结论成立，理由如下：如图所示，过点D作AE⊥AC于E，过点B作BF⊥AC于F，
∴，∴，
，
∵∠DOE=∠BOF，∴；∴；
（3）如图所示，过点A作交OB于M，取BM中点N，连接HN，
∵，∴∠ODC=∠OFE，∠OCD=∠OEF，
又∵OE=OC，∴△OEF≌△OCD（AAS），∴OD=OF，
∵，∴△OEF∽△OAM，∴，
设，则，
∵H是AB的中点，N是BM的中点，∴HN是△ABM的中位线，
∴，∴△OGF∽△OHN，∴，
∵OG=2GH，∴，∴，
∴，，∴，
由（2）可知．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角形中位线定理，正确作出辅助线是解题的关键．
模型3. “AX”字模型（“A8”模型）
【模型解读与图示】

图1 图2 图3
1）一“A”一“8”模型
条件：如图1，DE∥BC；结论：△ADE∽△ABC，△DEF∽△CBF⇔
2）两“A”一“8”模型
条件：如图2，DE∥AF∥BC；结论：.
3）四“A”一“8”模型
条件：如图3，DE∥AF∥BC,；结论：AF=AG
例1．（2022·山东东营·中考真题）如图，点D为边上任一点，交于点E，连接相交于点F，则下列等式中不成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据平行线分线段成比例定理即可判断A，根据相似三角形的性质即可判断B、C、D．
【详解】解：∵，
∴，△DEF∽△CBF，△ADE∽△ABC，故A不符合题意；
∴，，故B不符合题意，C符合题意；
∴，故D不符合题意；故选C．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比例定理，熟知相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比例定理是解题的关键．
例2．（2021·江苏南京·中考真题）如图，与交于点O，，E为延长线上一点，过点E作，交的延长线于点F．
（1）求证；（2）若，求的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【分析】（1）直接利用“AAS”判定两三角形全等即可；
（2）先分别求出BE和DC的长，再利用相似三角形的判定与性质进行计算即可．
【详解】解：（1）∵，
又∵，∴；
（2）∵，
∴，，
∵，∴，∴，
∴，∴，∴的长为．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线分线段成比例的推论、相似三角形的判定与性质等，解决本题的关键是牢记相关概念与公式，能结合图形建立线段之间的关联等，本题较基础，考查了学生的几何语言表达和对基础知识的掌握与应用等．
例3. （2022·重庆九年级期中）如图，AD与BC相交于点E，点F在BD上，且AB∥EF∥CD，
求证：eq \f(1,AB)＋eq \f(1,CD)＝eq \f(1,EF).
证明：∵AB∥EF，∴△DEF∽△DAB，∴eq \f(EF,AB)＝eq \f(DF,DB).
又∵EF∥CD，∴△BEF∽△BCD.∴eq \f(EF,CD)＝eq \f(BF,BD).
∴eq \f(EF,AB)＋eq \f(EF,CD)＝eq \f(DF,DB)＋eq \f(BF,BD)＝eq \f(BD,BD)＝1.∴eq \f(1,AB)＋eq \f(1,CD)＝eq \f(1,EF).
例4．（2022•安庆模拟）在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．
（1）如图①，若四边形ABCD为矩形，过点O作OE⊥BC，求证：OE＝CD．
（2）如图②，若AB∥CD，过点O作EF∥AB分别交BC、AD于点E、F．求证：＝2．
（3）如图③，若OC平分∠AOB，D、E分别为OA、OB上的点，DE交OC于点M，作MN∥OB交OA于一点N，若OD＝8，OE＝6，直接写出线段MN长度．
【分析】（1）由OE⊥BC，DC⊥BC，可知EO∥CD，且OB＝OD，可得结论；
（2）由△DFO∽△DAB，得，同理，，，利用等式的性质将比例式相加，从而得出结论；（3）作DF∥OB交OC于点F，连接EF，可知△ODF是等腰三角形，得DO＝DF＝8，由△DMF∽△EMO，可得EM＝，由△DMN∽△DOE，得，从而得出答案．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴O是AC中点，AB⊥BC，
∵OE⊥BC，∴OE∥AB，∴E是BC中点，∴OE＝；
（2）证明：∵EF∥AB，∴△DFO∽△DAB，∴，
同理，，，∴＝，
∴，即；
（3）解：作DF∥OB交OC于点F，连接EF，
∵OC平分∠AOB，∴∠AOC＝∠BOC，∵DF∥OB，∴∠DFO＝∠BOC＝∠AOC，
∴△ODF是等腰三角形，∴DO＝DF＝8，∵DF∥OE，∴△DMF∽△EMO，
∴，∴EM＝，∴，
∵MN∥OE，∴△DMN∽△DOE，∴，∴，∴MN＝．
【点评】本题是相似形综合题，主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，对比例式进行恒等变形是解题的关键．
课后专项训练
1. （2021·山东淄博·中考真题）如图，相交于点，且，点在同一条直线上．已知，则之间满足的数量关系式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题意易得，，则有，，然后可得，进而问题可求解．
【详解】解：∵，∴，，
∴，，∴，
∵，∴，即；故选C．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
2．（2023秋·山西阳泉·九年级统考期末）如图，在四边形中，，对角线与相交于点E，，，，，则对角线与的长分别是（ ）

A．， B．， C．， D．，
【答案】D
【分析】过点B作交于点O，证明，可求得，，根据勾股定理求出的长，进而可求出的长，再根据勾股定理求出的长，进而求出的长．
【详解】过点B作交于点O，如图所示：

∵，，∴．
∵，∴，∴．
∵，∴．∵，∴，∴．
∵，，∵，∴，∴．
在中，，即，解得：，∴．
∵，，∴，∴，
∴．故选D ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理以及平行线的性质，解题的关键是利用勾股定理求出BE的长度．
3．（2023·福建福州·校考二模）在数学综合实践课上，某学习小组计划制作一个款式如图所示的风筝．在骨架设计中，两条侧翼的长度设计，风筝顶角的度数为，在上取D，E两处，使得，并作一条骨架．在制作风筝面时，需覆盖整个骨架，根据以上数据，B，C两点间的距离大约是（ ）（参考数据：）

A．41B．57C．82D．143
【答案】C
【分析】设与交于点，连接，交于点，根据已知易证，然后利用相似三角形的性质可得，从而可得，进而可得，再利用等腰三角形的三线合一性质可得，，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答．
【详解】解：设与交于点，连接，交于点，

，，，
，，，，
，，，，，，
在中，，，
，，两点间的距离大约是，故选：C．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，相似三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
4．（2022·湖北十堰·中考真题）如图，某零件的外径为10cm，用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等）可测量零件的内孔直径AB．如果OA：OC=OB：OD=3，且量得CD=3cm，则零件的厚度x为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】求出△AOB和△COD相似，利用相似三角形对应边成比例列式计算求出AB，再
根据外径的长度解答．
【详解】解：∵OA：OC=OB：OD=3，∠AOB=∠COD，
∴△AOB∽△COD，∴AB：CD=3，∴AB：3=3，∴AB=9（cm），
∵外径为10cm，∴19+2x=10，∴x=0.5（cm）．故选：B．
【点睛】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是利用相似三角形的性质求出AB的长．
5．（2022·湖南怀化·中考真题）如图，△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若S△ADE＝2，则S△ABC＝_____．
【答案】8
【分析】根据三角形中位线定理求得DE∥BC，，从而求得△ADE∽△ABC，然后利用相似三角形的性质求解．
【详解】解：∵D、E分别是AB、AC的中点，则DE为中位线，
所以DE∥BC，所以△ADE∽△ABC∴
∵S△ADE=2，∴S△ABC=8故答案为：8．
【点睛】本题考查中位线及平行线性质，本题难度较低，主要考查学生对三角形中位线及平行线性质等知识点的掌握．
6．（2023·广东梅州·九年级统考期末）如图，在中，点在上，点分别在、上，四边形是矩形，，是的高，，，那么的长为 ．

【答案】6
【分析】通过四边形为矩形推出，因此与两个三角形相似，将视为的高，可得出，再将数据代入即可得出答案．
【详解】解：设与交于点M．

∵四边形是矩形，∴，∴，
∵和分别是和的高，∴，
∴，
∵，代入可得：，解得，
∴，故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质及矩形的性质，灵活运用相似三角形的性质是本题的关键．
7.（2023·广东深圳·校考三模）如图，在中，，D是上一点，点E在上，连接交于点F，若，则＝ ．
【答案】2
【分析】过D作垂直于H点，过D作交BC于G点，先利用解直角三角形求出的长，其次利用，求出的长，得出的长，最后利用求出的长，最后得出答案．
【详解】解：如图：过D作垂直于H点，过D作交于G点，
∵在中，，∴，
又∵，∴ ，∴在等腰直角三角形中，，∴，
在中，，
∵， ∴，，∴，
又∵，∴，∴，
∴ ，即，∴ ，∴，
又∵，∴，又∵，∴，
又，∴，∴，故答案为：2．
【点睛】本题考查勾股定理，等腰直角三角形性质及相似三角形的判定与性质综合，解题关键在于正确做出辅助线，利用相似三角形的性质得出对应边成比例求出答案．
8．（2022·四川宜宾·中考真题）如图，中，点E、F分别在边AB、AC上，．若，，，则______．
【答案】
【分析】易证△AEF∽△ABC，得即即可求解．
【详解】解：∵∠1=∠2，∠A=∠A，∴△AEF∽△ABC，
∴，即
∵，，，∴，∴EF=，故答案为：．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质定理是解题的关键．
9．（2022·辽宁阜新·中考真题）如图，在矩形中，是边上一点，且，与相交于点，若的面积是，则的面积是______．
【答案】27
【分析】根据矩形的性质，很容易证明∽，相似三角形之比等于对应边比的平方，即可求出的面积．
【详解】解：四边形是矩形，，，
，∽，，，：：，
：：，即：：，．故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，综合性比较强，学生要灵活应用．掌握相似三角形的面积比是相似比的平方是解题的关键．
10．（2022·湖北荆门·中考真题）如图，点G为△ABC的重心，D，E，F分别为BC，CA，AB的中点，具有性质：AG：GD＝BG：GE＝CG：GF＝2：1．已知△AFG的面积为3，则△ABC的面积为 _____．
【答案】18
【分析】根据线段比及三角形中线的性质求解即可．
【详解】解：∵CG：GF＝2：1，△AFG的面积为3，
∴△ACG的面积为6，∴△ACF的面积为3+6＝9，
∵点F为AB的中点，∴△ACF的面积＝△BCF的面积，
∴△ABC的面积为9+9＝18，故答案为：18．
【点睛】题目主要考查线段比及线段中点的性质，熟练掌握线段中点的性质是解题关键．
11．（2023·福建·统考中考真题）阅读下列材料，回答问题
任务：测量一个扁平状的小水池的最大宽度，该水池东西走向的最大宽度远大于南北走向的最大宽度，如图1．
工具：一把皮尺（测量长度略小于）和一台测角仪，如图2．皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度）；
测角仪的功能是测量角的大小，即在任一点处，对其视线可及的，两点，可测得的大小，如图3．

小明利用皮尺测量，求出了小水池的最大宽度，其测量及求解过程如下：测量过程：
（ⅰ）在小水池外选点，如图4，测得，；
（ⅱ）分别在，，上测得，；测得．求解过程：
由测量知，， ，，，
∴，又∵①___________，
∴，∴．
又∵，∴②___________．
故小水池的最大宽度为___________．
(1)补全小明求解过程中①②所缺的内容；(2)小明求得用到的几何知识是___________；
(3)小明仅利用皮尺，通过5次测量，求得．请你同时利用皮尺和测角仪，通过测量长度、角度等几何量，并利用解直角三角形的知识求小水池的最大宽度，写出你的测量及求解过程．要求：测量得到的长度用字母，，表示，角度用，，表示；测量次数不超过4次（测量的几何量能求出，且测量的次数最少，才能得满分）．
【答案】(1)①；②(2)相似三角形的判定与性质(3)最大宽度为，见解析
【分析】（1）根据相似三角形的判定和性质求解即可；（2）根据相似三角形的判定和性质进行回答即可；
（3）测量过程：在小水池外选点，用测角仪在点处测得，在点处测得；用皮尺测得；求解过程：过点作，垂足为，根据锐角三角函数的定义推得，，，根据，即可求得．
【详解】（1）∵， ，，，∴，
又∵，∴，∴．
又∵，∴．故小水池的最大宽度为．
（2）根据相似三角形的判定和性质求得，故答案为：相似三角形的判定与性质．
（3）测量过程：（ⅰ）在小水池外选点，如图，用测角仪在点处测得，在点处测得；

（ⅱ）用皮尺测得．求解过程：由测量知，在中，，，．
过点作，垂足为．在中，，
即，所以．同理，．在中，，
即，所以．所以．
故小水池的最大宽度为．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形的实际应用，根据题意画出几何图形，建立数学模型是解题的关键．
12．（2023秋·山西运城·九年级统考期末）综合与实践
问题情境：如图1，在中，，，，点是上一点，将沿直线折叠，点落在上的点，连接．
独立思考(1)如图，求的值；
问题拓展 如图，点是图1中AB上一动点，连接，交于点．
(2)当点是的中点时，求证：；(3)当点是的中点时，请你直接写出的值．

【答案】（1）；（2）见解析；（3）
【分析】（1）由折叠性质可知，利用等面积求出长即可；
（2）添加辅助线构造全等三角形和相似三角形，利用性质即可证明；
（3）作平行线构造全等三角形和相似三角形，利用性质即可求解．
【详解】解：（1）方法一：在中，，，
由折叠可知：，∵，
∴，∴，∴，
在中，，，
方法二：在中，，，
由折叠可知：，，，∴，
∵，，∴，
∴，∴，∴，∴，
在中，，∴，
方法三：在中，，，
由折叠可知：，．，∴，
在中，，，在中，，，
∴，∴∴，∴，
在中，，∴，

（2）方法一：延长到点，使，连接，

∵，，∴．
∴，，∴，∴，
∴，∴，∴，
方法二：过点作交的延长线于点，
∴，，，
又∵，∴，∴，，∴，
∴，∴．
方法三：作于点，∴，∴∴
∵，．∴，∴，
在中，，，∴
设，在中，，．∴，
在中，，．∴．∴
(3)如图，过作，交延长线于点，
∴，，∵为中点，∴，
∵，∴，∴，
由得：，∴．
【点睛】此题考查了全等三角形和相似三角形，解题的关键是如何添加辅助线，熟练掌握以上知识的性质及其应用．
13．（2023·湖南郴州·统考中考真题）已知是等边三角形，点是射线上的一个动点，延长至点，使，连接交射线于点．

(1)如图1，当点在线段上时，猜测线段与的数量关系并说明理由；
(2)如图2，当点在线段的延长线上时，
①线段与的数量关系是否仍然成立？请说明理由；
②如图3，连接．设，若，求四边形的面积．
【答案】(1)，理由见解析(2)①成立，理由见解析②
【分析】（1）过点作，交于点，易得，证明，得到，即可得出结论．（2）①过点作，交的延长线于点，易得，证明，得到，即可得出结论；②过点作，交的延长线于点，过点作，交于点，交于点，根据已知条件推出，得到，证明，得到，求出的长，利用四边形的面积为进行求解即可．
【详解】（1）解：，理由如下：
∵是等边三角形，∴，
过点作，交于点，

∴，，
∴为等边三角形，∴，
∵，，∴，，
又，∴，∴，∴；
（2）①成立，理由如下：∵是等边三角形，∴，
过点作，交的延长线于点，

∴，，
∴为等边三角形，∴，
∵，，∴，，
又，∴，∴，∴；
②过点作，交的延长线于点，过点作，交于点，交于点，则：，由①知：为等边三角形，，，
∵为等边三角形，∴，∴，
∵，
∴，∴，∴，
∵，∴，，
∴，∴，∴，
设，则：，，∴，
∵，∴，∴，即：②，
联立①②可得：（负值已舍去），经检验是原方程的根，
∴，，，
∴，∴，
∵，∴，
∴四边形的面积为
．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形．本题的综合性强，难度大，属于中考压轴题，解题的关键是添加辅助线构造特殊三角形，全等和相似三角形．
14．（2023·浙江·九年级专题练习）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，在边AB的延长线上截取BE＝AB，点F在AE的延长线上，CE和DF交于点M，BC和DF交于点N，联结BD．
（1）求证：△BND∽△CNM；
（2）如果AD2＝AB•AF，求证：CM•AB＝DM•CN．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）利用平行四边形的性质得AB=CD，AB∥CD，再证明四边形BECD为平行四边形得到BD∥CE，根据相似三角形的判定方法，由CM∥DB可判断△BND∽△CNM；
（2）先利用AD2=AB•AF可证明△ADB∽△AFD，则∠1=∠F，再根据平行线的性质得∠F=∠4，∠2=∠3，所以∠3=∠4，加上∠NMC=∠CMD，于是可判断△MNC∽△MCD，所以MC：MD=CN：CD，然后利用CD=AB和比例的性质即可得到结论．
【详解】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，而BE=AB， ∴BE=CD，而BE∥CD，
∴四边形BECD为平行四边形，∴BD∥CE，∵CM∥DB，∴△BND∽△CNM；
（2）∵AD2=AB•AF，∴AD：AB=AF：AD，而∠DAB=∠FAD，
∴△ADB∽△AFD，∴∠1=∠F，
∵CD∥AF，BD∥CE，∴∠F=∠4，∠2=∠3，∴∠3=∠4，
而∠NMC=∠CMD，∴△MNC∽△MCD，∴MC：MD=CN：CD，
∴MC•CD=MD•CN，而CD=AB，∴CM•AB=DM•CN．
【点睛】本题考查了三角形相似的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．在运用相似三角形的性质时主要利用相似比计算线段的长．也考查了平行四边形的判定与性质．
15．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）问题背景：如图1，在四边形中，点F，E，G分别在上，，，求证：
尝试应用：如图 2，是的中线，点E在上，直线交于点G，直线交于点F，若，求的值．
迁移拓展：如图3，在等边中，点D在上，点E在上，若，，直接写出的值．（用含m的式子表示）

【答案】问题背景：见解析；尝试应用：；迁移拓展：
【分析】问题背景：根据，，推出，根据对应边成比例即可得到结论；尝试应用：延长至D，使得，连接， 证得四边形是平行四边形，得到，由图（1）得，，即可得到，利用，得到；迁移拓展：过点E作，交于点M，交于点N，得到也是等边三角形，推出，证明，得到，即，由图（1）可得，设，则，求出，即可得到．
【详解】问题背景：如图（1），证明：∵，，
∴，∴，∴；
尝试应用：如图（2），解：延长至D，使得，连接，

∵是的中线，∴，∵，∴四边形是平行四边形，
∴，
由图（1）得，，∴，∴，∵，∴；
迁移拓展：如图（3），过点E作，交于点M，交于点N，
∵是等边三角形，∴，
∵，∴，∴也是等边三角形，
∴ ∴，
又∵
∴ ∴，即，
∴由图（1）可得，
设，则，∴，∴，∴．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质，应用类比的方法解决问题，正确掌握相似三角形的判定和性质及类比方法是解题的关键．
16．（2023·浙江杭州·统考中考真题）在边长为的正方形中，点在边上（不与点，重合），射线与射线交于点．(1)若，求的长．(2)求证：．
(3)以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点．若，求的长．
【答案】(1)(2)见解析(3)
【分析】（1）证明，利用相似三角形的对应边成比例求解；
（2）证明，利用相似三角形的对应边成比例证明；
（3）设，则，，在中，利用勾股定理求解．
【详解】（1）解：由题知，，
若，则．四边形是正方形，，
又，，，即，．
（2）证明：四边形是正方形，，，
，，，．
（3）解：设，则，．
在中，，即，解得．．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理的应用，正方形的性质等，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．
17．（2022·四川内江·中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，点M、N分别在AB、AD上，且MN⊥MC，点E为CD的中点，连接BE交MC于点F．
(1)当F为BE的中点时，求证：AM＝CE；(2)若＝2，求的值；(3)若MN∥BE，求的值．
【答案】(1)见解析(2)(3)
【分析】(1)根据矩形的性质，证明△BMF≌ △ECF，得BM＝CE，再利用点E为CD的 中点，即可证明结论； (2)利用△BMF∽△ECF，得，从而求出BM的长，再利用△ANM∽△BMC ，得 ，求出AN的长，可得答案； (3)首先利用同角的余角相等得 ∠CBF＝ ∠CMB，则tan∠CBF＝tan∠CMB，得 ，可得BM的长，由（2）同理可得答案．
(1)证明：∵F为BE的中点，∴BF＝EF，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AB＝CD
∴∠BMF＝∠ECF，∵∠BFM＝∠EFC，∴△BMF≌△ECF（AAS），∴BM＝CE，
∵点E为CD的中点，∴CE＝CD，∵AB＝CD，∴，∴，∴AM＝CE；
(2)∵∠BMF＝∠ECF，∠BFM＝∠EFC，∴△BMF∽△ECF，∴，
∵CE＝3，∴BM＝，∴AM＝，∵CM⊥MN，∴∠CMN＝90°，∴∠AMN+∠BMC＝90°，
∵∠AMN+∠ANM＝90°，∴∠ANM＝∠BMC，
∵∠A＝∠MBC，∴△ANM∽△BMC，∴，∴，∴，
∴DN＝AD﹣AN＝4﹣＝，∴；
(3)∵MN∥BE，∴∠BFC＝∠CMN，∴∠FBC+∠BCM＝90°，
∵∠BCM+∠BMC＝90°，∴∠CBF＝∠CMB，∴tan∠CBF＝tan∠CMB，
∴，∴，∴，∴，
由（2）同理得，，∴，解得：AN＝，
∴DN＝AD﹣AN＝4﹣＝，∴．
【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角函数等知识，求出BM的长是解决（2）和（3）的关键．
18．（2023•重庆中考模拟）问题提出：如图1，D、E分别在△ABC的边AB、AC上，连接DE，已知线段AD＝a，DB＝b，AE＝c，EC＝d，则S△ADE，S△ABC和a，b，c，d之间会有怎样的数量关系呢？
问题解决：探究一：（1）看到这个问题后，我们可以考虑先从特例入手，找出其中的规律．如图2，若DE∥BC，则∠ADE＝∠B，且∠A＝∠A，所以△ADE∽△ABC，可得比例式：而根据相似三角形面积之比等于相似比的平方．可得．根据上述这两个式子，可以推出：．
（2）如图3，若∠ADE＝∠C，上述结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；着不成立，请说明理由．
探究二：回到最初的问题，若图1中没有相似的条件，是否仍存在结论：？方法回顾：两个三角形面积之比，不仅可以在相似的条件下求得，当两个三角形的底成高具有一定的关系时，也可以解决．如图4，D在△ABC的边上，做AH⊥BC于H，可得：．借用这个结论，请你解决最初的问题．
延伸探究：（1）如图5，D、E分别在△ABC的边AB、AC反向延长线上，连接DE，已知线段AD＝a，AB＝b，AE＝c，AC＝d，则 ．（2）如图6，E在△ABC的边AC上，D在AB反向延长线上，连接DE，已知线段AD＝a，AB＝b，AE＝c，AC＝d， ．
结论应用：如图7，在平行四边形ABCD中，G是BC边上的中点，延长GA到E，连接DE交BA的延长线于F，若AB＝5，AG＝4，AE＝2，▱ABCD的面积为30，则△AEF的面积是 ．
【答案】探究一：（2）见解析；延伸探究：（1）;（2）；结论应用：
【分析】问题解决：探究一（2）：参照（1）中证明方法解答即可；
探究二，过D、B点分别作,垂足分别为M、N，然后按照探究一中方法证明即可；
延伸探究：（1）过D、B点分别作,垂足分别为M、N，然后按照探究一中方法证明即可；
（2）过D、B点分别作,垂足分别为M、N，然后按照探究一中方法证明即可；
结论应用：取AD的中点M，连接GM并延长交DE于点N，连接DG，可得,根据题意，进而得出,根据AM=DM,,可得FN=DN，根据AE=2，AG=4，，可得FN=2EF，进而可得ED=5EF，即可得出．
【详解】解：问题解决：探究一：
（2）成立，理由如下：∵∠ADE＝∠C，∠A＝∠A，∴,∴，
∴；
探究二：过D、B点分别作,垂足分别为M、N，
∵，∴,∴,
；

延伸探究：（1）过D、B点分别作,垂足分别为M、N，
∵，∴,∴,；
（2）过D、B点分别作,垂足分别为M、N，

∵，∴,∴,;
结论应用：取AD的中点M，连接GM并延长交DE于点N，连接DG，
∴AM=DM，，∵AE=2，AG=4，∴,
∵AM=DM,,∴FN=DN，∵AE=2，AG=4，,
∴,即：FN=2EF,∴ED=5EF，∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例等知识点，熟练运用相似三角形的性质是解题的关键．
19．（2023·河南郑州·校考三模）【问题发现】小明在一次利用三角板作图的过程中发现了一件有趣的事情：如图，在中，，点和点分别是斜边上的动点，并且满足，分别过点和点作边的垂线，垂足分别为点和点，那么的值是一个定值．
问题：若时，值为___________ ；
【操作探究】如图，在中，；
爱动脑筋的小明立即拿出另一个三角板进行了验证，发现果然和之前发现的结论一样，于是他猜想，对于任意一个直角三角形，当时，的值都是固定的，小明的猜想对吗？如果对，请利用图进行证明，并用含和的式子表示的值．
【解决问题】如图，在菱形中，若、分别是边、上的动点，且，作，垂足分别为、，则的值为__________ ．

【答案】【问题发现】3；【操作探究】；【解决问题】．
【问题发现】由，，得，，而，则，于是得到问题的答案．
【操作探究】由，，可证明，，得，，因为，则，于是可推导出，所以；
【解决问题】连交于点，在上截取，作于点，由菱形的性质得，，，可求得，再由，，证明，再证明，得，，则，由，，，得，则．
【详解】解：【问题发现】于点，于点，，
，，，
，，，
，，故答案为：3．
解：【操作探究】对，证明：于点，于点，，
，
，，，
，，
，，
，，
，，，，
，的值为定值，．
解：【解决问题】如图3，连交于点，在上截取，作于点，

四边形是菱形，，，
，，，
，，
，，，，
，，于点，，
，，，，，
，，，，，故答案为：．
【点睛】此题重点考查直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、锐角三角函数、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、菱形的性质等知识，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．
20．（2022·湖北武汉·中考真题）问题提出：如图（1），中，，是的中点，延长至点，使，延长交于点，探究的值．
(1)先将问题特殊化．如图（2），当时，直接写出的值；
(2)再探究一般情形．如图（1），证明（1）中的结论仍然成立．
问题拓展：如图（3），在中，，是的中点，是边上一点，，延长至点，使，延长交于点．直接写出的值（用含的式子表示）．
【答案】(1)[问题提出]（1）；（2）见解析 (2)[问题拓展]
【分析】[问题探究]（1）根据等边三角形的性质结合已知条件，求得，，根据含30度角的直角三角形的性质，可得，即可求解；
（2）取的中点，连接．证明，可得，根据，证明，根据相似三角形的性质可得，进而可得；
[问题拓展]方法同（2）证明，得出，，证明，得到，进而可得．
(1)[问题探究]：（1）如图，

中，，是的中点，，
是等边三角形，，，
，，，
，
，，，．
（2）证明：取的中点，连接．
∵是的中点，∴，．
∵，∴，∴．
∵，∴．∴．
∴．∴．∴．
∵，∴．∴．∴．∴．
(2)[问题拓展]如图，取的中点，连接．∵是的中点，∴，．
∵，∴，∴．∵，∴．∴．
∴．∴． ，
∴．
∵，∴．∴．
∴．∴．．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，等边对等角，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
21．（2023·浙江温州·统考中考真题）如图，已知矩形，点E在延长线上，点F在延长线上，过点F作交的延长线于点H，连结交于点G，．

(1)求证：．(2)当，时，求的长．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】（1）根据等边对等角得出，根据矩形的性质得出，，即可证明，根据全等三角形的性质得出，进而即可求解；
（2）根据，得出，设，则， ，，根据相似三角形的性质列出等式，解方程即可求解．
【详解】（1）解：∵，，∴，∴．
∵四边形是矩形，∴，，
∴，∴，∴，即．
（2）∵，∴，∴．
∵，∴．设，∵，
∴，，∴，解得，∴．

【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．