专题03 相交线与平行线中的M模型（含锯齿型）-中考数学几何模型（重点专练）

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模型分析
【模型1】M型
（1）如图，已知，BF与DF相交于点F
【证明】
如图，延长BF交CD于点G
又
（2）如图，已知，BF与DF相交于点F
【证明】
如图，延长BF交CD于点G
又
【M型变式】
如图，已知，是平行线内的两点
【证明】
分别过做，
【模型2】锯齿型
如图，已知，M、N是平行线内的两点，点P是线段CD上一点，连接BM、MN、NP,
【证明】
如图：分别过点M、N做
典例分析
【例1】如图，∠BCD＝70°，AB∥DE，则∠α与∠β满足（ ）
A．∠α+∠β＝110°B．∠α+∠β＝70°C．∠β﹣∠α＝70°D．∠α+∠β＝90°
【例2】如图，AB∥EF，设∠C＝90°，那么x，y，z的关系式为______．
【例3】问题情境：如图①，直线，点E，F分别在直线AB，CD上．
(1)猜想：若，，试猜想______°；
(2)探究：在图①中探究，，之间的数量关系，并证明你的结论；
(3)拓展：将图①变为图②，若，，求的度数．
模型演练
一、单选题
1．如图，，点在上，，，则下列结论正确的个数是（ ）
（1）；（2）；（3）；（4）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．如图,ABEF,∠D=90°,则,,的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
3．如图，已知直线a∥b，∠1=40°，∠2=60°．则∠3等于（ ）
A．100°B．60°C．40°D．20°
4．如图，AB∥CD，点E，P在直线AB上（P在E的右侧），点G在直线CD上，EF⊥FG，垂足为F，M为线段EF上的一动点，连接GP，GM，∠FGP与∠APG的角平分线交与点Q，且点Q在直线AB，CD之间的区域，下列结论：①∠AEF+∠CGF＝90°；②∠AEF+2∠PQG＝270°；③若∠MGF＝2∠CGF，则3∠AEF+∠MGC＝270°；④若∠MGF＝n∠CGF，则∠AEF∠MGC＝90°．正确的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
二、填空题
5．如图，AB//CD， 则______
6．如图，，平分，，，则__________．
7．如图，已知ABCD，易得∠1+∠2+∠3=360°，∠1+∠2+∠3+∠4 =540°，根据以上的规律求∠1+∠2+∠3+…+∠n =__________ °．
三、解答题
8．（1）已知：如图（a），直线．求证：；
（2）如图（b），如果点C在AB与ED之外，其他条件不变，那么会有什么结果？你还能就本题作出什么新的猜想？
9．如图，，点E在直线AB，CD内部，且．
（1）如图1，连接AC，若AE平分，求证：平分；
（2）如图2，点M在线段AE上，
①若，当直角顶点E移动时，与是否存在确定的数量关系?并说明理由；
②若（为正整数），当直角顶点E移动时，与是否存在确定的数量关系?并说明理由．
10．已知直线l1//l2， A是l1上的一点，B是l2上的一点，直线l3和直线l1，l2交于C和D，直线CD上有一点P．
（1）如果P点在C，D之间运动时，问∠PAC，∠APB，∠PBD有怎样的数量关系？请说明理由．
（2）若点P在C，D两点的外侧运动时（P点与C，D不重合），试探索∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系又是如何？（请直接写出答案，不需要证明）
11．如图1，，，，求的度数．小明的思路是：如图2，过作，通过平行线性质可求的度数．

（1）请你按小明的思路，写出度数的求解过程；
（2）如图3，，点在直线上运动，记，．
①当点在线段上运动时，则与、之间有何数量关系？请说明理由；
②若点不在线段上运动时，请直接写出与、之间的数量关系．
12．直线AB∥CD，M为AB上一定点，N为CD上一定点，E为直线AB和直线CD之间的一点．
（1）当点E在MN上时，如图1所示，请直接写出∠MEN，∠CNE，∠AME之间的数量关系；
（2）当点E在MN左侧时，如图2所示，试猜想∠MEN，∠CNE，∠AME之间的数量关系，并证明；
（3）当点E在MN右侧时，如图3所示，试猜想∠MEN，∠CNE，∠AME之间的数量关系，并证明．
13．如图1，已知AB∥CD，∠B＝30°，∠D＝120°；
(1)若∠E＝60°，则∠F＝ ；
(2)请探索∠E与∠F之间满足的数量关系？说明理由；
(3)如图2，已知EP平分∠BEF，FG平分∠EFD，反向延长FG交EP于点P，求∠P的度数．
14．如图1，点、分别在直线、上，，.
（1）求证：；（提示：可延长交于点进行证明）
（2）如图2，平分，平分，若，求与之间的数量关系；
（3）在（2）的条件下，如图3，平分，点在射线上，，若，直接写出的度数．
15．已知ABCD，∠ABE的角分线与∠CDE的角分线相交于点F．
（1）如图1，若BM、DM分别是∠ABF和∠CDF的角平分线，且∠BED＝100°，求∠M的度数；
（2）如图2，若∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，∠BED＝α°，求∠M的度数；
（3）若∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，请直接写出∠M与∠BED之间的数量关系．