专题19 三角形内接矩形相似模型-中考数学几何模型（重点专练）

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【模型】如图，四边形DEFG是△ABC的内接矩形，EF在BC边上，D、G分别在AB、AC边上，则△ADG∽△ABC，△ADN∽△ABM，△AGN∽△ACM，.
【例1】如图，在中，AD是BC边上的高，在的内部，作一个正方形PQRS，若，，则正方形PQRS的边长为（ ）
A．B．C．1D．
【例2】如图，已知三角形铁皮的边，边上的高，要剪出一个正方形铁片，使、在上，、分别在、上，则正方形的边长________．
【例3】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AB＝8．点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿边AB向点B运动．过点P作PD⊥AB交折线AC﹣CB于点D，以PD为边在PD右侧做正方形PDEF．设正方形PDEF与△ABC重叠部分图形的面积为S，点P的运动时间为t秒（0＜t＜4）．
（1）当点D在边AC上时，正方形PDEF的边长为 （用含t的代数式表示）．
（2）当点E落在边BC上时，求t的值．
（3）当点D在边AC上时，求S与t之间的函数关系式．
（4）作射线PE交边BC于点G，连结DF．当DF＝4EG时，直接写出t的值．
一、单选题
1．如图，矩形内接于，且边落在上，若，那么的长为( )
A．B．C．D．
2．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，放置边长分别为3，4，x的三个正方形，则x的值为（ ）
A．12B．7C．6D．5
3．如图，将一张面积为50的大三角形纸片沿着虚线剪成三张小三角形纸片与一张矩形纸片．根据图中标示的长度，则矩形纸片的面积为（ ）
A．12B．18C．24D．30
4．如图，在△ABC中，AB边上取一点P，画正方形PQMN，使Q，M在边BC上，N在边AC上，连接BN，在BN上截取NE=NM，连接EQ，EM，当时，则∠QEM度数为（ ）
A．60°B．70°C．75°D．90°
5．如图，在中，，，，若内接正方形的边长是x，则h、c、x的数量关系为（ ）
A．B．C．D．
6．我国古代数学著作《九章算法比类大全》有题如下：“方种芝麻斜种黍，勾股之田十亩无零数．九十股差方为界，勾差十步分明许．借问贤家如何取，多少黍田多少芝麻亩．算的二田无误处，智能才华算中举．”大意是：正方形田种芝麻，斜形（三角形）种黍，有一块直角三角形是10亩整．股差步，勾差步．请问黍田、芝麻各多少亩？（1亩平方步）答：（ ）
A．艺麻田3.75亩，黍田6.25亩B．芝麻田3.25亩，黍田6.75亩
C．芝麻田3.70亩，黍田6.30亩D．芝麻田3.30亩，黍田6.70亩
二、填空题
7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6．在其内并排放入（不重叠）n个相同的小正方形纸片，使这些纸片的一边都在AB上，首尾两个正方形各有一个顶点D，E分别在AC，BC上，则小正方形的边长为 _____（用含n的代数式表示）．
8．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，在三角形内挖掉正方形CDEF，则正方形CDEF的边长为________．
9．如图的△ABC中有一正方形DEFG，其中D在AC上，E、F在AB上，直线AG分别交DE、BC于M、N两点．若∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，EF＝1，则BN的长度为_____．
10．如图，矩形内接于，且边落在上．若，，，，那么的长为__．
11．如图，在中，点F、G在上，点E、H分别在、上，四边形是矩形，是的高．，那么的长为____________．
12．在中，，点在线段上，过点作于点，于点，使得四边形为正方形，此时，，则阴影部分面积为_________．
三、解答题
13．如图，己知直角三角形的铁片ABC的两直角边BC、AC的长分别为3cm和4cm，分别采用（1）、（2）两种剪法，剪出一块正方形铁片，为使所得的正方形面积最大，问哪一种剪法好？为什么？
14．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，∠DEB＝∠FCE，EF∥AB．
(1)求证：△BDE∽△EFC；
(2)设，△EFC的面积是20，求△ABC的面积．
15．如图，在中，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，，．
(1)求证：．
(2)若，，求线段BE的长．
16．一块三角形的余料，底边BC长1.8米，高AD＝1米，如图．要利用它裁剪一个长宽比是3∶2的长方形，使长方形的长在BC上，另两个顶点在AB、AC上，求长方形的长EH和宽EF的长．
17．我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．
例：已知x可取任何实数，试求二次三项式的最值．
解：
∵无论x取何实数，总有．
∴，即无论x取何实数，有最小值，是．
(1)问题：已知，试求y的最值．
(2)【知识迁移】在中，是边上的高，矩形的顶点P、N分别在边上，顶点Q、M在边上，
探究一：，求出矩形的最大面积的值；（提示：由矩形我们很容易证明，可以设，经过推导，用含有x的代数式表示出该矩形的面积，从而求得答案．）
(3)探究二：，则矩形面积S的最大值___________．（用含a，h的代数式表示）
18．如图，为一块铁板余料，，，，要把它加工成正方形小铁板，有如图所示的两种加工方案，请你分别计算这两种加工方案的正方形的边长．
19．在△ABC中，BC＝2，BC边上的高AD＝1，P是BC上任一点，PEAB交AC于E，PFAC交AB于F．
(1)设BP＝x，将S△PEF用x表示；
(2)当P在BC边上什么位置时，S值最大．
20．课本中有一道作业题：有一块三角形余料ABC，它的边BC＝12m，高线AD＝8m．要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．问加工成的正方形零件的边长为多少米？小颖解得此题的答案为4.8m．
(1)你知道小颖是怎么做的吗？请你写出解答过程？
(2)善于反思，她又提出了如下的问题，如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2，这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长．
(3)如图3，小颖想如果这块余料形状改为Rt△ABC的斜板，已知∠A＝90°，AB＝8m，AC＝6m，要把它加工成一个形状为平行四边形PQMN的工件，使MQ在BC上，P、N两点分别在AB，AC上，且PN＝8m，则平行四边形PQMN的面积为 m2．