专题25 圆中的相交弦模型-中考数学几何模型（重点专练）

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【理论基础】相交弦定理
如图25-1，已知在⊙O中，弦与弦交于点，点在⊙O内。
【证明】
如图25-2，连接，，
∽
【模型变式】如图25-3，已知在⊙O中，为直径，为弦，与相交于点，点在⊙O内。
【例1】如图是以点O为圆心，AB为直径的圆形纸片，点C在⊙O上，将该圆形纸片沿直线CO对折，点B落在⊙O上的点D处（不与点A重合），连接CB，CD，AD．设CD与直径AB交于点E．若AD=ED，则∠B=_________度；的值等于_________．
【例2】如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙是△ABC的外接圆，连接BO并延长交边AC于点D．
（1）如图1，求证：∠BAC＝2∠ABD；
（2）如图2，过点B作BH⊥AC于点H，延长BH交⊙O于点G，连接OC，CG，OC交BG于点F，求证：BF＝2HG；
（3）如图3，在（2）的条件下，若AD＝2，CD＝3，求线段BF的长．
一、单选题
1．如图，四边形ABCD内接于圆，已知AC＝BC，延长AD到F使得DF＝BD＝3，已知∠AEB＝90°，且AE：ED＝3：1，则BE的长为（）
A．2.5B．2C．D．3
2．如图，已知的半径为3，弦，为上一动点（点与点、不重合），连接并延长交于点，交于点，为上一点，当时，则的最大值为（）
A．4B．6C．8D．12
3．如图，已知弦与弦交于点，且为的中点，延长交于点，若，则（）
A．B．C．D．
二、填空题
4．如图，△ABC内接于，AB为的直径，D为上一点（位于AB下方），CD交AB于点E，若，，，则CE的长为______．
5．如图，⊙O的直径AB过的中点A，若∠C＝30°，AB、CD交于点E，连接AC、BD，则＝________________．
6．如图，、、、是上的四个点，，交于点，若，，则_______．
7．如图，已知四边形内接于，半径，对角线AC、BD交于E点，且，，则______．
8．如图，点A、B、C、D在⊙O上，AD是⊙O的直径，且AD＝3，若∠ABC＝∠CAD，BC交AD于点E，则CE•BC为___．
9．如图，点、在以为直径的上，且是的中点，与交于点.若，，则CE的长为_____．
三、解答题
10．我们定义：如果圆的两条弦互相垂直且相交，那么这两条弦互为“十字弦”，也把其中的一条弦叫做另一条弦的“十字弦”．如图1，已知⊙O的两条弦AB⊥CD，则AB、CD互为“十字弦”，AB是CD的“十字弦”，CD也是AB的“十字弦”．
【概念理解】
（1）若⊙O的半径为5，一条弦AB=8，则弦AB的“十字弦”CD的最大值为，最小值为．
（2）如图2，若⊙O的弦CD恰好是⊙O的直径，弦AB与CD相交于H，连接AC，若AC=12，DH=7，CH=9，求证︰AB、CD互为“十字弦”；
【问题解决】
（3）如图3，在⊙O中，半径为，弦AB与CD相交于H，AB、CD互为“十字弦”且AB=CD，，则CD的长度．
11．如图，已知AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H.
(1)求证：AHAB=AC2；
(2)若过A的直线与弦CD(不含端点)相交于点E，与⊙O相交于点F，求证：AEAF=AC2；
(3)若过A的直线与直线CD相交于点P，与⊙O相交于点Q，判断APAQ=AC2是否成立(不必证明).
12．如图，是的直径，弦于点，为上一点，，连接分别交，于点，．
(1)求证：；
(2)若，且，求的长．
13．如图，AB为⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC、BD交于点E，⊙O的切线AF交BD的延长线于点F，切点为A，且∠CAD＝∠ABD．
(1)求证：AE＝AF；
(2)若AB＝4，BF＝5，求cs∠BAC的值．