吉林省长春外国语学校2023-2024学年高一下学期5月期中考试数学试题

这是一份吉林省长春外国语学校2023-2024学年高一下学期5月期中考试数学试题，共6页。试卷主要包含了下列命题不正确的是等内容，欢迎下载使用。
出题人 ：赵天 审题人：王先师
本试卷共2页，共4页。考试结束后，将答题卡交回。
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知复数满足（i为虚数单位），则在复平面内对应的点位于
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．在中，内角A，B，C所对的边分别为，，.向量，若，则角的大小为
A． B． C． D．
3.已知菱形 边长为， 则
A．B．C．2D．4
4.以长为，宽为的矩形的一边为旋转轴旋转而成的圆柱的侧面积为
A．，或 B． C．，或 D．
5.在正方体中，，，分别是，，的中点，平面平面，则直线与的夹角大小为
A．30°B．45°C．60°D．90°
6.在中，内角的对边分别是，若，且，则
A．B．C．D．
7.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径二尺八寸，盆底直径一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸）
A．2寸 B．3寸 C．4寸 D．5寸
8.直观想象是数学六大核心素养之一，某位教师为了培养学生的直观想象能力，在课堂上提出了这样一个问题：现有10个直径为4的小球，全部放进棱长为a的正四面体盒子中，则a的最小值为
A．B．C．D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9.下列命题不正确的是
A．棱台的侧棱长可以不相等，但上、下底面一定相似
B．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥
C．有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱
D．直角三角形绕其任意一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥
10.已知△ABC的内角A､B､C所对的边分别为a､b､c，下列四个命题中，正确的命题是
A．若，则一定是等腰三角形
B．若，则是等腰或直角三角形
C．若，则一定是等腰三角形
D．若，且，则是等边三角形
11.在圆锥中，C是母线上靠近点S的三等分点，，底面圆的半径为r，圆锥的侧面积为，则下列说法正确的是
A．当时，过顶点S和两母线的截面三角形的最大面积为
B．当时，从点A到点C绕圆锥侧面一周的最小长度为
C．当时，圆锥的外接球表面积为
D．当时，棱长为的正四面体在圆锥内可以任意转动
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.已知向量与的夹角为，则在上的投影向量的模为 ；
13.已知梯形是直角梯形，按照斜二测画法
画出它的直观图（如右图所示），其中，
，则直角梯形边
的长度是 ；
14.在中，内角所对的边分别为，满足，是边的中点，，且，则的长为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（本小题13分）已知复数，
(1) 当 z是虚数，求的取值范围；
(2) 当z是纯虚数，求的取值．
16.（本小题15分）已知向量，
（1）若，求实数的值；
（2）若与的夹角是钝角，求实数的取值范围．
17.（本小题15分）的内角的对边分别为，设
(1)求B；
(2)若，试判断的形状；
(3)若，求锐角的面积的取值范围．
18.（本小题17分）如图，已知平面ABC，，，，，，点为的中点
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的大小；
(3)若点为的中点，求点到平面的距离．
19.（本小题17分）如图所示正四棱锥，，，为侧棱上的点，且，求：
(1)正四棱锥的表面积；
(2)若为的中点，求证：平面；
(3)侧棱上是否存在一点，使得平面.若存在，求的值；若不存在，试说明理由．
长春外国语学校2023-2024学年第二学期期中考试
高一年级数学答案
单选题
A 2.D 3.A 4.D 5.C 6.B 7.B 8.D
8.【详解】如下图所示：

10个直径为4的小球放进棱长为a的正四面体中，成三棱锥形状，有3层，
则从上到下每层的小球个数依次为：1，，个，
当a取最小值时，从上到下每层放在边缘的小球都与正四面体的侧面相切，底层的每个球都与正四面体底面相切，
任意相邻的两个小球都外切，位于每层正三角状顶点的所有上下相邻小球的球心连线为一个正四面体，
则该正四面体的棱长为，可求得其高为，
所以正四面体的高为，
进而可求得其棱长a的最小值为．
二、多选题
9.BCD 10. ABD 11. BC
11.【分析】依题意可得，对于A，利用余弦定理求出，即可判断为钝角，从而求出截面面积最大值，对于B、C、D，首先求出圆锥的高，将圆锥的侧面展开，化曲为直，利用余弦定理计算最小值，即可判断B，求出外接球的半径，即可求出外接球的表面积，从而判断C，再求出圆锥的内切球的半径与正四面体的外接球的半径，即可判断D；
【详解】解：依题意可知，所以．
对于A选项，，所以，
所以为钝角，
所以过顶点和两母线的截面三角形的最大面积为，A选项错误．
对于BCD选项，当时，，圆锥的高为．
以下分析BCD选项：
侧面展开图的弧长为，所以圆心角．
所以，B选项正确．
设圆锥的外接球的球心为，半径为，
所以，解得，
所以外接球的表面积为，C选项正确．
棱长为的正四面体如下图所示，
正方体的边长为，体对角线长为，
所以棱长为的正四面体的外接球半径为．
设内切圆的半径为，则，解得，
所以，所以棱长为的正四面体在圆锥内不可以任意转动，D选项不正确．
三、填空题
12.2 13. 14.
四、解答题
15．(1)m≠-5，且m≠3，且m≠-3
(2)m= -2
16．（1）；（2）.
【详解】（1）因为，，所以，
因为，所以，解得；
（2）因为与的夹角是钝角，则，解得，
又当，即时，此时与的夹角为，故，
综上可得
17.【答案】(1)
(2)为等边三角形
(3)
【详解】（1）因为，由正弦定理可得，
因为，则，可得，
即，所以.
（2）由（1）可知：，
由余弦定理可得：，
又因为，即，
可得，整理得，即，
所以为等边三角形.
（3）因为是锐角三角形，由（1）知且，可得，
因为，所以，
由三角形面积公式得，
又由正弦定理且，
所以，
因为，所以，所以，
所以，
即面积的取值范围为 ．
18.【详解】（1）∵平面，，
∴平面，
∵平面，
∴平面平面，
∵，点为中点，
∴，
∵平面平面，平面，
∴平面.
（2）
取中点，连接，，
∵，，，点为中点，
∴四边为平行四边形，∴，
∴直线与平面所成角和直线与平面所成角相等，
∵平面，
∴为直线与平面所成角，
∵点为中点，，
∴，，，
∴，又，所以，
所以直线与平面所成角为.
(3)
19．【答案】(1)；(2)证明见解析；(3)在侧棱存在点，使得平面，
【详解】（1）在正四棱锥中，，
则正四棱锥侧面的高为，所以正四棱锥的表面积为；
（2）如图，连接交于点O，连接，则O为AC的中点，
当M为SA的中点时，，又平面平面，
所以平面；
（3）在侧棱上存在点E，使得平面，满足.
理由如下：取的中点Q，由，得，过Q作的平行线交于E，连接，，中，有，又平面，平面，
所以平面，由，得.又，又平面，平面，所以平面，又平面，
所以平面平面，而平面，所以平面.