天津市汇文中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题（原卷版+解析版）

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1. 若实数（为虚数单位），则实数（ ）
A. B. 2C. D. 1
2. 下列说法错误的是（ ）
A.
B. ，是单位向量，则
C. 若，则
D. 两个相同的向量的模相等
3. 已知是直线，，是两个不同的平面，下列正确的命题是（ ）
A. 若，，则B. 若，，则
C. 若，，则D. 若，，则
4. 在中，若，则的值等于（ ）
A. B. C. D.
5. 已知平行四边形，满足，则四边形一定为（ ）．
A 正方形B. 矩形C. 菱形D. 等腰梯形
6. 各棱长都相等的四面体的内切球和外接球的体积之比为（ ）
A. B. C. D.
7. 在正方体中，棱的中点分别为，，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
8. 在中，角，，的对边分别为，，，若，，则是（ ）
A. 钝角三角形B. 等边三角形
C. 直角三角形D. 等腰直角三角形
9. 如图，底面是边长为2正方形，半圆面底面，点为圆弧上的动点．当三棱锥的体积最大时，二面角的余弦值为（ ）
A B. C. D.
二､填空题（共24分）
10. 设虚数单位，复数，则______.
11. 如图，空间四边形的所有棱长为1，D、E分别是棱的中点，则与所成角为__________
12. 在中，，则______________.
13. 某同学的通用技术作品如图所示，该作品由两个相同的正四棱柱制作而成，已知正四棱柱的底面边长为，这两个正四棱柱的公共部分构成的八面体体积为______．
14. 抗战胜利纪功碑暨人民解放纪念碑，简称“解放碑”，位于重庆市渝中区解放碑商业步行街中心地带，是抗战胜利的精神象征，是中国唯一一座纪念中华民族抗日战争胜利的纪念碑．如图：在解放碑的水平地面上的点处测得其顶点的仰角为､点处测得其顶点的仰角为，若米，且，则解放碑的高度__________米．
15. 如图，已知正方形的边长为，且，连接交于，则________________
三､解答题（共40分）
16. 已知向量，若，
（1）求与的夹角θ；
（2）求；
（3）当λ为何值时，向量与向量互相垂直？
17. 如图，在三棱锥中，底面，，，，分别是，的中点．
（1）求证：平面；
（2）求证：；
（3）求四面体的体积．
18. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，．
（1）求的值；
（2）若，
（i）求a的值；
（ii）求的值．
19. 如图，在四棱锥中，，为棱的中点，平面.
（1）证明：平面
（2）求证：平面平面
（3）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正切值.
20. 在中，满足．
（1）求；
（2）若，边BC上的中线，设点为的外接圆圆心．
①求的周长和面积：
②求的值．