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    2024年湖南省长沙市长郡中学高考数学模拟试卷(三)

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    2024年湖南省长沙市长郡中学高考数学模拟试卷(三)

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    这是一份2024年湖南省长沙市长郡中学高考数学模拟试卷(三),共17页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
    1.(5分)已知集合,,则
    A.B.,C.,0,D.
    2.(5分)在中,角,,的对边分别是,,,则“”是“是锐角三角形”的
    A.充分不必要条件B.必要不充分条件
    C.充要条件D.既不允分也不必要条件
    3.(5分)若实数,,满足,,,则
    A.B.C.D.
    4.(5分)已知函数在,上有且仅有4个零点,直线为函数图象的一条对称轴,则
    A.B.C.D.
    5.(5分)如图,圆内接一个圆心角为的扇形,在圆内任取一点,该点落在扇形内的概率为
    A.B.C.D.
    6.(5分)已知三棱锥的外接球的体积为平面,则三棱锥的体积为
    A.B.C.D.
    7.(5分)过双曲线的左焦点作倾斜角为的直线交于,两点.若,则
    A.B.C.D.
    8.(5分)数列的前项和为,,则可以是
    A.18B.12C.9D.6
    二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
    9.(6分)若正实数,满足,则
    A.
    B.有序数对,,有6个
    C.的最小值是
    D.
    10.(6分)“体育强则中国强,国运兴则体育兴”.为备战2024年巴黎奥运会,运动员们都在积极参加集训,已知某跳水运动员在一次集训中7位裁判给出的分数分别为:9.1,9.3,9.4,9.6,9.8,10,10,则这组数据的
    A.平均数为9.6B.众数为10
    C.第80百分位数为9.8D.方差为
    11.(6分)已知平面平面,且均与球相交,得截面圆与截面圆,为线段的中点,且,线段与分别为圆与圆的直径,则
    A.若为等边三角形,则球的体积为
    B.若为圆上的中点,,且,则与所成角的余弦值为
    C.若,且,则
    D.若,且与所成的角为,则球的表面积为或
    三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
    12.(5分)在中,,是的中点,延长交于点.设,,则可用,表示为 ,若,,则面积的最大值为 .
    13.(5分)已知,是椭圆的左、右焦点,是上一点.过点作直线的垂线,过点作直线的垂线,若,的交点在上,均在轴上方),且,则的离心率为 .
    14.(5分)已知函数的定义域为,且,(1),则 .
    四、解答题:本题共5小题,第15小题13分,第16、17小题15分,第18、19小题17分,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
    15.(13分)在中,内角,,的对边分别为,,,且.
    (1)证明:.
    (2)若,,求的面积.
    16.(15分)刷脸时代来了,人们为“刷脸支付”给生活带来的便捷感到高兴,但“刷脸支付”的安全性也引起了人们的担忧.某调查机构为了解人们对“刷脸支付”的接受程度,通过安全感问卷进行调查(问卷得分在分之间),并从参与者中随机抽取200人.根据调查结果绘制出如图所示的频率分布直方图.
    (1)据此估计这200人满意度的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
    (2)某大型超市引入“刷脸支付”后,在推广“刷脸支付”期间,推出两种付款方案:方案一:不采用“刷脸支付”,无任何优惠,但可参加超市的抽奖返现金活动.活动方案为:从装有8个形状、大小完全相同的小球(其中红球3个,黑球5个)的抽奖盒中,一次性摸出3个球,若摸到3个红球,返消费金额的;若摸到2个红球,返消费金额的,除此之外不返现金.
    方案二:采用“刷脸支付”,此时对购物的顾客随机优惠,但不参加超市的抽奖返现金活动,根据统计结果得知,使用“刷脸支付”时有的概率享受8折优惠,有的概率享受9折优惠,有的概率享受95折优惠.现小张在该超市购买了总价为1000元的商品.
    ①求小张选择方案一付款时实际付款额的分布列与数学期望;
    ②试从期望角度,比较小张选择方案一与方案二付款,哪个方案更划算?(注:结果精确到
    17.(15分)已知数列的前项和为,且.
    (1)求的通项公式;
    (2)若数列满足,求的前项和.
    18.(17分)如图,已知四棱锥的底面是菱形,对角线,交于点,,,,底面,,分别为侧棱,的中点,点在上且.
    (1)求证:,,,四点共面;
    (2)求直线与平面所成角的正弦值.
    19.(17分)已知抛物线上的动点到其焦点的距离的最小值为.
    (1)求抛物线的方程;
    (2)过抛物线上一点,作抛物线的切线,分别交轴于点,交轴于点.点在抛物线上,点在线段上,满足;点在线段上,满足,且,线段与交于点,当点在抛物线上移动时,求点的轨迹方程.
    (3)将向左平移个单位,得到,已知、,,过点作直线交于,.设,求的值.
    2024年湖南省长沙市长郡中学高考数学模拟试卷(三)
    参考答案与试题解析
    一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
    1.【解答】解:,
    而,故,.
    故选:.
    2.【解答】解:由可得,,
    由正弦定理得,,
    所以,此时为锐角,但无法判断,的范围,即此时不一定是锐角三角形,充分性不成立;
    当是锐角三角形时,一定为锐角,则,
    所以,
    所以,
    所以,必要性成立.
    故选:.
    3.【解答】解:因为,
    又,则,且,即,
    因为,所以,
    所以.
    故选:.
    4.【解答】解:因为,且,,则,
    由题意可得:,解得,
    又因为直线为函数图象的一条对称轴,
    则,解得,,
    可知,,即,
    所以.
    故选:.
    5.【解答】解:连接,,设圆的半径为,
    则,,
    所以,
    所以扇形的面积为,
    又因为圆的面积为,
    所以在圆内任取一点,该点落在扇形内的概率为.
    故选:.
    6.【解答】解:三棱锥的外接球的体积为,
    三棱锥的外接球的半径,
    又,,

    设的外接圆的半径为,
    则根据正弦定理可得:,
    ,又平面,
    三棱锥的高为,
    三棱锥的体积为.
    故选:.
    7.【解答】解:过双曲线的左焦点作倾斜角为的直线交于,两点,若,
    设双曲线的右焦点为,连接,,
    由题意可得,
    设,
    由余弦定理可得,
    即,解得,
    所以,故.
    故选:.
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    8.【解答】解:由题意可得.,由,相减可得,
    即,
    则,
    又,则,又.所以,,12,6,所以.
    故选:.
    二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
    9.【解答】解:根据题意,,,,
    对于,由题意得,,
    所以,正确;
    由题意得,,,
    由知,,
    故满足题意的,有:;,;,;,;,;,共6个,正确;

    当且仅当,即时取等号,错误;

    因为,
    所以,,
    令,,
    则,
    当时,,单调递增,
    故,
    即,错误.
    故选:.
    10.【解答】解:对于选项,平均数,故选项正确;
    对于选项,出现次数最多的数为10,所以众数为10,故选项正确;
    对于选项,,第80百分位数为第6位,即10,故选项错误;
    对于选项,方差为,故选项正确.
    故选:.
    11.【解答】解:由球心为线段的中点,可知圆、圆的半径相同.设球的半径为,
    圆与圆的半径为.
    对于,由题意,,
    因为,
    所以,
    解得(负值已舍去).
    所以,
    解得(负值已舍去),
    所以,故错误;
    对于,因为,所以,,三点在同一平面内,
    因为点,分别为线段,的中点,
    所以为的中位线,所以,
    所以为与所成的角,
    因为,所以,
    又,
    所以,所以,故正确;
    对于,因为,所以以为原点,分别以,所在直线为轴、轴,
    以圆中垂直于的直径所在的直线为轴,建立空间直角坐标系,如图,
    则,
    所以,
    所以,
    所以,故正确;
    对于,以为原点,以,所在直线分别为轴、轴,
    以圆中垂直于的直径所在的直线为轴,建立空间直角坐标系,如上图,
    则,
    所以,
    所以,
    所以,
    解得(负值已舍去)或(负值已舍去),
    当时,球的半径为,
    所以球的表面积;
    当时,球的半径为,所以球的表面积,故正确.
    故选:.
    三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
    12.【解答】解:是的中点,,
    ,,

    设,则,
    在上,,解得,
    ,,
    ,,,分别为,,所对边)

    ,得(当且仅当时取等),
    ,,

    故答案为:;.
    13.【解答】解:设,,,由题意可知:,,
    则直线的斜率,可知的方程为,
    同理可得:的方程为,
    联立方程,解得,即,
    因为在上,可知,关于轴对称,
    且,则,可得,
    又因为,即,
    由题意可得:,整理得,
    解得或(舍去),则,
    所以的离心率为.
    故答案为:.
    14.【解答】解:令,,则(1)(1)(1)(1),
    因为(1),所以,
    令,则(2)(1)(1),得(2),
    令,则(1),即,
    所以,
    所以
    所以,所以,即,
    是以6为周期的周期函数,
    所以(2),
    故答案为:.
    四、解答题:本题共5小题,第15小题13分,第16、17小题15分,第18、19小题17分,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
    15.【解答】解:(1)证明:根据正弦定理知,
    整理得,
    因为,
    所以,
    由正弦定理可得;
    (2)因为,所以,
    由余弦定理可得,即,
    则,
    因为,所以,所以,
    则,即,
    解得或,
    当时,,此时的面积,
    当时,,此时的面积.
    所以的面积为或.
    16.【解答】解:(1)由直方图可知,满意度的平均数为:

    (2)①摸到3个红球,返消费金额的,实际付款为,
    摸到2个红球,返消费金额的,实际付款为,
    所以的可能取值为800,900,1000,
    则,

    所以的分布列为:
    则(元;
    ②若选择方案二,记实际付款金额为,
    由题,的可能取值为800,900,950,
    因为,
    所以的分布列为:
    所以,(元,
    由①可得:,
    所以选择方案二付款更划算.
    17.【解答】解:(1)由,可得,
    时,,对也成立,
    则,;
    (2),
    则的前项和

    18.【解答】解:(1)证明:因为平面是菱形,所以,
    又因为底面,所以,,
    所以,,两两垂直,
    以为坐标原点,以,,所在的直线分别为轴、轴和轴,建立如图空间直角坐标系,
    因为,,,则,0,,
    ,3,,,0,,,,,
    ,0,,
    因为,分别为侧棱,的中点,
    所以,
    因为,所以,
    所以,,.
    所以,由向量共面的充要条件可知,,, 共面,
    又,,过同一点,所以,,,四点共面.
    (2)由点坐标可得,,,,
    又因为,所以,.
    设平面的法向量为,则,
    取,可得,,所以,
    设直线与平面所成角为,则,,
    所以,.
    19.【解答】解:(1)由,,得焦点,设抛物线上一点,
    则由抛物线的义知,,所以,解得,
    所以抛物线的方程为.
    (2)由题知,,所以抛物线过点的切线斜率为2,
    所以直线的方程为,
    所以,,,故是的中点.
    令,,,则,
    因为为的中线,所以,
    而,
    所以,所以是的重心,
    设,,因点异于,则,
    故重心的坐标为,即,
    消去得,
    故所求轨迹方程为.
    (3)易知,先讨论特殊情况,
    若直线的斜率为0,则,.
    下面证明直线的斜率不为0时,,
    设,,,,过,分别作轴的垂线,垂足为,,
    由,得:,
    即证:,即,
    而可得:,即,
    于是只需证明:.于是在△和△中,只需证明即可.
    设直线的方程为,
    与抛物线方程联立可得:,消去得:,
    所以,.

    所以,即,得证.
    综上所述.
    声明:试题解析著作权属菁优网所有,未经书面同意,不得复制发布日期:2024/5/27 15:25:28;用户:难得糊涂;邮箱:hncjs191@xyh.cm;学号:23578998800
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