2024年湖南省长沙市长郡教育集团高考数学三模试卷

这是一份2024年湖南省长沙市长郡教育集团高考数学三模试卷，共4页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．已知集合A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|﹣2＜x＜1}，则集合∁A∪B（A∩B）＝（ ）
A．（﹣1，1）B．（﹣2，2）
C．（﹣2，﹣1）∪（1，2）D．（﹣2，﹣1]∪[1，2）
2．已知复数z＝2i•（1﹣i），则复数在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．样本数据16，24，14，10，20，15，12，14的上四分位数为（ ）
A．14B．15C．16D．18
4．已知cs(α+π6)=13，则sin(π3-α)+sin(2α-π6)=（ ）
A．109B．-49C．23D．65
5．已知向量a→=(1，1)，b→=(0，t)，若a→⊥(a→+2b→)，则|b→|=（ ）
A．22B．1C．2D．2
6．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2≥a1＞0，S20＝100，则a10a11（ ）
A．有最小值25B．有最大值25
C．有最小值50D．有最大值50
7．已知三棱锥A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，AB＝4，BC＝3，CD＝5，BD＝7，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A．196π3B．244π3C．196π5D．244π5
8．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：（x﹣1）2+y2＝4，若直线l：x+y+m＝0上有且只有一个点P满足：过点P作圆C的两条切线PM，PN，切点分别为M，N，且使得四边形PMCN为正方形，则正实数m的值为（ ）
A．1B．22C．3D．7
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
（多选）9．下列说法正确的是（ ）
A．某校高一年级共有男女学生500人，现按性别采用分层抽样的方法抽取容量为50人的样本，若样本中男生有30人，则该校高一年级女生人数是200
B．数据1，3，4，5，7，9，11，16的第75百分位数为10
C．线性回归方程中，若线性相关系数r越大，则两个变量的线性相关性越强
D．根据分类变量x与y的成对样本数据，计算得到χ2＝3.937，根据小概率值α＝0.05的独立性检验（x0.05＝3.841），可判断x与y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05
（多选）10．瑞士数学家Jakb Bernulli于17世纪提出如下不等式：∀x＞﹣1，有(1+x)r≥1+rx，r≥1(1+x)r≤1+rx，0≤r≤1，请运用以上知识解决如下问题：若0＜a＜1，0＜b＜1，a≠b，则以下不等式正确的是（ ）
A．aa+bb＞1B．ab+ba＞1
C．aa+bb＞ab+baD．aa+bb＜ab+ba
（多选）11．若定义在R上的连续函数f（x）满足对任意的实数a，b都有f（a+b）＝f（a）•f（b）且f（1）＝2，则下列判断正确的有（ ）
A．函数f（x）的图象关于原点对称
B．f（x）在定义域上单调递增
C．当x∈（0，+∞）时，f（x）＞1
D．f(2)f(1)+f(4)f(3)+f(6)f(5)+⋯+f(2022)f(2021)+f(2024)f(2023)=2024
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．根据国家“乡村振兴战略”提出的“推动城乡义务教育一体化发展，高度重视农村义务教育”，某师范大学4名毕业生主动申请到某贫困山区的乡村小学工作，若将这4名毕业生分配到该山区的3所乡村小学，每所学校至少分配1人，则不同分配方案的总数为 ．
13．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，延长CD至E，使得DE＝2CD．动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点，AP→=λAB→+μAE→．则λ+μ的取值范围为 ．
14．如图所示，直角三角形ABC所在平面垂直于平面α，一条直角边AC在平百α内，另一条直角边BC长为33且∠BAC=π6，若平面α上存在点P，使得△ABP的面积为33，则线段CP长度的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．在△ABC中，角A，B，C所对应的分别为a，b，c，已知tanC+3=tanB(3tanC﹣1），
（1）求角A．
（2）若a=3，△ABC所在平面内有一点D满足∠BDC=23π，且BC平分∠ABD，求△ACD面积的取值范围．
16．已知某科技公司的某型号芯片的各项指标经过全面检测后，分为Ⅰ级和Ⅱ级，两种品级芯片的某项指标的频率分布直方图如图所示：
若只利用该指标制定一个标准，需要确定临界值K，按规定须将该指标大于K的产品应用于A型手机，小于或等于K的产品应用于B型手机．若将Ⅰ级品中该指标小于或等于临界值K的芯片错误应用于A型手机会导致芯片生产商每部手机损失800元；若将Ⅱ级品中该指标大于临界值K的芯片错误应用于B型手机会导致芯片生产商每部手机损失400元；假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．
………………………………………………………………………可以，按要求填写信息！
（1）设临界值K＝60时，将1个Ⅰ级品芯片和1个Ⅱ级品芯片分别应用于A型手机和B型手机．求两部手机有损失的概率（计算结果用小数表示）；
（2）设K＝x，且x∈[50，55]，现有足够多的芯片Ⅰ级品、Ⅱ级品，分别应用于A型手机、B型手机各1万部的生产，试估计芯片生产商损失费用的最小值．
17．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝AA1，M，N分别为BC和BB1的中点，P为棱A1C1上的动点，AN⊥A1C1．
（1）证明：平面ANP⊥平面A1MP；
（2）设A1P→=λA1C1→，是否存在实数λ，使得平面AA1B1B与平面PMN所成的角的余弦值为63？
18．已知函数fn(x)=xn+xn-1+⋯+⋯+x-1(n∈N+)．
（1）判断并证明fn（x）的零点个数；
（2）记fn（x）在（0，+∞）上的零点xn，求证：
（i）{xn}是一个递减数列；
（ii）n+12+x1+x2+⋯+xn＜n2+1．
19．已知双曲线Γ：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的左焦点为F1(-3，0)，点M(2，6)在双曲线上，直线l与双曲线Γ交于A，B两点．
（1）若l经过点（﹣2，0），且∠AOB＝90°，求|AB|；
（2）若l经过点F1，且A，B两点在双曲线Γ的左支上，则在x轴上是否存在定点Q，使得QA→⋅QB→为定值．若存在，请求出△QAB面积的最小值；若不存在，请说明理由．
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