高中苏教版 (2019)4.1 指数优秀学案设计

这是一份高中苏教版 (2019)4.1 指数优秀学案设计，文件包含第07讲指数与对数教师版-数学同步讲义苏教版必修一docx、第07讲指数与对数学生版-数学同步讲义苏教版必修一docx等2份学案配套教学资源，其中学案共20页， 欢迎下载使用。

知识点一：指数
1．n次实数方根
如果一个实数x满足xn＝a，那么称x为a的n次实数方根，其中n＞1且n∈N*.
2．n次实数方根的性质
(1)当n为奇数时，正数的n次实数方根是一个正数，负数的n次实数方根是一个负数，这时，a的n次实数方根只有一个，用符号eq \r(n,a)表示．
(2)当n为偶数时，正数的n次实数方根有两个，它们互为相反数，这时，正数a的正的n次实数方根用符号eq \r(n,a)表示，负n次实数方根用符号－eq \r(n,a)表示．它们可合并写成±eq \r(n,a)
(a＞0)．
(3)0的n次实数方根等于0，记作 eq \r(n,0)＝0.
3．根式的定义
式子eq \r(n,a)叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数．
4．两个等式
(1)n∈N*，n≥2，(eq \r(n,a))n＝a.
(2)n为奇数时，eq \r(n,an)＝a，n为偶数时，eq \r(n,an)＝|a|.
5．分数指数幂的意义
一般地，我们规定＝eq \r(n,am)(a>0，m，n均为正整数)；＝ (a>0，m，n均为正整数).
0的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂没有意义．
6．有理数指数幂的运算性质
(1)as·at＝as＋t，(2)(as)t＝ast，(3)(ab)t＝atbt.
其中a，b，s，t的取值范围是a＞0，b＞0，s，t∈Q.
知识点二：对数
1．对数的概念
一般地，如果a(a>0，a≠1)的b次幂等于N，即ab＝N，那么就称b是以a为底N的对数，记作lgaN＝b，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
2．常用对数与自然对数
通常将以10为底的对数称为常用对数，为了简便起见，对数lg10N简记为lg_N.
在科学技术中，常常使用以e为底的对数，这种对数称为自然对数(其中e＝2.718 28…是一个无理数)，正数N的自然对数lgeN一般简记为ln_N.
3．对数与指数的关系
若a＞0，且a≠1，则ax＝N⇔lgaN＝x.
对数恒等式：algaN＝N；lgaax＝x(a＞0，且a≠1)．
4．对数的性质
(1)零和负数无对数，即真数N＞0.
(2)底的对数为1,1的对数为0，即lgaa＝1，lga1＝0(a＞0且a≠1)．
知识点三：对数运算
1．对数的运算性质：如果a＞0且a≠1，M＞0，N>0，n∈R，那么
(1)lga(MN)＝lgaM＋lgaN；
(2)lgaeq \f(M,N)＝lgaM－lgaN；
(3)lgaMn＝nlgaM.
2．换底公式：若a＞0且a≠1，N＞0，c＞0且c≠1，则lgaN＝eq \f(lgcN,lgca).
【典型例题】
考点一：根式的运算
的值是（ ）
B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用指数幂的运算性质化简即可.
【详解】
．
故选：A
化简(其中，)的结果是（ ）
B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据给定条件化根式为分数指数幂，再借助幂的运算法则计算即得.
【详解】
因，，所以.
故选：C
有下列四个式子：
① ；
② ；
③ ；
④
其中正确的个数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用公式进行求解.
【详解】
① 正确；② ，② 错误；③ ，③ 错误；④ ，若，则，若，则，故④ 错误．
故选：A
若，则________.
【答案】
【解析】
【分析】
由题意列方程组，求解，然后代入计算即可得答案.
【详解】
∵，，且，
∴，
∴
故答案为：
若有意义，则a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据根式、幂的定义判断．
【详解】
由题意可知，且，∴a的取值范围是且．
故选：B．
若有意义，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
将分式指数幂化为根式，结合根式的性质可得出关于实数的不等式，即可解得实数的取值范围.
【详解】
由负分数指数幂的意义可知，，
所以，即，因此的取值范围是．
故选：C.
化简下列各式（，，，）：
（1）；（2）；
（3）；（4）；
（5）；（6）；
（7）；（8）.
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）或；（7）或；（8）.
【解析】
【分析】
（1）（2）（3）用同底数幂相乘的法则计算；（4）（5）用幂的乘法的法则计算；（6）（7）用积的乘方的法则计算；（8）用积的乘方与同底数幂的除法法则计算.
【详解】
（1）；（2）；（3）（4）；（5）；
（6）；
（7）；
（8）.
已知实数满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据二次根式的运算求解.
【详解】
设，，
，，
，
.
.
又，，
，.
故选：D
考点二：条件求值问题
已知（），则的值等于（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
对其（）两边平方，可知，又，即可求出，进而求出结果.
【详解】
由（），得，
因为，故．
又，且，
所以．于是．
故选:D.
已知是方程的两个实数根，且，则____．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意得到，根据，结合不等式的性质，即可求解.
【详解】
因为是方程的两个实数根，所以，
由，
又因为，所以，所以．
故答案为：.
若，，则的值为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由求出，结合指数幂公式可分别求出，进而得解.
【详解】
由，，得，，，．
故．
故选：C
考点三：对数的概念
在N＝lg(5－b)(b－2)中，实数b的取值范围是( )
A．b<2或b>5 B．2C．4答案 D
解析 ∵eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b－2>0，,5－b>0，,5－b≠1，))∴2考点四：对数基本性质的应用
①；②；③若，则；④若，则．其中正确的是（ ）
A．①③B．②④C．①②D．③④
【答案】C
【解析】
【分析】
根据对数的运算性质计算逐一判断可得选项.
【详解】
解：对于①，，故①正确；
对于②，，故②正确；
对于③，若，则，故③不正确；
对于④，若，则，故④不正确．
故选：C.
若，则x的值等于（ ）
A．10B．13C．100D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用对数的性质得，即可求的值.
【详解】
由，得，
所以．
故选：B
若，则x=___________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据对数的运算法则求解.
【详解】
解：
，解得：
故答案为：
考点五 ：对数式与指数式的互化
已知，则（ ）
A．2B．3C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
指数式化为对数式，得出结果.
【详解】
因为，所以.
故选：D
考点六：对数运算性质的应用
计算___________
【答案】##0.5
【解析】
【分析】
利用对数运算及指数式与对数式互化计算作答
【详解】
.
故答案为：
已知.
（1）求lg45的值；
（2）求的值．
【答案】（1）1.6532；（2）0.8266.
【解析】
【分析】
（1）根据对数的运算算出答案即可；
（2）根据对数的运算算出答案即可.
【详解】
（1）lg45＝＝lg90－lg2＝1＋2lg3－lg2≈1＋2×0.4771－0.3010＝1.6532.
（2）lg＝lg45=×1.6532＝0.8266.
不用计算器，求下列各式的值：
（1）；（2）；（3）.
【答案】（1）2；（2）1；（3）1.
【解析】
【分析】
（1）根据换底公式的应用求值即可；
（2）利用对数的运算性质计算即可；
（3）提出，根据可得解.
【详解】
（1）；
（2）；
（3）；
考点七：换底公式的应用
若3x＝4y＝36，则＝________.
【答案】1
【解析】
【分析】
先求出＝lg63，＝lg62，再求的值.
【详解】
而，
所以，
即，
故选：A.
设a，b，c都是正数，且，那么（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【解析】
【分析】
利用与对数定义求出，，，再根据对数的运算性质可得，然后进行化简变形即可得到.
【详解】
由于，，都是正数，故可设，
，，，则，，.
，，即，去分母整理得，.
故选AD.
【点睛】
本题考查对数的定义及运算性质，属于基础题.
已知，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由换底公式和对数运算法则进行化简计算.
【详解】
由换底公式得：，，其中，，故
故选：C
已知，，，则______
【答案】
【解析】
由，，得：，，，，所以
故答案为：
考点八：文化素养
农业农村部于年月日发布信息：全国按照主动预防、内外结合、分类施策、有效处置的总体要求，全面排查蝗灾隐患．为了做好蝗虫防控工作，完善应急预案演练，专家假设蝗虫的日增长率为，最初有只，则大约经过（ ）天能达到最初的倍．（参考数据：，，，．）
A．B．C．D．
【答案】A
由题意可知，蝗虫最初有只且日增长率为，设经过天后蝗虫数量达到原来的倍，
则，，，
,大约经过天能达到最初的倍．
故选：A
在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足A．20%B．23%C．28%D．50%
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意写出算式，再利用对数的换底公式及题中的数据可求解.
【详解】
将信噪比从1000提升至5000时，C大约增加了
.
故选：B.