高中数学苏教版必修11.2 子集、全集、补集学案及答案

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1．子集、真子集
(1)相关概念：
[点拨] (1)真子集定义中的A≠B的含义是“B中至少有一个元素不在A中”．
(2)性质：①任何一个集合A是它本身的子集，即A⊆A.
②空集是任何集合A的子集，即∅⊆A.
2．补集
[点拨] A在S中的补集是建立在A⊆S的基础上的．
3．全集
如果集合S包含我们所要研究的各个集合，这时S可以看做一个全集，全集通常记作U.
【典型例题】
考点一：子集与真子集
1．写出下列集合的所有子集：
； ； ．
【答案】，；，，，；，，，，，，，.
【解析】
【分析】
根据所给集合列出相应子集即可.
【详解】
解：，.
，，，.
，，，，，，，.
2．已知，，，，写出所有满足上述条件的集合．
【答案】或或或.
【解析】
【分析】
根据题意可知，进而求出集合.
【详解】
解：因为，，
则，
又由，，可知，即，
所以或或或.
考点二：补集
1. 已知A＝{0,2,4,6}，∁UA＝{－1，－3,1,3}，∁UB＝{－1,0,2}，用列举法写出集合B.
解 ∵A＝{0,2,4,6}，∁UA＝{－1，－3,1,3}，
∴U＝{－3，－1,0,1,2,3,4,6}．
而∁UB＝{－1,0,2}，
∴B＝∁U(∁UB)＝{－3,1,3,4,6}．
2.已知全集U＝R，集合M＝{x|x＜－2或x≥2}，则∁UM＝________.
解析：把集合M在数轴上画出来(如图)，
由数轴知∁UM＝{x|－2≤x＜2}．
答案：{x|－2≤x＜2}
3．下列四个命题中，其中真命题的个数为（ ）
①与0非常接近的全体实数能构成集合；
②表示一个集合；
③空集是任何一个集合的真子集；
④任何一个非空集合至少有两个子集．
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】C
【解析】
【分析】
根据集合定义，空集性质以及非空集合子集个数为即可得结果.
【详解】
①与0非常接近的全体实数不确定，所以不能构成集合，错误；
②，正确；
③空集是任何非空集合的真子集，错误；
④对于非空集合，至少有一个元素，所以子集的个数为，正确.
故选：C
考点三：子集的个数
1．集合P={1，2，3}的子集的个数是（ ）
A．3B．4C．7D．8
【答案】D
【解析】
【分析】
根据子集的定义判断．
【详解】
集合的子集可以是空集，1个，可以含有一个元素，，有3个，可能含有2个元素，，有3个，也可能含有3个元素，，有一个，共有8个。
故选：D．
2．已知集合，则的子集个数为（ ）
A．3B．C．7D．8
【答案】B
【解析】
【分析】
先求出，再按照子集个数公式求解即可.
【详解】
由题意得：，则的子集个数为个.
故选：B.
3．已知集合，则集合A的真子集个数为（ ）
A．16B．15C．8D．7
【答案】D
【解析】
【分析】
利用真子集的计算公式即可计算出结果.
【详解】
由题意得集合所以集合的真子集个数为：．
故选：D．
考点四：集合间关系的判断
1．下列关系式错误的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【解析】
【分析】
由元素和集合之间的关系以及集合和集合之间的关系判断4个选项即可.
【详解】
A选项由于符号用于元素与集合间，是任何集合的子集，所以应为，A错误；
B选项根据子集的定义可知正确；
C选项由于符号用于集合与集合间，C错误；
D选项是整数集，所以正确.
故选：AC.
2．下列关系式正确的为（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【解析】
【分析】
根据任何集合是它本身的子集，即可判断A；根据集合和空集的定义，即可判断B；根据元素和集合间的关系，即可判断C；根据空集是任何集合的子集，即可判断D，从而得出答案.
【详解】
解：对于选项A，由于任何集合是它本身的子集，所以，故A正确；
对于选项B，是指元素为0的集合，而表示空集，是指不含任何元素的集合，
所以，故B错误；
对于选项C，是指元素为0的集合，所以，故C正确；
对于选项D，由于空集是任何集合的子集，所以，故D正确.
故选：ACD.
3.设集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据集合的描述确定、的元素，进而判断它们的包含关系即可.
【详解】
由且，即，而，
所以为的子集，则.
故选：A
4．若集合，，则集合与的关系是（ ）
A．B．C．D．不确定
【答案】C
【解析】
【分析】
由集合间子集关系的判断方法判断即可．
【详解】
解：B＝{y|y＝6m+5，m∈Z}＝{x|x＝6m+5，m∈Z}，
任意x∈B，则存在m∈Z，使x＝6m+5，
而x＝6m+5＝3（2m+2）﹣1∈A，
故B⊆A，
又∵2∈A，2∉B，
∴A＝B，A⊆B都不正确，
故选：C．
考点五:由集合间关系求参数值(或范围)
1．已知集合，集合．若，则实数m的取值集合为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据是的子集列方程，由此求得的取值集合.
【详解】
由于，所以，
所以实数m的取值集合为.
故选：C
2．已知集合．
(1)若，求实数a的取值范围；
(2)若，求实数a的取值范围；
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】
【分析】
（1）由与，以及为的子集，确定出的范围即可；
（2）由与，以及为的子集，确定出的范围即可；
（3）分别求出与的补集，根据补集为补集的真子集，确定出的范围即可．
(1)
，；
(2)
，；
3．设集合，，且．
(1)求实数的取值范围；
(2)当时，求集合A的子集的个数．
【答案】(1){或}
(2)
因为集合仅有两个不同子集，所以集合中仅有个元素，
当时，，所以，满足要求；
当时，，所以，此时方程解为，即，满足要求，
所以或，
故答案为：或.
6．已知集合，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值有（ ）
A．-2B．-1C．0D．1
【答案】BCD
【解析】
【分析】
根据条件可知集合中仅有一个元素，由此分析方程为一元一次方程、一元二次方程的情况，从而求解出的值.
【详解】
因为集合仅有个子集，所以集合中仅有一个元素，
当时，，所以，所以，满足要求；
当时，因为集合中仅有一个元素，所以，所以，此时或，满足要求，
故选：BCD.
考点六：新定义
1．对于两个非空数集A、B，定义点集如下：A×B＝{（x，y）|x∈A，y∈B}，若A＝{1，3}，B＝{2，4}，则点集A×B的非空真子集的个数是（ ）个.
A．14B．12C．13D．11
【答案】A
【解析】
根据A×B＝{（x，y）|x∈A，y∈B}，得到A×B的元素的个数求解.
【详解】
∵A×B＝{（x，y）|x∈A，y∈B}，且A＝{1，3}，B＝{2，4}，
所以A×B＝{（1，2），（1，4），（3，2），（3，4）}，
共有四个元素，
则点集A×B的非空真子集的个数是：24﹣2＝14.
故选：A.
2．已知集合，非空集合满足：（1）；（2）若，则，则集合的个数是（ ）
A．7B．8C．15D．16
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意把中元素按相反数分成4组，这4组元素中一定是一组元素全属于或全不属于，由此结合集合的子集的性质可得的个数．
【详解】
满足条件的集合应同时含有或或或0，又因为集合非空，所以集合
的个数为个，
故选：.
3．含有有限个元素的数集，定义“元素和”如下：把集合中的各数相加；定义“交替和”如下：把集合中的数按从大到小的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数.例如{4，6，9}的元素和是4+6+9=19；交替和是9-6+4=7；而{5}的元素和与交替和都是5.
（1）写出集合{1，2，3}的所有非空子集的交替和的总和；
（2）已知集合，根据提示解决问题.
①求集合所有非空子集的元素和的总和；
提示：方法1：，先求出在集合的非空子集中一共出现多少次，进而可求出集合所有非空子集的元素和的总和；方法2：如果我们知道了集合{1，2，3，4，5}的所有非空子集的元素和的总和为，可以用表示出的非空子集的元素和的总和，递推可求出集合所有非空子集的元素和的总和.
②求集合所有非空子集的交替和的总和.
集合{1，2}的所有非空子集的交替和，
集合{1，2，3}的非空子集的交替和，
集合{1，2，3，4}的非空子集的交替和
所以根据前4项猜测集合的所有非空子集的交替和总和为，
所以集合所有非空子集的交替和的总和
定义
符号表示
图形表示
子集
如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素(若a∈A，则a∈B)，那么集合A称为集合B的子集
eq \b\lc\ \rc\ (\a\vs4\al\c1(A⊆B或,B⊇A))
真子集
如果A⊆B，并且A≠B，那么集合A称为集合B的真子集
AB或
BA
文字表示
设A⊆S，由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集，记为∁SA，读作A在S中的补集
符号表示
∁SA＝{x|x∈S，且x∉A}
图形表示