高中数学苏教版必修11.3 交集、并集导学案

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【知识梳理】
1．交集与并集的概念
[点拨]
(1)两个集合的并集、交集也是一个集合．
(2)对于A∪B，不能认为是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合．因为A与B可能有公共元素，每一个公共元素只能算一个元素．
(3)当集合A与B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是A∩B＝∅.
2．交集和并集的性质
3．数集的区间表示
设a，b是两个实数，且a＜b，我们规定：
[点拨]
(1) 数轴上闭区间的端点用实心点表示，开区间的端点用空心点表示，要注意区别；
(2) 区间的左端点一定小于区间的右端点；
(3) 集合{x|x≥a}不能写成闭区间[a，＋∞]．
【典型例题】
考点一： 集合的交、并运算
设集合A＝{x|－5≤x≤2}，B＝{x||x＋3|＜3}，则A∪B＝（ ）
A．[－5，0）B．（－6，2]C．（－6，0）D．[－5，2）
【答案】B
【解析】
【分析】
解出集合B，由集合的并集运算求解即可.
【详解】
解：由可得，解得，
所以，
所以A∪B＝，
故选：B.
设集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据两集合元素的特征判断即可；
【详解】
解：因为集合为点集，集合为数集，所以，
故选：D
已知全集为，集合，集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用题意首先求得补集，然后进行交集运算即可求得最终结果.
【详解】
集合，4，，集合，，
由补集的定义可得：，，，
然后进行交集运算可得：.
故选：C.
考点二： 由集合的并集、交集求参数
已知集合，，若，则实数a的值为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【解析】
【分析】
根据集合的交集运算即可解出．
【详解】
因为，所以或，解得：．
故选：C．
已知，，，则实数的取值范围是______
【答案】或
【解析】
【分析】
由可得，根据题意可得到端点的大小关系，得到不等式，从而可得答案.
【详解】
由题意 ，则
要使得，则或
解得或
故答案为：或
设，，若，则实数的值______．
【答案】0，，.
【解析】
【分析】
解出集合，由，可得出，然后分和两种情况讨论，可得出实数的值.
【详解】
，
且，
.
当时，则，此时成立；
当时，则，
此时，
则有或，解得或.
因此，实数的取值是或或.
故答案为：0，，.
已知集合A＝{x|2≤x≤8}，B＝{x|1a}，U＝R.
(1)求A∪B，；
(2)若A∩C≠∅，求a的取值范围.
【答案】(1)A∪B＝{x|1(2){a|a<8}
【解析】
【分析】
（1）根据集合的交并补的定义，即可求解；
（2）利用运算结果，结合数轴，即可求解.
(1)
A∪B＝{x|2≤x≤8}∪{x|1∵＝{x|x<2或x>8}，
∴∩B＝{x|1(2)
∵A∩C，作图易知，只要a在8的左边即可，
∴a<8.
∴a的取值范围为{a|a<8}.
已知集合，．
(1)若，求；
(2)若，求a的取值范围．
【答案】(1)或
(2)
【解析】
【分析】
（1）首先得到集合，再根据补集、并集的定义计算可得；
（2）依题意可得，分与两种情况讨论，分别得到不等式，解得即可；
(1)
解：由题意当时得，因为，所以或，所以或．
(2)
解：因为，所以，
①当时，，解得，符合题意；．
②当时，，解得．
故的取值范围为．
已知集合A＝{0，1，2，3，4}，B＝{x|x＞m}，若有三个元素，则实数m的取值范围是（ ）
A．[3，4）B．[1，2）C．[2，3）D．（2，3]
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意，由集合B可得，又由有三个元素，由交集的意义分析可得m的取值范围，即可得答案．
【详解】
根据题意则A={0，1，2，3，4}，B＝{x|x＞m}，，
若有三个元素，则有，
即实数m的取值范围是[2，3）；
故选：C
已知集合若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
求出，以及集合C中元素范围，再根据列不等式求解即可.
【详解】
解：由已知，
又
，得.
故选：C.
已知集合A＝{x|－2≤x≤5}， B＝{x|m＋1≤x≤m＋3}．
（1） 若B⊆A，求实数m的取值范围；
（2） 当x∈Z时，求A的非空真子集个数；
（3） 当x∈R时，没有元素x使x∈A与x∈B同时成立，求实数m的取值范围．
【答案】（1）{m|－3≤m≤2} ；（2）254 ；（3）{m|m<－5或m>4}．
【解析】
【分析】
（1）由题可得，即求；
（2）当时，，再求的非空真子集个数；
（3）由题可知，结合条件即得.
【详解】
（1）要使B⊆A成立，则，解得－3≤m≤2，
所以实数m的取值范围是{m|－3≤m≤2}．
（2） 当x∈Z时，A＝{－2， －1， 0， 1， 2， 3， 4， 5}，所以A的非空真子集的个数为28－2＝254．
（3） 因为x∈R，且A＝{x|－2≤x≤5}， B＝{x|m＋1≤x≤m＋3}，又没有元素使x∈A与x∈B同时成立，即，
∴m＋3＜－2或m＋1＞5，
解得m＜－5或m＞4，
即实数m的取值范围是{m|m<－5或m>4}．
已知集合，，，且.
（1）求实数的值；
（2）若，求实数的值.
【答案】（1）；（2）或或.
【解析】
【分析】
（1）根据集合并集的运算性质，结合集合元素的互异性进行求解即可；
（2）根据集合交集的定义，结合子集的性质进行求解即可.
【详解】
（1）∵，
∴，
∴或，
解之得或或，
经检验或不符合集合元素的互异性，舍去，
故.
（2）由（1）可得，
∵，
当时，适合题意，故，
当时，，得或，
所以或，
∴实数的值为或或.
所以.
故选：C
若非空且互不相等的集合A、B、C，满足：，则（ ）
A．AB．BC．CD．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意，得到且，得出，结合交集的概念，即可求解.
【详解】
由题意，非空且互不相等的集合，
因为，可得；又因为，可得，
所以，所以.
故选：C.
若全集为，集合则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【解析】
【分析】
根据给定条件，利用子集、交集、并集、补集的定义及性质直接求解作答.
【详解】
因集合，则有，A正确；
全集为，则，又，则有，B正确；
因，，因此，不正确，C不正确；
因，则，而，则正确，D正确.
故选：ABD
已知､均为实数集的子集，且，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【解析】
【分析】
由题可知，利用包含关系即可判断.
【详解】
∵
∴，
若是的真子集，则，故A错误；
由可得，故B正确；
由可得，故C错误，D正确.
故选：BD.
考点四：实际应用
学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加径赛，有8人参加田赛，有14人参加球类比赛，同时参加参加径赛和田赛有3人，同时参加径赛和球类比赛有3人，没有人同时参加三项比赛.只参加球类比赛的人数为（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】C
【解析】
【分析】
由容斥原理求解
【详解】
子集M与N，且满足，，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称为戴德金分割试判断，对于任一戴德金分割，下列选项中，可能成立的是（ ）
A．M没有最大元素，N有一个最小元素
B．M没有最大元素，N也没有最小元素
C．M有一个最大元素，N有一个最小元素
D．M有一个最大元素，N没有最小元素
【答案】ABD
【解析】
【分析】
举特例根据定义分析判断，进而可得到结果．
【详解】
令，，显然集合M中没有最大元素，集合N中有一个最小元素，即选项A可能；
令，，显然集合M中没有最大元素，集合N中也没有最小元素，即选项B可能；
假设答案C可能，即集合M、N中存在两个相邻的有理数，显然这是不可能的；
令，，显然集合M中有一个最大元素，集合N中没有最小元素，即选项D可能.
故选：ABD．
名称
表示
交集
并集
自然语言
由所有属于集合A且属于集合B的元素构成的集合
由所有属于集合A或属于集合B的元素构成的集合
符号语言
A∩B＝{x|x∈A且x∈B}
A∪B＝{x|x∈A或x∈B}
读法
A交B
A并B
Venn 图
交集的性质
并集的性质
A∩B⊆A A∩B⊆B
A⊆A∪B B⊆A∪B
A∩B＝B∩A
A∪B＝B∪A
A∩A＝A
A∪A＝A
A∩∅＝∅
A∪∅＝A
A⊆B⇔A∩B＝A
A⊆B⇔A∪B＝B
定义
名称
符号
数轴表示
{x|a≤x≤b}
闭区间
[a，b]
{x|a＜x＜b}
开区间
(a，b)
{x|a≤x＜b}
半开半闭区间
[a，b)
{x|a＜x≤b}
半开半闭区间
(a，b]
{x|x≥a}
[a，＋∞)
{x|x＞a}
(a，＋∞)
{x|x≤b}
(－∞，b]
{x|x＜b}
(－∞，b)
R
(－∞，＋∞)
取遍数轴上所有的值