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苏教版 (2019)必修 第一册2.1 命题、定理、定义学案设计
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这是一份苏教版 (2019)必修 第一册2.1 命题、定理、定义学案设计，文件包含第04讲常用逻辑用语教师版-数学同步讲义苏教版必修一docx、第04讲常用逻辑用语学生版-数学同步讲义苏教版必修一docx等2份学案配套教学资源，其中学案共15页， 欢迎下载使用。
知识点一 命题
(1)命题定义：在数学中，我们将可以判断真假的陈述句叫作命题．
(2)分类：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(真命题：判断为真的语句.,假命题：判断为假的语句.))
特别提醒：(1)判断一个语句是否为命题的两个要素：
①是陈述句，表达形式可以是符号、表达式或语言；
②可以判断真假．
(2)真命题可以给出证明，假命题只需举出一个反例即可．
命题的形式
命题的一般形式为“若p，则q”，其中p叫做命题的条件，q叫做命题的结论．
知识点二 充分条件与必要条件
知识点三 充要条件的概念
(1)定义：若p⇒q且q⇒p，则记作p⇔q，此时p是q的充分必要条件，简称充要条件．
(2)条件与结论的等价性：如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．
知识点四 全称量词与全称命题
知识点五 存在量词与特称命题
知识点六 全称量词命题的否定
知识点七 存在量词命题的否定
【典型例题】
考点一： 命题的真假判断
如果，那么”是__________命题.（填“真”或“假”）
【答案】真
【解析】
【分析】
直接根据不等式的性质即可得出结论.
【详解】
解：因为，则，
所以，
所以如果，那么”是真命题.
故答案为：真.
下列命题是假命题的为（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】
对选项逐一分析，从而确定正确选项.
【详解】
A选项，若，则，A正确.
B选项，若，则，B错误.
C选项，时，不能得到，C错误.
D选项，，但，D错误.
故选：BCD
若命题“方程ax2－3x＋2＝0有两个不相等的实数根”为真，求实数a的取值范围．
【答案】且.
【解析】
【分析】
方程ax2－3x＋2＝0有两个不相等的实数根，说明是一元二次方程，根的判别式大于0，进而求出结果.
【详解】
由题意知，解得a＜，且a≠0，故实数a的取值范围是且.
考点二： 充要条件的判断
已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
先解不等式，再根据充分条件和必要条件的定义即可判断.
【详解】
对于不等式，可解得或.
所以可以推出，而不可以推出.
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】
【分析】
根据充分与必要条件的概念，举例判断即可
【详解】
当时，满足，但不满足；又当时，满足，但不满足.故“”是“”的既不充分也不必要条件
故选：D
“”是关于的不等式的解集为R的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．非充分非必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
取，时可判断充分性；当不等式的解集为R时，分，，讨论可判断必要性.
【详解】
若，取时，不等式，此时不等式解集为；
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
当，且时，不等式，
所以，若关于的不等式的解集为R，则.
综上，“”是关于的不等式的解集为R的必要非充分条件.
故选：B
“a<－1”是“方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个实数根”的（ ）
A．必要不充分条件B．充分不必要条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
讨论，，可得“方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个实数根”等价于“”再根据充分条件、必要条件的定义即可得出结果.
【详解】
当时，方程即为，解得；
当时，，得，；
所以“方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个实数根”等价于“”
“”能推出“方程至少有一个实数根”，反之不成立；
所以“”是“方程至少有一个实数根”的充分不必要条件.
故选：B.
王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的（ ）
A．充分条件B．必要条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
“返回家乡”的前提条件是“攻破楼兰”，即可判断出结论.
【详解】
“返回家乡”的前提条件是“攻破楼兰”，
故“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要不充分条件
故选：B
6．2020年11月13日，中共中央总书记、国家主席、中央军委主席习近平来到扬州考察调研．在运河三湾生态文化公园，习近平听取大运河沿线环境整治、生态修复及现代航运示范区建设等情况介绍，沿运河三湾段岸边步行，察看运河生态廊道建设情况，了解大运河文化保护传承利用取得的成效．在码头，习近平同市民群众亲切交流，称赞“扬州是个好地方”．这里的“扬州”是“好地方”的什么条件（ ）
A．充分条件B．必要条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
根据充分性和必要性的定义，结合题意，即可容易判断.
【详解】
根据题意，“扬州”一定是“好地方”，故满足充分性；
但是“好地方”，无法得出一定是“扬州”，故不满足必要性；
综上所述：“扬州”是“好地方”的充分条件.
故选：.
考点三： 由条件关系求参数取值范围
若“”是“”的充要条件，则实数m的取值是_________．
【答案】0
【解析】
【分析】
根据充要条件的定义即可求解.
【详解】
，
则{x|}＝{x|}，
即.
故答案为：0.
若不等式的一个充分条件为，则实数a的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据含绝对值不等式的解法，求解不等式的解集，结合充分条件，列出关系式，即可求解.
【详解】
由不等式，
当时，不等式的解集为空集，显然不成立；
当时，不等式，可得，
要使得不等式的一个充分条件为，则满足，
所以，即
∴实数a的取值范围是.
故答案为：.
设：，：（）．若是的必要条件，则m的取值范围是______．
【答案】
【解析】
②，则且，.
综上所述，或．
已知其中.
(1)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围；
(2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由题意可得A⫋B，所以从而可求出实数的取值范围，
（2）由题意可得B⫋A，然后分a=0，a>0和a<0三种情况求解即可
(1)
设命题p：A={x|x 2>0}，即p：A={x|x>2}，命题q：B={x|ax 4>0}，
因为p是q的充分不必要条件，所以A⫋B，.
即解得a>2
所以实数a的取值范围为
(2)
由（1）得p：A={x|x>2}，q：B={x|ax 4>0}，
因为是的必要不充分条件，
所以B⫋A，
①当a=0时，B=，满足题意；
②当a>0时，由B⫋A，得.>2，即0③当a<0时，显然不满足题意.
综合①②③得，实数a的取值范围为
考点四：充要条件的探求与证明
“方程x2－2x－a＝0无实根”的充要条件是________．
答案 a<－1
解析 因为方程x2－2x－a＝0无实根，所以有Δ＝4＋4a<0，解得a<－1.反之，若a<－1，则Δ<0，方程x2－2x－a＝0无实根．
故“方程x2－2x－a＝0无实根”的充要条件是a<－1.
求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
证明 充分性：∵ac<0，∴一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac>0，
∴方程一定有两个不等实根，
设两实根为x1，x2，则x1x2＝eq \f(c,a)<0，
∴方程的两根异号，
即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．
必要性：∵方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，
设两实根为x1，x2，则由根与系数的关系得x1x2＝eq \f(c,a)<0，且Δ＝b2－4ac>0，
即ac<0.
综上可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
考点五：全称量词命题与存在量词命题的否定
已知命题则命题p的否定是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由存在量词命题的否定为全称量词命题即可求解.
【详解】
因为命题是存在量词命题，
则命题p的否定是：
故选：C
命题“”的否定是_________．
(2)
(3)
【解析】
【分析】
（1）当为真命题时，，求解即可；
（2）当命题为假命题时，，求解即可；
（3）先求出命题与命题均为假命题时的取值的范围，再求出补集即可求解
(1)
若命题为真命题，
则，解得，
所以实数的取值范围是；
(2)
若命题为假命题，
则，解得，
所以实数的取值范围是；
(3)
由（1）（2）可知命题与命题均为假命题时，则
或，
解得，
故命题与命题中至少有一个为真命题，
则或
所以实数的取值范围是.
命题真假
若“p，则q”为真命题
“若p，则q”为假命题
推出关系
p⇒q
p⇏q
条件关系
p是q的充分条件
q是p的必要条件
p不是q的充分条件
q不是p的必要条件
全称量词
所有的、任意一个、一切、每一个、任给
符号
∀
全称量词命题
含有全称量词的命题
形式
“对M中任意一个x，有p(x)成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)”
存在量词
存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的
符号表示
∃
存在量词命题
含有存在量词的命题
形式
“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为“∃x0∈M，p(x0)”
全称命题p
￢p
结论
∀x∈M，p(x)
∃x0∈M，￢p(x0)
全称量词命题的否定是存在量词命题
存在量词命题p
存在量词p
结论
∃x0∈M，p(x0)
∀x∈M，￢p(x)
存在量词命题的否定是全称量词命题
知识点一 命题
(1)命题定义：在数学中，我们将可以判断真假的陈述句叫作命题．
(2)分类：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(真命题：判断为真的语句.,假命题：判断为假的语句.))
特别提醒：(1)判断一个语句是否为命题的两个要素：
①是陈述句，表达形式可以是符号、表达式或语言；
②可以判断真假．
(2)真命题可以给出证明，假命题只需举出一个反例即可．
命题的形式
命题的一般形式为“若p，则q”，其中p叫做命题的条件，q叫做命题的结论．
知识点二 充分条件与必要条件
知识点三 充要条件的概念
(1)定义：若p⇒q且q⇒p，则记作p⇔q，此时p是q的充分必要条件，简称充要条件．
(2)条件与结论的等价性：如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．
知识点四 全称量词与全称命题
知识点五 存在量词与特称命题
知识点六 全称量词命题的否定
知识点七 存在量词命题的否定
【典型例题】
考点一： 命题的真假判断
如果，那么”是__________命题.（填“真”或“假”）
【答案】真
【解析】
【分析】
直接根据不等式的性质即可得出结论.
【详解】
解：因为，则，
所以，
所以如果，那么”是真命题.
故答案为：真.
下列命题是假命题的为（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】
对选项逐一分析，从而确定正确选项.
【详解】
A选项，若，则，A正确.
B选项，若，则，B错误.
C选项，时，不能得到，C错误.
D选项，，但，D错误.
故选：BCD
若命题“方程ax2－3x＋2＝0有两个不相等的实数根”为真，求实数a的取值范围．
【答案】且.
【解析】
【分析】
方程ax2－3x＋2＝0有两个不相等的实数根，说明是一元二次方程，根的判别式大于0，进而求出结果.
【详解】
由题意知，解得a＜，且a≠0，故实数a的取值范围是且.
考点二： 充要条件的判断
已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
先解不等式，再根据充分条件和必要条件的定义即可判断.
【详解】
对于不等式，可解得或.
所以可以推出，而不可以推出.
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】
【分析】
根据充分与必要条件的概念，举例判断即可
【详解】
当时，满足，但不满足；又当时，满足，但不满足.故“”是“”的既不充分也不必要条件
故选：D
“”是关于的不等式的解集为R的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．非充分非必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
取，时可判断充分性；当不等式的解集为R时，分，，讨论可判断必要性.
【详解】
若，取时，不等式，此时不等式解集为；
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
当，且时，不等式，
所以，若关于的不等式的解集为R，则.
综上，“”是关于的不等式的解集为R的必要非充分条件.
故选：B
“a<－1”是“方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个实数根”的（ ）
A．必要不充分条件B．充分不必要条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
讨论，，可得“方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个实数根”等价于“”再根据充分条件、必要条件的定义即可得出结果.
【详解】
当时，方程即为，解得；
当时，，得，；
所以“方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个实数根”等价于“”
“”能推出“方程至少有一个实数根”，反之不成立；
所以“”是“方程至少有一个实数根”的充分不必要条件.
故选：B.
王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的（ ）
A．充分条件B．必要条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
“返回家乡”的前提条件是“攻破楼兰”，即可判断出结论.
【详解】
“返回家乡”的前提条件是“攻破楼兰”，
故“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要不充分条件
故选：B
6．2020年11月13日，中共中央总书记、国家主席、中央军委主席习近平来到扬州考察调研．在运河三湾生态文化公园，习近平听取大运河沿线环境整治、生态修复及现代航运示范区建设等情况介绍，沿运河三湾段岸边步行，察看运河生态廊道建设情况，了解大运河文化保护传承利用取得的成效．在码头，习近平同市民群众亲切交流，称赞“扬州是个好地方”．这里的“扬州”是“好地方”的什么条件（ ）
A．充分条件B．必要条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
根据充分性和必要性的定义，结合题意，即可容易判断.
【详解】
根据题意，“扬州”一定是“好地方”，故满足充分性；
但是“好地方”，无法得出一定是“扬州”，故不满足必要性；
综上所述：“扬州”是“好地方”的充分条件.
故选：.
考点三： 由条件关系求参数取值范围
若“”是“”的充要条件，则实数m的取值是_________．
【答案】0
【解析】
【分析】
根据充要条件的定义即可求解.
【详解】
，
则{x|}＝{x|}，
即.
故答案为：0.
若不等式的一个充分条件为，则实数a的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据含绝对值不等式的解法，求解不等式的解集，结合充分条件，列出关系式，即可求解.
【详解】
由不等式，
当时，不等式的解集为空集，显然不成立；
当时，不等式，可得，
要使得不等式的一个充分条件为，则满足，
所以，即
∴实数a的取值范围是.
故答案为：.
设：，：（）．若是的必要条件，则m的取值范围是______．
【答案】
【解析】
②，则且，.
综上所述，或．
已知其中.
(1)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围；
(2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由题意可得A⫋B，所以从而可求出实数的取值范围，
（2）由题意可得B⫋A，然后分a=0，a>0和a<0三种情况求解即可
(1)
设命题p：A={x|x 2>0}，即p：A={x|x>2}，命题q：B={x|ax 4>0}，
因为p是q的充分不必要条件，所以A⫋B，.
即解得a>2
所以实数a的取值范围为
(2)
由（1）得p：A={x|x>2}，q：B={x|ax 4>0}，
因为是的必要不充分条件，
所以B⫋A，
①当a=0时，B=，满足题意；
②当a>0时，由B⫋A，得.>2，即0
综合①②③得，实数a的取值范围为
考点四：充要条件的探求与证明
“方程x2－2x－a＝0无实根”的充要条件是________．
答案 a<－1
解析 因为方程x2－2x－a＝0无实根，所以有Δ＝4＋4a<0，解得a<－1.反之，若a<－1，则Δ<0，方程x2－2x－a＝0无实根．
故“方程x2－2x－a＝0无实根”的充要条件是a<－1.
求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
证明 充分性：∵ac<0，∴一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac>0，
∴方程一定有两个不等实根，
设两实根为x1，x2，则x1x2＝eq \f(c,a)<0，
∴方程的两根异号，
即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．
必要性：∵方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，
设两实根为x1，x2，则由根与系数的关系得x1x2＝eq \f(c,a)<0，且Δ＝b2－4ac>0，
即ac<0.
综上可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
考点五：全称量词命题与存在量词命题的否定
已知命题则命题p的否定是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由存在量词命题的否定为全称量词命题即可求解.
【详解】
因为命题是存在量词命题，
则命题p的否定是：
故选：C
命题“”的否定是_________．
(2)
(3)
【解析】
【分析】
（1）当为真命题时，，求解即可；
（2）当命题为假命题时，，求解即可；
（3）先求出命题与命题均为假命题时的取值的范围，再求出补集即可求解
(1)
若命题为真命题，
则，解得，
所以实数的取值范围是；
(2)
若命题为假命题，
则，解得，
所以实数的取值范围是；
(3)
由（1）（2）可知命题与命题均为假命题时，则
或，
解得，
故命题与命题中至少有一个为真命题，
则或
所以实数的取值范围是.
命题真假
若“p，则q”为真命题
“若p，则q”为假命题
推出关系
p⇒q
p⇏q
条件关系
p是q的充分条件
q是p的必要条件
p不是q的充分条件
q不是p的必要条件
全称量词
所有的、任意一个、一切、每一个、任给
符号
∀
全称量词命题
含有全称量词的命题
形式
“对M中任意一个x，有p(x)成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)”
存在量词
存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的
符号表示
∃
存在量词命题
含有存在量词的命题
形式
“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为“∃x0∈M，p(x0)”
全称命题p
￢p
结论
∀x∈M，p(x)
∃x0∈M，￢p(x0)
全称量词命题的否定是存在量词命题
存在量词命题p
存在量词p
结论
∃x0∈M，p(x0)
∀x∈M，￢p(x)
存在量词命题的否定是全称量词命题
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