苏教版 (2019)必修 第一册5.1 函数的概念和图象学案

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1.函数：一般地，设A,B是两个非空的数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确认的对应关系f,在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数,
记作：y=fx,x∈A .
其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；
与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)x∈A 叫做函数的值域.
2.函数的三要素： 定义域（集合A）、值域、对应关系（判断是否为同一函数只要看定义域、对应关系是否完全相同）.
如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数.
3.函数的定义域
关于函数定义域的求法
分式分母不为0,
二次根式的被开方数不小于0,
0次幂的底数不为0.
(4)如果解析式中含有多个式子,则用大括号将x满足的条件列成不等式组,解出各个不等式后求交集.
4.抽象函数求定义域
抽象函数的定义域的求解，解抽象函数的定义域要抓住以下几点：
（1）函数的定义域指的是自变量的取值范围；
（2）对于函数和的定义域的求解，和的值域相等，由此列不等式求出的取值范围作为函数的定义域.
（3）对于抽象函数定义域的求解，（1） 若已知函数的定义域为，则复合函数 的定义域由不等式 .
（4）若复合函数 的定义域为，则函数的定义域为在上的值域.
5.常见函数求值域
（1）直接法：从自变量的范围出发，推出的取值范围；
（2）配方法：适用于与二次函数有关的函数
（3）分离常数法
形如的函数可变形为函数后求值域.
（4）换元法：运用代数代换，奖所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域，形如（、、、均为常数，且）的函数常用此法求解
（5）对勾函数：对勾函数是指形如y＝ax＋bx(ab>0)的一类函数，因其图象形态极像对勾，因此被称为“对勾函数”，又被称为“双勾函数”、“勾函数”、“耐克函数”或“耐克曲线”．
(1)定义域：(－∞，0)∪(0，＋∞)．
(2)值域：(－∞，－2eq \r(ab) ]∪[2eq \r(ab)，＋∞)．
（6）图象法
画出图像，根据图像的最高点、最低点来判断
【典型例题】
考点一：函数概念
下列各式中，函数的个数是( )
①y=1；②y=x2；③y=1−x；④y=x−2+1−x．
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】
B
【解析】
【分析】
本题考查函数的基本概念，属于基础题．
由函数的概念逐一分析求解即可．
【解答】
解：根据函数的定义可知，①y=1；②y=x2；③y=1−x都是函数，
对应④，要使表达式有意义，则x−2≥01−x≥0，
即x≥2x≤1，则x无解，
∴④不是函数．
故选：B．
考点二：函数图像
若函数y=f(x)的定义域M={x|−2≤x≤2}，值域N={y|0≤y≤2}，则函数y=f(x)的图象可能是( )
A. B.
C. D.
【答案】
B
【解析】
【分析】
本题考查函数的概念及图像，属于基础题．
解题时，根据函数的定义及定义域与值域，逐一判断即可求解
【解答】
解：选项A，定义域为−2,0，与条件不符，故A错误；
选项B，定义域、值域均与条件相符，故B正确；
选项C，不符合函数的定义，在−2,2内的任一x的值，在0,2内并非只有唯一的y值与之对应，故C错误；
选项D，值域与条件不符，故D错误．
综上所述，正确选项为B．
故选：B．

已知A={x|0≤x≤2}，B={y|1≤y≤2}，下列图形能表示以A为定义域，B为值域的函数的是( )
A. B.
C. D.
【答案】
B
【解析】
【分析】
本题考查函数的概念和定义域、值域，属于基础题．
由题意结合函数的概念逐个选项进行分析即可．
【解答】
解：A是函数图象，其值域为[0,2]，故不符合题意；
B是函数的图象，定义域为[0,2]，值域为[1,2]，故符合题意；
C是函数图象，值域为{1,2}，故不符合题意；
D是函数图象，值域为{1,2}，故不符合题意．
故选B．
考点三：相等函数
下列四组函数中，不表示同一函数的一组是( )
A. f(x)=x−1(x∈R)，g(x)=x−1(x∈N)
B. f(x)=|x|，g(x)=x2
C. f(x)=x+1⋅x−1，g(x)=x+1
D. f(x)=x2−1x−1，g(x)=x+1
【答案】
ACD
【解析】
【分析】
本题考查判断两个函数是否为同一函数，属于基础题．
结合函数的基本概念，通过对函数的定义域和函数的解析式的判断逐一分析求解即可．
【解答】
解：对于A，fx的定义域为R，gx的定义域为N，两个函数的定义域不同，所以不是同一函数；
对于B，因为g(x)=x2=x，f(x)=|x|，
两个函数的解析式相同，又两个函数的定义域相同都为R，所以是同一函数；
对于C，由x+1⩾0x−1⩾0得fx的定义域为1,+∞,gx的定义域为R，两个函数的定义域不同，所以不是同一函数；
对于D，由x−1≠0得fx的定义域为x|x≠1，gx的定义域为R，两个函数的定义域不同，所以不是同一函数．
故选ACD．

下列函数中，与函数y=x+1是相等函数的是( )
A. y=(x+1)2B. y=3x3+1C. y=x2x+1D. y=x2+1
【答案】
B
【解析】
【分析】
本题考查判断两个函数是否为同一个函数的问题，解题时应判断它们的定义域，值域和对应关系是否相同，是基础题．
根据同一函数的概念对选项一一判断即可．
【解答】
解：对于A，函数y=(x+1)2的定义域为[−1,+∞),
而函数y=x+1的定义域为R，不是同一个函数；
对于B，y=3x3+1=x+1，定义域也相同，是同一个函数；
对于C，y=x2x+1=x+1(x≠0)，与已知函数的定义域不同，不是同一个函数；
对于D，y=x2+1 =|x|+1，与已知函数对应关系不同，不是同一个函数．
故选B．
考点四：函数的定义域
求下列函数的定义域：
； ； ；
解：（1）函数的定义域由不等式组所确定，解不等式组，得：
所以函数的定义域为
函数的定义域由不等式所确定，解不等式，得：
所以函数的定义域为
函数的定义域由不等式组确定，
由，得：，由得：，
所以函数的定义域为。
函数fx=x+10x−x的定义域为( )
A. −∞,0B. −∞,−1
C. (−∞,−1)∪(−1,0)D. −∞,0∪0,+∞
【答案】
C
【解析】
【分析】
本题考查函数的定义域，属于基础题．
根据解析式，求出使解析式有意义的自变量的取值范围即可．
【解答】
解：因为fx=x+10x−x，
所以x+1≠0x−x>0，解得x≠−1x0m²−8m