高中数学第7章 三角函数7.3 三角函数的图象和性质学案设计

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知识点一 周期函数
1．周期函数的定义
一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零的常数T，使得定义域内的每一个x值 ，都满足f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．
2．最小正周期
对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f(x)的最小正周期．
知识点二 正弦函数、余弦函数、正切函数的周期
1．正弦函数、余弦函数的周期
正弦函数和余弦函数都是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它们的周期，它们的最小正周期都是2π.
2．正切函数的周期
正切函数是周期函数，最小正周期是π.
3．函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acs(ωx＋φ)的周期
一般地，函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acs(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)的周期T＝eq \f(2π,ω).
知识点三 三角函数的图像与性质
函数y＝tan xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x∈R且x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z))的图象与性质见下表：
知识点四 图像平移
如图所示，对于函数y＝sin(x＋φ)(φ≠0)的图象，可以看作是把y＝sin x的图象上所有的点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)平行移动|φ|个单位长度而得到的．
如图所示，函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象，可以看作是把y＝sin(x＋φ)的图象上所有点的横坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的eq \f(1,ω)倍(纵坐标不变)而得到．
如图所示，函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象，可以看作是把y＝sin(ωx＋φ)图象上所有点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0知识点五 函数y＝Asin(ωx＋φ)，A＞0，ω＞0中参数的物理意义
【典型例题】
考点一：函数的周期性
设f(x)为定义在R上的奇函数，且满足f(x)=f(x+4)，f(1)=1，则f(-1)+f(8)=( )
A. -2B. -1C. 0D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查函数值的求法，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用，属于基础题．
由f(x)是定义在R上的奇函数，满足：f(x)=f(x+4)，通过函数的周期，能求出f(8).求出f(-1)，即可求出f(-1)+f(8)．
【解答】
解：∵f(x)是定义在R上的奇函数，f(0)=0，满足：f(x)=f(x+4)，
∴f(8)=f(4)=f(0)=0．
又f(-1)=-f(1)=-1，
∴f(-1)+f(8)=-1，
故选：B．
已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(2+x)=f(2-x).当x∈(0,2)时，f(x)=x2+1x，则下列结论正确的是( )
A. f(x)的图象关于y轴对称B. f(-12)=-94
C. f(x)=f(x+4)D. f(2021)=-2
【答案】
BD
【解析】
【分析】
本题考查函数奇偶性和周期性的综合应用，涉及抽象函数的性质以及应用，属于中档题．
根据题意，依次分析选项是否正确，综合可得答案．
【解答】
解：根据题意，依次分析选项：
对于A、B，当x∈(0,2)时，f(x)=x2+1x，则f(12)=14+2=94，又由f(x)为奇函数可得f(-12)=-f(12)=-94，则B正确，
又f(x)的图象上的点(12,94)与(-12,-94)关于原点对称，但不关于y轴对称，
故A错误，
对于C，D，函数f(x)满足f(2+x)=f(2-x)，
变形可得f(x)=f(4-x)，f(x)为奇函数，则f(x)=-f(-x)，
故有f(x+4)=-f(x)，f(x+8)=-f(x+4)=f(x)，函数周期为8，C错误，
则f(2021)=f(5+252×8)=f(5)=-f(1)=-(1+1)=-2，D正确；
故选BD．
定义在R上的函数f(x)的图象关于点(-34,0)成中心对称，对任意的实数x都有f(x)=-f(x+32)，且f(-1)=1，f(0)=-2，则f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(2022)的值为( )
A. -2B. -1C. 0D. 1
【答案】
C
【解析】
【分析】
本题考查函数值的求法，是中档题，解题时要注意函数性质的合理运用．
由已知中定义在R上的函数f(x)的图象关于点 -34,0成中心对称，对任意实数x都有 fx=-fx+32，我们易判断出函数f(x)是周期为3的周期函数，进而由f(-1)=1，f(0)=-2，我们求出一个周期内函数的值，进而利用分组求和法，得到答案．
【解答】
解： ∵fx=-fx+32，
∴fx+32=-fx，
则 fx+3=-fx+32=fx，
∴f(x)是周期为3的周期函数，
则f(2)=f(-1+3)=f(-1)=1， f12=-f-1=-1，
∵函数f(x)的图象关于点 -34,0成中心对称，
∴f1=-f-52=-f12=1，
∵f(0)=-2，
∴f(1)+f(2)+f(3)=1+1-2=0，
∴f(1)+f(2)+…+f(2022)=0．
故选C.
考点二：函数的值域
函数y=tan(csx)的值域是( )
A. [-π4,π4]B. [-22,22]C. [-tan1,tan1]D. 以上均不对
【答案】
C
【解析】
【分析】本题考查利用余弦函数、正切函数的性质求三角函数的值域，由余弦函数的性质可得
-1≤csx≤1，利用函数y=tanx在[-1,1]上为增函数及诱导公式可知，-tan1≤y≤tan1．
【解答】
解：∵-1≤csx≤1，且函数y=tanx在[-1,1]上为增函数，
∴tan(-1)≤tanx≤tan1，即-tan1≤tanx≤tan1．
∴-tan1≤tan(csx)≤tan1．

已知函数y=2csx定义域为[π3,π]，值域为[a,b]，则b-a= ．
【答案】
3
【解析】
【分析】
本题考查余弦函数的性质的应用，属于基础题型．
直接利用余弦函数的单调性求出结果．
【解答】
解：已知函数y=2csx在[π3,π]上单调递减，
当x=π3时，ymax=2×12=1，
当x=π时，ymin=-2，
即a=-2，b=1，
所以b-a=3．
故答案为：3
考点三：函数的单调性
已知函数f(x)=2sin(x+π6).
(1)求函数f(x)的单调递增区间;
(2)若g(x)=f(2x+π6)，x∈[-π3,π3]，求函数g(x)的最值．
【答案】
解：(1)f(x)=2sin(x+π6)，
由2kπ-π2≤x+π6≤2kπ+π2(k∈Z)，
得2kπ-2π3≤x≤2kπ+π3(k∈Z)，
所以函数f(x)的单调递增区间为[2kπ-2π3,2kπ+π3](k∈Z)．
(2)g(x)=f(2x+π6)=2sin(2x+π3)，
因为x∈[-π3,π3]，
所以2x+π3∈[-π3,π]，
当2x+π3=-π3，即x=-π3时，g(x)取得最小值-3；
当2x+π3=π2，即x=π12时，g(x)取得最大值2．
故g(x)最小值为-3；g(x)最大值为2．
函数y=2sin (π6-2x)(x∈[0,π])为增函数的区间是 ．
【答案】
π3,5π6
【解析】
【分析】
本题考查y=Asin(ωx+φ)的图象与性质，考查函数的单调区间，属于基础题．
根据函数解析式，利用正弦函数的性质，可得单调递增区间．
【解答】
解：∵函数y=2sin (π6-2x)=-2sin(2x-π6)，
∴要求y=-2sin(2x-π6)为增函数的区间，只要求y=2sin(2x-π6)的减区间，
∵y=sinx的减区间为[2kπ+π2,2kπ+3π2]，k∈Z，
∴2x-π6∈[2kπ+π2,2kπ+3π2]，k∈Z，
∴x∈[kπ+π3,kπ+5π6]，k∈Z，
∵x∈[0,π]，
∴x∈[π3,5π6]，
故答案为：π3,5π6．
考点四：三角函数的性质
已知函数f(x)=|sinx|，则下列说法正确的是( )
A. f(x)的图象关于直线x=π2对称B. (π,0)是f(x)图象的一个对称中心
C. f(x)的周期为πD. f(x)在区间(-π2,0)单调递减
【答案】
ACD
【解析】
【分析】
本题考查三角函数的图象和性质，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
由函数的对称性和诱导公式可判断A；由函数的对称性和诱导公式可判断B；由周期函数的定义可判断C；由正弦函数的单调性可判断D．
【解答】
解：由f(π2+x)=|sin(x+π2)|=|csx|，f(π2-x)=|sin(π2-x)|=|csx|，
即有f(π2+x)=f(π2-x)，
所以f(x)的图象关于直线x=π2对称，故A正确；
由f(π+x)+f(π-x)=|sin(π+x)|+|sin(π-x)|=|sinx|+|sinx|=2|sinx|，
故f(x)的图象不关于(π,0)对称，故B错误．
由f(x+π)=|sin(x+π)|=|-sinx|=|sinx|=f(x)，故C正确；
当kπ+π2≤x≤kπ+πk∈Z时，f(x)单调递减．
所以f(x)在区间-π2,0单调递减，故D正确．
故选：ACD．

设函数f(x)=cs(x+π3)，则下列结论错误的是( )
A. f(x)的一个周期为-2πB. y=f(x)的图象关于直线x=8π3对称
C. f(x+π)的一个零点为x=π6D. f(x)在(π2,π)单调递减
【答案】
D
【解析】
【分析】
本题考查三角函数的图象与性质，考查推理能力，属于基础题．
根据题意，逐项判断即可．
【解答】
解：对于A，函数f(x)的周期为2kπ，k∈Z，
当k=-1时，周期为-2π，故A正确；
对于B，当x=8π3时，cs(x+π3)=cs(8π3+π3)=csπ=-1，
此时函数f(x)取得最小值，
所以y=f(x)的图象关于直线x=8π3对称，故B正确；
对于C，因为f(x+π)=cs(x+π+π3)=-cs(x+π3)，
且-cs⁡(π6+π3)=-cs⁡π2=0，
则f(x+π)的一个零点为x=π6，故C正确；
对于D，当π2此时函数f(x)不是单调函数，故D错误，
故选D．
考点五：f(x)=Asin(ωx+φ)图像与性质
已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)在一个周期内的图象如图所示，其中图象最高点、最低点的横坐标分别为π12、7π12，图象在y轴上的截距为3.则下列结论正确的是( )
A. f(x)的最小正周期为2πB. f(x)的最大值为2
C. f(x)在区间[-5π12,π12]上单调递增D. f(x+π6)为偶函数
【答案】
BC
【解析】
【分析】
本题考查利用三角函数图像求解函数解析式，函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质，属于中档题．
根据函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的部分图象求出函数的解析式，
再根据函数解析式判断四个结论即可得解．
【解答】
解：由图知，f(x)的最小正周期T=2(7π12-π12)=π，则ω=2.
由2×π12+φ=π2+2kπ，0<φ<π，得φ=π3，
由f(0)=3，得Asinπ3=3，则A=2，所以f(x)=2sin(2x+π3)，所以函数最大值为2，
当x∈[-5π12,π12]时，2x+π3∈[-π2,π2]，则f(x)单调递增，
因为f(x+π6)=2sin[2(x+π6)+π3]=2sin(2x+2π3)，
则f(x+π6)不是偶函数，
故选BC．
考点六：平移
已知曲线C1：y=csx，C2：y=sin(2x+2π3)，则下面结论正确的是( )
A. 把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C2
B. 把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C2
C. 把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C2
D. 把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C2
【答案】
D
【解答】
解：把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，
得到函数y=cs2x图象，
再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，
得到函数y=cs2(x+π12)=cs(2x+π6)
=sin(2x+2π3)的图象，即曲线C2，
故选D．

已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)是奇函数，将y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g(x).若g(x)的最小正周期为2π，且g(π4)=2，则f(3π8)=( )
A. -2B. -2C. 2D. 2
【答案】
C
【解答】
解：∵f(x)是奇函数，∴φ=0，
则f(x)=Asin(ωx)，
将y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g(x)，
即g(x)=Asin(12ωx)，
∵g(x)的最小正周期为2π，
∴2π12ω=2π，得ω=2，
则g(x)=Asinx，f(x)=Asin2x，
若g(π4)=2，则g(π4)=Asinπ4=22A=2，即A=2，
则f(x)=2sin2x，则f(3π8)=2sin(2×3π8)=2sin3π4=2×22=2，
故选C．
考点七：零点问题
函数y=1+sinx，x∈π6,2π的图象与直线y=t(t为常数)的交点可能有( )
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
【答案】
ABC
【解析】
【分析】
本题考查正弦函数的图象，函数与方程的的应用，属于基础题．
作出函数y=1+sinx，x∈π6,2π的图象和直线y=t，观察交点即可．
【解答】
解：在同一平面直角坐标系中，作出函数y=1+sinx，x∈π6,2π的图象和直线y=t，如图所示：
由图可知当t>2或t<0时，交点个数为0；
当t=0或1≤t≤32或t=2时，交点个数为1；
当0综上所述，交点个数可能为0，1，2．
故选：ABC．

已知ω>0，函数f(x)=tan(ωx-π3)在区间(0,π2)内仅有一个零点，则ω的取值范围是 .
【答案】
(23,53]
【解析】
【分析】
本题考查正切函数的图象和性质，考查由函数的零点个数求参数范围，属于中档题．
利用已知及三角函数的性质可得不等式0<ωπ2-π3⩽π2，即可得出．
【解答】
解：函数f(x)=tan(ωx-π3)，
由x∈(0,π2)，可得ωx-π3∈-π3,ωπ2-π3，
故若函数f(x)=tan(ωx-π3)在区间(0,π2)内仅有一个零点，
则0<ωπ2-π3⩽π2，又ω>0，
解得：ω的范围为：(23,53]．
故答案为 (23,53]．

设函数f(x)=cs(ωx-2π3)(ω>0)，已知f(x)在[0,π]上有且仅有4个零点，则( )
A. ω的取值范围是[196,256)
B. y=f(x)的图象与直线y=1在(0,π)上的交点恰有2个
C. y=f(x)的图象与直线y=-1在(0,π)上的交点恰有2个
D. f(x)在(π4,π2)上单调递减
【答案】
AB
【解析】
解：当x∈[0,π]时，ωx-2π3∈[-2π3,πω-2π3]，因为f(x)在[0,π]上有且仅有4个零点，
所以5π2≤πω-2π3<7π2，解得196≤ω<256，
且y=f(x)的图象与直线y=1在(0,π)上的交点恰有2个，
y=f(x)的图象与直线y=-1在(0,π)上的交点可能是1个或2个．
当x∈(π4,π2)时，ωx-2π3∈(ωπ4-2π3,ωπ2-2π3)，
解：(1)由题可得A=1，T=2(43-13)=2，则ω=2πT=π，
当x=56时，f(x)取得最大值，
则56π+φ=π2+2kπ(k∈Z)，
所以φ=-π3+2kπ(k∈Z)，
又因为|φ|<π2，故φ=-π3；
(2)由(1)可知f(x)=sin(πx-π3)，
令π2+2kπ≤πx-π3≤3π2+2kπ，k∈Z，
则56+2k≤x≤116+2k，k∈Z，
故f(x)的单调递减区间为[56+2k,116+2k](k∈Z)，
则f(x)在[1,2]上的单调递减区间为[1,116]；
(3)令f(x)=sin(πx-π3)=0，
则πx-π3=kπ，解得x=k+13，k∈Z，
所以f(x)在(13,73)上有一个零点，因为f(x)周期为2，
若函数y=f(x)在区间[a,b]上恰有2020个零点，
则1009×2+1≤b-a<1010×2+1，
解得b-a的取值范围为[2019,2021)．
考点八：恒成立问题
已知函数f(x)=2cs(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示。
(1)求函数fx的解析式;
(2)将函数fx图象上每个点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向右平移4个单位长度，所得图象的函数为gx，若不等式gx-m≤0在x∈[0,6]恒成立，求实数m的取值范围。
【答案】
解：(1)由题意，得f(x)的周期为8，所以ω=2π8=π4，
又因为图象过点1,0，则有2csπ4+φ=0，所以π4+φ=kπ+π2,k∈Z，
所以φ=kπ+π4,k∈Z
又因为0<φ<π，所以φ=π4，所以f(x)=2csπ4x+π4
(2)将函数f(x)=2csπ4x+π4图象上每个点的横坐标变为原来的2倍，
得y=2csπ8x+π4，
再将y=2csπ8x+π4的图象向右平移4个单位长度，
得g(x)=2csπ8(x-4)+π4即g(x)=2csπ8x-π4，
不等式g(x)-m≤0在x∈[0,6]恒成立，即g(x)max≤m，
因为x∈[0,6]，所以π8x-π4∈-π4,π2
所以当π8x-π4=0，即x=2时，g(x)取最大值，最大值为2．
即m≥2．
综上可得，实数m的取值范围实数[2,+∞)．
考点九：奇偶性
若将函数f(x)=cs(ωx-π8)(ω>0)的图象向左平移π12个单位后，所得图象对应的函数为偶函数，则ω的最小值是 ．
【答案】
32
【解析】
【分析】
因为f(x)=tan(π3+2x)周期为π2，
若f(x1)=f(x2)，则x1-x2必是π2的整数倍，故C错误．
f(x)=sin(π3+2x)的周期为π，f(x1)=f(x2)=0，x1-x2必是π2的整数倍，故D正确．

已知函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,0<φ<2π3的最小正周期为π．
(1)求当f(x)为偶函数时φ的值；
(2)若f(x)的图象过点π6,32，求f(x)的单调递增区间．
【答案】
解：(1)∵T=π，∴ω=2πT=2，∴f(x)=sin(2x+φ)，
∵f(x)=sin(2x+φ)为偶函数，图象关于y轴对称，
∴2×0+φ=kπ+π2(k∈Z)，
∴φ=kπ+π2(k∈Z)，又0<φ<2π3，∴φ=π2，
(2)∵f(π6)=sin(π3+φ)=32，又0<φ<2π3，
∴π3<φ+π3<π，∴φ+π3=2π3，解得φ=π3，
∴f(x)=sin(2x+π3)，
由2kπ-π2≤2x+π3≤2kπ+π2(k∈Z)得：kπ-5π12≤x≤kπ+π12(k∈Z)，
∴f(x)的单调递增区间为[kπ-5π12,kπ+π12](k∈Z)．
【解析】本题考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质，考查正弦函数的单调性，属于中档题．
(1)依题意知T=π，ω=2，当f(x)=sin(2x+φ)为偶函数时，φ=kπ+π2(k∈Z)，又0<φ<2π3，于是可求得φ的值；
(2)由f(π6)=sin(π3+φ)=32及0<φ<2π3可求得φ=π3，从而可求得f(x)的单调递增区间．
解析式
y＝sin x
y＝cs x
图象
值域
[－1,1]
[－1,1]
单调性
在eq \b\lc\[\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)＋2kπ，\f(π,2)))eq \b\lc\ \rc\](\a\vs4\al\c1(＋2kπ))，k∈Z上递增，在eq \b\lc\[\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋2kπ，\f(3π,2)＋))eq \b\lc\ \rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ))，k∈Z上递减
在[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z上递增，
在[2kπ，π＋2kπ]，k∈Z上递减
最值
当x＝eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z时，ymax＝1；当x＝－eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z时，ymin＝－1
当x＝2kπ，k∈Z时，ymax＝1；当x＝π＋2kπ，k∈Z时，ymin＝－1
解析式
y＝tan x
图象
定义域
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x∈R且x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z))))
值域
R
最小正周期
π
奇偶性
奇
单调性
在开区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,2)，kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)内都是增函数