高中数学苏教版 (2019)必修 第一册第8章 函数应用8.1 二分法与求方程近似解学案

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知识点一 函数的零点的概念
对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
方程、函数、图象之间的关系：
方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．
知识点二 零点存在性定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
知识点三 二分法
对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
由函数的零点与相应方程根的关系，可用二分法来求方程的近似解．
知识点四 用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤
给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤：
(1)确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0，给定精确度ε；
(2)求区间(a，b)的中点c；
(3)计算f(c)；
①若f(c)＝0，则c就是函数的零点；
②若f(a)·f(c)<0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))；
③若f(c)·f(b)<0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))．
(4)判断是否达到精确度ε：即若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复(2)～(4)．
以上步骤可简化为：定区间，找中点，中值计算两边看；同号去，异号算，零点落在异号间；周而复始怎么办？精确度上来判断．
【典型例题】
考点一 求函数的零点
函数零点是__________．
【答案】
【分析】令，求解即可.
【详解】令，得，解得或.
故答案为：
已知函数的一个零点是，则它的另一个零点是__________．
【答案】6.
【分析】将函数的零点2代入中可得，求得a的值，解方程可得函数另一个零点.
【详解】函数的一个零点是，则，
则，解，得 或 ，
故函数的另一个零点为6，
故答案为：6.
考点二 判断函数的零点所在的区间
利用二分法求方程的近似解，可以取的一个区间是
A．B．C．D．
【解答】解：设，
当连续函数满足（a）（b）时，在区间上有零点，
即方程在区间上有解，
又（2），（3），
故（2）（3），
故方程在区间上有解，
故选：．
函数的零点在区间，内，则 1 ．
【解答】解：函数在其定义域上连续，
（2），（1）；
故（1）（2），
故函数的零点在区间上，
因为函数的零点在区间，内，
所以，
故答案为：1．
利用计算器，列出自变量和函数值的对应值如下表：
若方程有一个根位于区间，在表格中第一栏里的数据中取值）内，则的值为 或 ．
【解答】解：令，
由题表中的数据可得，，，，
所以方程有一个根位于区间或内，
所以或．
故答案为：或．
用二分法研究函数的零点时，第一次计算，得，，第二次应计算，则等于
A．1B．C．0.25D．0.75
【解答】解：因为，，所以，在内存在零点，
根据二分法第二次应该计算，其中．
故选：．
用二分法求方程的正实根的近似解（精确度时，如果我们选取初始区间是，，则要达到精确度至少需要计算的次数是
A．5B．6C．7D．8
【解答】解：根据题意，设要达到精确度需要计算次，
则有，变形可得，
由于，故要达到精确度要求至少需要计算7次，
故选：．
考点三 判断函数零点个数
求函数f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2的零点个数．
解 方法一 ∵f(0)＝1＋0－2＝－1<0，f(1)＝2＋lg 2－2>0，∴f(x)在(0,1)上必定存在零点．
又显然f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2在(－1，＋∞)上为增函数．
故函数f(x)有且只有一个零点．
方法二 在同一坐标系下作出h(x)＝2－2x和g(x)＝lg(x＋1)的草图．
由图象知g(x)＝lg(x＋1)的图象和h(x)＝2－2x的图象有且只有一个交点，即f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2有且只有一个零点．
总结 判断函数零点个数的方法主要有：(1)可以利用零点存在性定理来确定零点的存在性，然后借助函数的单调性判断零点的个数．(2)利用函数图象交点的个数判定函数零点的个数．
求函数f(x)＝ln x＋2x－6零点的个数．
解 方法一 由于f(2)＝ln 2＋4－6<0，f(3)＝ln 3＋6－6>0，即f(2)·f(3)<0，说明函数f(x)在区间(2,3)内有零点．又因为函数f(x)在定义域(0，＋∞)内是增函数，所以它仅有一个零点．
方法二 通过作出函数y＝ln x，y＝－2x＋6的图象，观察两图象的交点个数得出结论．也就是将函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点个数转化为函数y＝ln x与y＝－2x＋6的图象交点的个数．
由图象可知两函数有一个交点，即函数f(x)有一个零点．
考点四 零点之间的关系
已知函数，若存在，使得，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设，则直线与函数的图象有三个交点，分析可知点、关于直线对称，可得出的值，求出的取值范围，由此可求得的取值范围.
【详解】设，作出函数与的图象如下图所示：
由图可知，当时，直线与函数的图象有三个交点，
由图可知，点、关于直线对称，则，
且函数在上为增函数，
由，因为，解得，
所以，.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数零点和的取值范围，解题的关键在于分析函数图象的对称性，求出，结合不等式求出的取值范围，进而求解.
设函数若关于的方程有四个实根，且，则的最小值为（ ）
A．B．8C．D．16
【答案】B
【分析】由分段函数画出图象，可确定，，即，借鉴基本不等式和放缩即可求得.
【详解】作出的大致图象，如图所示.
易得，其中.
因为，即，其中，
所以，
当且仅当时，等号成立，此时.
又因为，，
当且仅当时，等号成立，此时，
所以的最小值是8.
故选：B
已知，方程有四个不同的根，且满足，（1）___________；（2）的取值范围为：___________.
【答案】
【分析】先利用一次函数与对数函数的图像性质作出图像，结合图像易得，与，进而构造对勾函数求得，从而求得的值.
【详解】因为，
所以，由此利用一次函数与对数函数的图像性质即可作出图像，
由图像易知，则，
又由图像易知，，，则，，故，，即，
所以，
令，易知对勾函数在上单调递减，
所以，即，则，
所以.
故答案为：；.
（多选）已知函数若方程有四个不等实根.下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【分析】确定函数解析式，画出函数图像，根据函数得到，化简得到A正确，根据图像知B正确，利用均值不等式得到C错误，计算得到D正确，得到答案.
【详解】当时，，，
画出函数图像，如图所示：
根据图像知：，即，，A正确；
，B正确；
，，，即，
即，展开得到，
解得，由于，等号不成立，故C错误；
，故，，D正确.
故选：ABD
已知定义在区间上的函数.
(1)求函数的零点；
(2)若方程有四个不相等的实数根，，证明：；
(3)设函数，，若对任意的，总存在，使得，求的取值范围.
【答案】(1)和；
(2)证明见解析；
(3).
【分析】（1）解方程，即可求得函数的零点；
（2）作出函数的图象，将方程四个不相等的实数根问题转化为函数图象交点问题，数形结合，利用二次方程根与系数的关系，证明结论；
（3）求出时，的范围，求出，的范围，根据题意可将原问题转化为集合间的子集问题，列出相应不等式，求得答案.
【详解】（1）由题意可知，令，即，解得，
故函数在内的零点为和；
（2）证明：作出函数的图象，
方程有四个不相等的实数根，，
即为图象与的四个交点的横坐标，
方程即，，即，
不妨设的四个根为，
当即时，为即的两根，
则，
当时，为即的两根，
则，
故；
（3）设，当时，，
当时，，
对任意的，总存在，使得，
则，故且，
解得 ，即的取值范围为.
【点睛】本题考查了函数的零点以及关于方程的根的相关等式的证明和恒成立问题，综合性强，计算量大，解答时涉及到数形结合和转化思想，解答的关键是解决恒成立问题时转化为集合的包含关系解决.
考点五 根据零点分布求参数范围
若方程的两个根都在区间内，则实数m的取值范围为_________．
【答案】
【分析】结合已知条件，利用二次函数图像性质即可求解.
【详解】由可知对称轴为：，
因为函数的两个根都在区间内，
所以，
故实数的取值范围为.
故答案为：
若函数在区间内恰有一个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】分类讨论和两种情况，再利用零点存在性定理和二次函数的图象性质列不等式求解即可.
【详解】当时，，此时只有一个零点，零点为-1，不符合要求；
当时，函数为二次函数，，利用零点存在性定理和二次函数的图象性质得，解得.
故选：D.
函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是 ．
【解答】解：由题意可得（1）（2），
解得：，
故实数的取值范围是，
故答案为：
考点六 根据零点个数求参数范围
设为实数，函数在上有零点，则实数的取值范围为________．
【答案】
【分析】由零点的存在性定理求解即可
【详解】因为在单调递增，且有零点，
所以，解得，
故答案为：
10．若方程有四个不同的根，则的取值范围是 _______．
【答案】
【分析】结合函数图像的变换可作出的图像，将问题转化为与有四个交点，结合图像即可得到的取值范围.
【详解】由于的图像是由的图像保留轴上方的图像的同时，将轴下方的图像关于轴向上翻折得到的图像，
故由此作出函数的图像，如图，
.
若方程有四个不同的根，则函数与有四个交点，
因为，所以在上的最大值为，
所以结合图像，可得，即.
故答案为：．
设函数，若关于的函数恰好有六个零点，则实数的取值范围是_____________．
【答案】
【分析】画出图象，换元后得到方程在内有两个不同的实数根，利用二次函数根的分布列出不等式组，求出实数的取值范围.
【详解】作出函数的图象如图，
令，则当，方程有个不同的实数解，
则方程化为，
使关于的方程恰好有六个不同的实数解，
则方程在内有两个不同的实数根，
令
所以,
解得:，
所以实数的取值范围为
故答案为
【点睛】复合函数零点个数问题，要先画出函数图象，然后适当运用换元法，将零点个数问题转化为二次函数或其他函数根的分布情况，从而求出参数的取值范围或判断出零点个数.
设m是不为0的实数，已知函数，若函数有7个零点，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】作出的图象，然后由，得或，由图象可知有3个零点，所以就有4个零点，再结合图象可求出结果.
【详解】的图象如图所示
由，得或，
当时，有3个零点，
当时，，即与有4个交点，
所以，解得，
故选：C.
已知函数．（其中）
(1)若在上有两个零点，求实数的值；
(2)若对任意，使得恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将函数写成分段函数的形式，分、结合二次函数的性质说明函数的单调性，即可得到函数在上必有一个零点，要使函数在上有两个零点，只需，解得即可；
当，即时，则在上单调递增，在上单调递减，上单调递增，，
此时，，
当时，此时，符合题意，
当时，此时，
令，解得，所以，
综上可得时均满足对任意，使得恒成立，
即实数的取值范围为.
考点七 不动点
对于二次函数，若存在，使得成立，则称为二次函数的不动点.
(1)求二次函数的不动点；
(2)若二次函数有两个不相等的不动点、，且、，求的最小值．
(3)若对任意实数，二次函数恒有不动点，求的取值范围.
【答案】(1)不动点为和
(2)
(3)
【分析】（1）由求得不动点.
（2）由有两个不相等的正实数根列不等式，结合根与系数关系以及基本不等式求得的最小值
（3）由恒有解，结合判别式求得的取值范围.
【详解】（1）由题意知：，
解得，，所以不动点为和.
（2）依题意，有两个不相等的正实数根，
即方程有两个不相等的正实数根，
所以，解得
所以

，
因为，所以，
所以，当且仅当，
即时等号成立，
所以的最小值为.
（3）由题知：
所以，由于函数恒有不动点，
所以，即，
又因为是任意实数，所以，
即（），解得，所以的取值范围是.
【点睛】求解关于“不动点”的问题，关键是把握住“不动点”的定义.本题中涉及一
由得：，即，整理得：，
令，显然函数在上单调递增，则，，则，
由得：，即，整理得：，
令，显然函数在上单调递增，，，则，
综上得：，
所以实数的取值范围.
【点睛】思路点睛：涉及函数新定义问题，理解新定义，找出数量关系，联想与题意有关的数学知识和方法，再转化、抽象为相应的数学问题作答.
0
0.3299
0.3789
0.4353
0.5
0.5743
0.6598
0.7579
0.8706
1
2.56
1.96
1.44
1
0.64
0.36
0.16
0.04
0