2024年高考数学大一轮(人教A版文)第三章3.1导数的概念及其意义、导数的运算讲义(学生版+解析)

这是一份2024年高考数学大一轮(人教A版文)第三章3.1导数的概念及其意义、导数的运算讲义(学生版+解析)，共18页。

考试要求 1.了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数公式.2.通过函数图象，理解导数的几何意义.3.能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数．
知识梳理
1．导数的概念
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数记作____________或________．
f′(x0)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)＝____________________.
(2)函数y＝f(x)的导函数(简称导数)，y＝f(x)的导函数有时也记作y′，即f′(x)＝y′＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(fx＋Δx－fx,Δx).
2．导数的几何意义
函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的________，相应的切线方程为________________________________．
3．基本初等函数的导数公式
4.导数运算法则
若f′(x)，g′(x)存在，则有
[f(x)±g(x)]′＝____________________；
[f(x)g(x)]′＝____________________；
eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(fx,gx)))′＝eq \f(f′xgx－fxg′x,[gx]2)(g(x)≠0)；
[cf(x)]′＝____________.
常用结论
1．区分在点处的切线与过点处的切线
(1)在点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条．
(2)过点处的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条．
2.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,fx)))′＝eq \f(－f′x,[fx]2)(f(x)≠0)．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．( )
(2)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( )
(3)f′(x0)＝[f(x0)]′.( )
(4)(lg2x)′＝eq \f(1,xln 2).( )
教材改编题
1．若函数f(x)＝3x＋sin x，则( )
A．f′(x)＝3xln 3＋cs x
B．f′(x)＝eq \f(3x,ln 3)＋cs x
C．f′(x)＝3x＋cs x
D．f′(x)＝eq \f(3x,ln 3)－cs x
2．函数f(x)＝ex＋eq \f(1,x)在x＝1处的切线方程为________．
3．已知函数f(x)＝xln x＋ax2＋2，若f′(e)＝0，则a＝________.
题型一 导数的运算
例1 (1)下列求导运算正确的是________．(填序号)
①eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,ln x)))′＝－eq \f(1,xln x2)；②(x2ex)′＝2x＋ex；③(tan x)′＝eq \f(1,cs2x)；④eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,x)))′＝1＋eq \f(1,x2).
听课记录：___________________________________________________________________
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(2)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝x3＋x2f′(1)＋2x－1，则f′(2)等于( )
A．1 B．－9 C．－6 D．4
听课记录：___________________________________________________________________
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思维升华 (1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导．
(2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解．
跟踪训练1 (1)下列求导运算正确的是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,ex)))′＝eq \f(1＋x,ex)
B．(2x2＋3)′＝4x＋3
C．(3x)′＝3xln 3
D．(x2sin x)′＝2xcs x
(2)函数f(x)的导函数为f′(x)，若f(x)＝x2＋f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))sin x，则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))＝________.
题型二 导数的几何意义
命题点1 求切线方程
例2 (1)曲线f(x)＝(2x－1)sin x在点(0，f(0))处的切线方程为( )
A．x＋y＝0 B．x－y＝0
C．x＋y＋1＝0 D．x－y＋1＝0
听课记录：___________________________________________________________________
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(2)过坐标原点作曲线y＝ln x的切线，则切点的纵坐标为( )
A．e B．1 C.eq \f(1,\r(e)) D.eq \f(1,e)
听课记录：___________________________________________________________________
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命题点2 求参数的值(范围)
例3 (1)若直线y1＝ax＋a与曲线y2＝ln x＋2相切，则a等于( )
A．4 B．3 C．2 D．1
听课记录：___________________________________________________________________
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(2)(2022·新高考全国Ⅰ)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________________．
听课记录：___________________________________________________________________
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思维升华 (1)处理与切线有关的问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上．
(2)注意区分“在点P处的切线”与“过点P的切线”．
跟踪训练2 (1)(2023·张家口模拟)已知函数f(x)＝eq \f(1,x)－2x＋ln x，则函数f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为( )
A．2x＋y－2＝0 B．2x－y－1＝0
C．2x＋y－1＝0 D．2x－y＋1＝0
(2)已知曲线f(x)＝x＋eq \f(a,x)＋b(x≠0)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝2x＋5，则a－b＝______.
题型三 两曲线的公切线
例4 (1)若存在过点(0，－2)的直线与曲线y＝x3和曲线y＝x2－x＋a都相切，则实数a的值是________．
听课记录：___________________________________________________________________
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(2)(2022·海口模拟)已知存在a>0，使得两曲线f(x)＝aln x与g(x)＝x2－3x－b存在相同的切线，且切线的斜率为1，则b的最大值为________．
听课记录：___________________________________________________________________
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思维升华 公切线问题，应根据两个函数在切点处的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解．或者分别求出两函数的切线，利用两切线重合列方程组求解．
跟踪训练3 (1)(2023·青岛模拟)已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)＝－2x2＋m，g(x)＝－3ln x－x，若以上两函数的图象有公共点，且在公共点处切线相同，则m的值为( )
A．2 B．5 C．1 D．0
(2)(2022·邢台市四校联考)若直线l与函数f(x)＝ex，g(x)＝ln x的图象分别相切于点A(x1，f(x1))，B(x2，g(x2))，则x1x2－x1＋x2等于( )
A．－2 B．－1 C．1 D．2基本初等函数
导函数
f(x)＝c(c为常数)
f′(x)＝________
f(x)＝xα(α∈Q*)
f′(x)＝________
f(x)＝sin x
f′(x)＝________
f(x)＝cs x
f′(x)＝________
f(x)＝ax
f′(x)＝________
f(x)＝ex
f′(x)＝________
f(x)＝lgax
f′(x)＝________
f(x)＝ln x
f′(x)＝________
§3.1 导数的概念及其意义、导数的运算
考试要求 1.了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数公式.2.通过函数图象，理解导数的几何意义.3.能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数．
知识梳理
1．导数的概念
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数记作f′(x0)或.
f′(x0)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(fx0＋Δx－fx0,Δx).
(2)函数y＝f(x)的导函数(简称导数)，y＝f(x)的导函数有时也记作y′，即f′(x)＝y′＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(fx＋Δx－fx,Δx).
2．导数的几何意义
函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
3．基本初等函数的导数公式
4.导数运算法则
若f′(x)，g′(x)存在，则有
[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(fx,gx)))′＝eq \f(f′xgx－fxg′x,[gx]2)(g(x)≠0)；
[cf(x)]′＝cf′(x)．
常用结论
1．区分在点处的切线与过点处的切线
(1)在点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条．
(2)过点处的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条．
2.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,fx)))′＝eq \f(－f′x,[fx]2)(f(x)≠0)．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．( × )
(2)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( × )
(3)f′(x0)＝[f(x0)]′.( × )
(4)(lg2x)′＝eq \f(1,xln 2).( √ )
教材改编题
1．若函数f(x)＝3x＋sin x，则( )
A．f′(x)＝3xln 3＋cs x
B．f′(x)＝eq \f(3x,ln 3)＋cs x
C．f′(x)＝3x＋cs x
D．f′(x)＝eq \f(3x,ln 3)－cs x
答案 A
2．函数f(x)＝ex＋eq \f(1,x)在x＝1处的切线方程为________．
答案 y＝(e－1)x＋2
解析 由题意得，f′(x)＝ex－eq \f(1,x2)，∴f′(1)＝e－1，
又∵f(1)＝e＋1，
∴切点为(1，e＋1)，切线斜率k＝f′(1)＝e－1，
即切线方程为y－(e＋1)＝(e－1)(x－1)，
即y＝(e－1)x＋2.
3．已知函数f(x)＝xln x＋ax2＋2，若f′(e)＝0，则a＝________.
答案 －eq \f(1,e)
解析 由题意得f′(x)＝1＋ln x＋2ax，
∴f′(e)＝2ae＋2＝0，解得a＝－eq \f(1,e).
题型一 导数的运算
例1 (1)下列求导运算正确的是________．(填序号)
①eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,ln x)))′＝－eq \f(1,xln x2)；②(x2ex)′＝2x＋ex；③(tan x)′＝eq \f(1,cs2x)；④eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,x)))′＝1＋eq \f(1,x2).
答案 ①③④
解析 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,ln x)))′＝－eq \f(1,ln x2)·(ln x)′＝－eq \f(1,xln x2)，故①正确；
(x2ex)′＝(x2＋2x)ex，故②错误；
(tan x)′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(sin x,cs x)))′＝eq \f(cs2x＋sin2x,cs2x)＝eq \f(1,cs2x)，
故③正确；
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,x)))′＝1＋eq \f(1,x2)，故④正确．
(2)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝x3＋x2f′(1)＋2x－1，则f′(2)等于( )
A．1 B．－9 C．－6 D．4
答案 C
解析 因为f(x)＝x3＋x2f′(1)＋2x－1，
所以f′(x)＝3x2＋2xf′(1)＋2，
把x＝1代入f′(x)，
得f′(1)＝3×12＋2f′(1)＋2，解得f′(1)＝－5，
所以f′(x)＝3x2－10x＋2，所以f′(2)＝－6.
思维升华 (1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导．
(2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解．
跟踪训练1 (1)下列求导运算正确的是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,ex)))′＝eq \f(1＋x,ex)
B．(2x2＋3)′＝4x＋3
C．(3x)′＝3xln 3
D．(x2sin x)′＝2xcs x
答案 C
解析 A选项中，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,ex)))′＝eq \f(x′·ex－x·ex′,ex2)＝eq \f(ex－x·ex,ex2)＝eq \f(1－x,ex)，故错误；
B选项中，(2x2＋3)′＝4x，故错误；
C选项中，(3x)′＝3xln 3，故正确；
D选项中，(x2sin x)′＝(x2)′·sin x＋x2·(sin x)′＝2x·sin x＋x2·cs x，故错误．
(2)函数f(x)的导函数为f′(x)，若f(x)＝x2＋f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))sin x，则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))＝________.
答案 eq \f(π2,36)＋eq \f(2π,3)
解析 ∵f′(x)＝2x＋f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))cs x，
∴f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))＝eq \f(2π,3)＋eq \f(1,2)f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))，
∴f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))＝eq \f(4π,3)，∴f(x)＝x2＋eq \f(4π,3)sin x，
∴f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))＝eq \f(π2,36)＋eq \f(2π,3).
题型二 导数的几何意义
命题点1 求切线方程
例2 (1)曲线f(x)＝(2x－1)sin x在点(0，f(0))处的切线方程为( )
A．x＋y＝0 B．x－y＝0
C．x＋y＋1＝0 D．x－y＋1＝0
答案 A
解析 由题意得f′(x)＝2sin x＋(2x－1)cs x，
所以f′(0)＝2sin 0＋(0－1)cs 0＝－1，
又f(0)＝0，
所以所求切线方程为y＝－x，即x＋y＝0.
(2)过坐标原点作曲线y＝ln x的切线，则切点的纵坐标为( )
A．e B．1 C.eq \f(1,\r(e)) D.eq \f(1,e)
答案 B
解析 设切点为P(x0，ln x0)(x0>0)，切线为l，
由y＝ln x，得y′＝eq \f(1,x)，所以＝eq \f(1,x0)，
所以曲线在点P处的切线l的方程为
y－ln x0＝eq \f(1,x0)(x－x0)，
又l过点(0,0)，所以－ln x0＝eq \f(1,x0)(－x0)，
解得x0＝e，
所以切点为P(e,1)，纵坐标为1.
命题点2 求参数的值(范围)
例3 (1)若直线y1＝ax＋a与曲线y2＝ln x＋2相切，则a等于( )
A．4 B．3 C．2 D．1
答案 D
解析 由题设，y2′＝eq \f(1,x)，根据eq \f(1,x)＝a知x＝eq \f(1,a)，
所以当x＝eq \f(1,a)时，y1＝1＋a，即切点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)，1＋a))，
则1＋a＝ln eq \f(1,a)＋2，解得a＝1.
(2)(2022·新高考全国Ⅰ)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________．
答案 (－∞，－4)∪(0，＋∞)
解析 因为y＝(x＋a)ex，所以y′＝(x＋a＋1)ex.设切点为A(x0，(x0＋a))，O为坐标原点，依题意得，切线斜率kOA＝＝(x0＋a＋1)＝，化简，得xeq \\al(2,0)＋ax0－a＝0.因为曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，所以关于x0的方程xeq \\al(2,0)＋ax0－a＝0有两个不同的根，所以Δ＝a2＋4a>0，解得a<－4或a>0，所以a的取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞)．
思维升华 (1)处理与切线有关的问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上．
(2)注意区分“在点P处的切线”与“过点P的切线”．
跟踪训练2 (1)(2023·张家口模拟)已知函数f(x)＝eq \f(1,x)－2x＋ln x，则函数f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为( )
A．2x＋y－2＝0 B．2x－y－1＝0
C．2x＋y－1＝0 D．2x－y＋1＝0
答案 C
解析 因为f′(x)＝－eq \f(1,x2)－2＋eq \f(1,x)，
所以f′(1)＝－2，
又f(1)＝－1，
故函数f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为
y－(－1)＝－2(x－1)，
化简得2x＋y－1＝0.
(2)已知曲线f(x)＝x＋eq \f(a,x)＋b(x≠0)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝2x＋5，则a－b＝______.
答案 －8
解析 由题意得f′(x)＝1－eq \f(a,x2)，
∴f′(1)＝1－a，
又f(1)＝1＋a＋b，
∴曲线在点(1，f(1))处的切线方程为y－(1＋a＋b)＝(1－a)(x－1)，即y＝(1－a)x＋2a＋b，
根据题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－a＝2，,2a＋b＝5，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－1，,b＝7，))
∴a－b＝－1－7＝－8.
题型三 两曲线的公切线
例4 (1)若存在过点(0，－2)的直线与曲线y＝x3和曲线y＝x2－x＋a都相切，则实数a的值是________．
答案 2
解析 设切线为l，l与曲线y＝x3和曲线y＝x2－x＋a的切点分别为P(m，m3)，Q(n，n2－n＋a)，
令f(x)＝x3,则f′(x)＝3x2，f′(m)＝3m2，
则切线l的方程为y－m3＝3m2(x－m)，
又点(0，－2)在切线l上，则－2－m3＝3m2(0－m)，
解得m＝1，则切线l的方程为y＝3x－2.
令h(x)＝x2－x＋a，
则h′(x)＝2x－1，h′(n)＝2n－1，
则有2n－1＝3，即n＝2，
则切点Q(2,2＋a)，令H(0，－2)，
由kHQ＝eq \f(2＋a－－2,2－0)＝3，可得a＝2.
(2)(2022·海口模拟)已知存在a>0，使得两曲线f(x)＝aln x与g(x)＝x2－3x－b存在相同的切线，且切线的斜率为1，则b的最大值为________．
答案 －3
解析 f′(x)＝eq \f(a,x)，g′(x)＝2x－3，
令f′(x)＝eq \f(a,x)＝1，得x＝a，∴切点为(a，aln a)，
令g′(x)＝2x－3＝1，得x＝2，
∴切点为(2，－2－b)．
代入切线方程y－aln a＝x－a，
可得－2－b－aln a＝2－a，则b＝a－aln a－4，
令h(x)＝x－xln x－4，x>0，
则h′(x)＝1－ln x－1＝－ln x，
当00，当x>1时，h′(x)<0，
∴h(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，∴h(x)max＝h(1)＝－3，即b的最大值为－3.
思维升华 公切线问题，应根据两个函数在切点处的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解．或者分别求出两函数的切线，利用两切线重合列方程组求解．
跟踪训练3 (1)(2023·青岛模拟)已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)＝－2x2＋m，g(x)＝－3ln x－x，若以上两函数的图象有公共点，且在公共点处切线相同，则m的值为( )
A．2 B．5 C．1 D．0
答案 C
解析 设两曲线y＝f(x)与y＝g(x)的公共点为(a，b)，其中a>0，
由f(x)＝－2x2＋m，可得f′(x)＝－4x，
则切线的斜率为k＝f′(a)＝－4a，
由g(x)＝－3ln x－x，可得g′(x)＝－eq \f(3,x)－1，
则切线的斜率为k＝g′(a)＝－eq \f(3,a)－1，
因为两函数的图象有公共点，且在公共点处切线相同，所以－4a＝－eq \f(3,a)－1，
解得a＝1或a＝－eq \f(3,4)(舍去)，又由g(1)＝－1，
即公共点的坐标为(1，－1)，
将点(1，－1)代入f(x)＝－2x2＋m，可得m＝1.
(2)(2022·邢台市四校联考)若直线l与函数f(x)＝ex，g(x)＝ln x的图象分别相切于点A(x1，f(x1))，B(x2，g(x2))，则x1x2－x1＋x2等于( )
A．－2 B．－1 C．1 D．2
答案 B
解析 由f(x)＝ex，g(x)＝ln x，
得f′(x)＝ex，g′(x)＝eq \f(1,x)，
则＝eq \f(1,x2)，＝ln eq \f(1,x2)，即x1＝－ln x2.
曲线y＝f(x)在点A处的切线方程为
y＝x＋(1－x1)，曲线y＝g(x)在点B处的切线方程为y＝eq \f(1,x2)x－1＋ln x2，
所以(1－x1)＝－1＋ln x2，
可得eq \f(1,x2)(1－x1)＝－1－x1，
整理得x1x2－x1＋x2＝－1.
课时精练
1．(2023·广州模拟)曲线y＝x3＋1在点(－1，a)处的切线方程为( )
A．y＝3x＋3 B．y＝3x＋1
C．y＝－3x－1 D．y＝－3x－3
答案 A
解析 因为f′(x)＝3x2，所以f′(－1)＝3，
又当x＝－1时，a＝(－1)3＋1＝0，
所以y＝x3＋1在点(－1，a)处的切线方程为y＝3(x＋1)，
即y＝3x＋3.
2．已知f(x)＝eq \f(ln x,x)，若f′(x0)＝eq \f(1－ln 2,4)，则x0等于( )
A.eq \f(1,2) B．2 C.eq \f(1,e) D．e
答案 B
解析 由f(x)＝eq \f(ln x,x)，
得f′(x)＝eq \f(xln x′－x′ln x,x2)＝eq \f(1－ln x,x2).
则f′(x0)＝eq \f(1－ln x0,x\\al(2,0))＝eq \f(1－ln 2,4)，解得x0＝2.
3．(2022·广西三市联考)设函数f(x)在R上存在导函数f′(x)，f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程为y＝eq \f(1,2)x＋2，那么f(1)＋f′(1)等于( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 C
解析 由题意得f(1)＝eq \f(1,2)×1＋2＝eq \f(5,2)，
f′(1)＝eq \f(1,2)，
所以f(1)＋f′(1)＝eq \f(5,2)＋eq \f(1,2)＝3.
4．已知函数f(x)＝xln x，若直线l过点(0，－e)，且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的斜率为( )
A．－2 B．2 C．－e D．e
答案 B
解析 设切点坐标为(t，tln t)，∵f(x)＝xln x，∴f′(x)＝ln x＋1，直线l的斜率为f′(t)＝ln t＋1，
∴直线l的方程为y－tln t＝(ln t＋1)(x－t)，
将点(0，－e)的坐标代入直线l的方程得－e－tln t＝－t(ln t＋1)，解得t＝e，
∴直线l的斜率为f′(e)＝2.
5．曲线y＝2ln x上的点到直线x－y＋2ln 2＝0的最短距离为( )
A．2 B．2－ln 2
C．ln 2 D.eq \r(2)
答案 D
解析 由题意知y′＝eq \f(2,x)，令eq \f(2,x)＝1，得x＝2，
故与直线x－y＋2ln 2＝0平行的切线的切点坐标为(2,2ln 2)，
所以所求的距离为eq \f(|2－2ln 2＋2ln 2|,\r(2))＝eq \r(2).
6．已知曲线C：f(x)＝x3－ax＋a，若过曲线C外一点A(1,0)引曲线C的两条切线，它们的倾斜角互补，则a的值为( )
A.eq \f(27,8) B．－2 C．2 D．－eq \f(27,8)
答案 A
解析 由f(x)＝x3－ax＋a，得f′(x)＝3x2－a，
设切点坐标为(x0，xeq \\al(3,0)－ax0＋a)，
∴f′(x0)＝3xeq \\al(2,0)－a，
∴过切点的切线方程为y－xeq \\al(3,0)＋ax0－a＝(3xeq \\al(2,0)－a)(x－x0)，
∵切线过点A(1,0)，
∴－xeq \\al(3,0)＋ax0－a＝(3xeq \\al(2,0)－a)(1－x0)，
解得x0＝0或x0＝eq \f(3,2).
∴f′(0)＝－a，f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))＝eq \f(27,4)－a，
由两切线的倾斜角互补，得－a＝a－eq \f(27,4)，
∴a＝eq \f(27,8).
7．写出一个同时具有性质：①f(x1x2)＝f(x1)＋f(x2)，②当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0的函数f(x)＝________.
答案 ln x(答案不唯一)
解析 若函数f(x)＝ln x，则f(x1x2)＝ln(x1x2)＝ln x1＋ln x2＝f(x1)＋f(x2)，满足①；f(x)＝ln x的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝eq \f(1,x)>0，满足②，故f(x)＝ln x符合题意．
8．(2023·龙岩质检)函数f(x)＝x3＋ln x在点(1，f(1))处的切线l与两坐标轴围成的三角形面积为________．
答案 eq \f(9,8)
解析 f(x)＝x3＋ln x的导数为f′(x)＝3x2＋eq \f(1,x)，所以f(1)＝1，f′(1)＝3＋1＝4，
所以函数f(x)在点(1，f(1))处的切线l：y－1＝4(x－1)，即y＝4x－3.
所以l与坐标轴的交点为(0，－3)和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，0))，所以切线l与两坐标轴围成的三角形面积为eq \f(1,2)×3×eq \f(3,4)＝eq \f(9,8).
9．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(e)＋ln x.
(1)求f′(e)及f(e)的值；
(2)求f(x)在点(e2，f(e2))处的切线方程．
解 (1)∵f(x)＝2xf′(e)＋ln x，
∴f′(x)＝2f′(e)＋eq \f(1,x)，f′(e)＝2f′(e)＋eq \f(1,e)，
∴f′(e)＝－eq \f(1,e)，f(x)＝－eq \f(2x,e)＋ln x，
∴f(e)＝－eq \f(2e,e)＋ln e＝－1.
(2)∵f(x)＝－eq \f(2x,e)＋ln x，f′(x)＝－eq \f(2,e)＋eq \f(1,x)，
∴f(e2)＝－eq \f(2e2,e)＋ln e2＝2－2e，f′(e2)＝－eq \f(2,e)＋eq \f(1,e2)，
∴f(x)在点(e2，f(e2))处的切线方程为y－(2－2e)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,e)＋\f(1,e2)))(x－e2)，
即(2e－1)x＋e2y－e2＝0.
10．(2022·全国甲卷)已知函数f(x)＝x3－x，g(x)＝x2＋a，曲线y＝f(x)在点(x1，f(x1))处的切线也是曲线y＝g(x)的切线．
(1)若x1＝－1，求a；
(2)求a的取值范围．
解 (1)当x1＝－1时，f(－1)＝0，
所以切点坐标为(－1,0)．
由f(x)＝x3－x，得f′(x)＝3x2－1，
所以切线斜率k＝f′(－1)＝2，
所以切线方程为y＝2(x＋1)，
即y＝2x＋2.
将y＝2x＋2代入y＝x2＋a，
得x2－2x＋a－2＝0.
由切线与曲线y＝g(x)也相切，
得Δ＝(－2)2－4(a－2)＝0，
解得a＝3.
(2)由(1)知，y＝f(x)在点(x1，f(x1))处的切线斜率k＝f′(x1)＝3xeq \\al(2,1)－1，
又f(x1)＝xeq \\al(3,1)－x1，所以切线方程为
y－(xeq \\al(3,1)－x1)＝(3xeq \\al(2,1)－1)(x－x1)，
即y＝(3xeq \\al(2,1)－1)x－2xeq \\al(3,1).
将y＝(3xeq \\al(2,1)－1)x－2xeq \\al(3,1)代入y＝x2＋a，
得x2－(3xeq \\al(2,1)－1)x＋a＋2xeq \\al(3,1)＝0.
由切线与曲线y＝g(x)也相切，得
Δ＝(3xeq \\al(2,1)－1)2－4(a＋2xeq \\al(3,1))＝0，
整理，得4a＝9xeq \\al(4,1)－8xeq \\al(3,1)－6xeq \\al(2,1)＋1.
令h(x)＝9x4－8x3－6x2＋1.
则h′(x)＝36x3－24x2－12x＝12x(3x＋1)(x－1)．
由h′(x)＝0，得x＝－eq \f(1,3)，0,1，
当x变化时，h′(x)，h(x)的变化如表所示，
由表知，当x＝－eq \f(1,3)时，h(x)取得极小值heq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))＝eq \f(20,27)，
当x＝1时，h(x)取得极小值h(1)＝－4，
易知当x→－∞时，h(x)→＋∞，
当x→＋∞时，h(x)→＋∞，
所以函数h(x)的值域为[－4，＋∞)，
所以由4a∈[－4，＋∞)，
得a∈[－1，＋∞)，
故实数a的取值范围为[－1，＋∞)．
11．过点P(1,2)作曲线C：y＝eq \f(4,x)的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为( )
A．2x＋y－8＝0 B．2x＋y－4＝0
C．x＋2y－4＝0 D．x＋2y－8＝0
答案 A
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由题意知y′＝－eq \f(4,x2)，
所以曲线C在点A处的切线方程为
y－y1＝－eq \f(4,x\\al(2,1))(x－x1)，
将P(1,2)代入得2－y1＝－eq \f(4,x\\al(2,1))(1－x1)，
因为y1＝eq \f(4,x1)，
所以曲线C在点A处的切线方程可化简得2x1＋y1－8＝0，同理可得曲线C在点B处的切线方程为2x2＋y2－8＝0，所以直线AB的方程为2x＋y－8＝0.
12．我们把分子、分母同时趋近于0的分式结构称为eq \f(0,0)型分式，比如：当x→0时，eq \f(ex－1,x)的极限即为eq \f(0,0)型．两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在．为此，洛必达在1696年提出洛必达法则：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．如： eq \(lim,\s\d4(x→0)) eq \f(ex－1,x)＝eq \(lim,\s\d4(x→0)) eq \f(ex－1′,x′)＝eq \(lim,\s\d4(x→0)) eq \f(ex,1)＝eq \(lim,\s\d4(x→0))ex＝e0＝1，则eq \(lim,\s\d4(x→0)) eq \f(x2ln x,x2－1)＝________.
答案 eq \f(1,2)
解析 eq \(lim,\s\d4(x→1)) eq \f(x2ln x,x2－1)＝eq \(lim,\s\d4(x→1))eq \f(x2ln x′,x2－1′)＝eq \(lim,\s\d4(x→1)) eq \f(2xln x＋x,2x)＝eq \(lim,\s\d4(x→1)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ln x＋\f(1,2)))＝ln 1＋eq \f(1,2)＝eq \f(1,2).
13．已知f(x)＝ln x，g(x)＝eq \f(1,2)x2＋mx＋eq \f(7,2)(m＜0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图象都相切，且与f(x)图象的切点为(1，f(1))，则m等于( )
A．－1 B．－3 C．－4 D．－2
答案 D
解析 由题意得，f′(x)＝eq \f(1,x)，g′(x)＝x＋m，
∴与f(x)图象的切点为(1，f(1))的切线l的斜率k＝f′(1)＝1，
且f(1)＝ln 1＝0，所以切点为(1,0)，
∴直线l的方程为y＝x－1，
∵直线l与g(x)的图象也相切，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝x－1，,y＝\f(1,2)x2＋mx＋\f(7,2)，))此方程组只有一解，
即eq \f(1,2)x2＋(m－1)x＋eq \f(9,2)＝0只有一解，
∴Δ＝(m－1)2－4×eq \f(1,2)×eq \f(9,2)＝0，
解得m＝－2或m＝4(舍去)．
14．(2023·重庆模拟)设三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d，若曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线与曲线g(x)＝xf(x)在点(1,2)处的切线重合，则g′(2)＝________.
答案 －32
解析 由题意知，f(0)＝0，
∴d＝0，f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，
f(x)在(0,0)处的切线为y－0＝f′(0)(x－0)，
即y＝f′(0)x，
∵g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，g′(1)＝f(1)＋f′(1)，
∴g(x)在(1,2)处的切线方程为
y＝g′(1)x－g′(1)＋2，
又∵两条切线重合，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f′0＝g′1，,－g′1＋2＝0，))
∴f′(0)＝g′(1)＝2，
又∵g(1)＝f(1)＝2，g′(1)＝f(1)＋f′(1)，
∴f′(1)＝0，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f′0＝c＝2，,f′1＝3a＋2b＋c＝0，,f1＝a＋b＋c＝2，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－2，,b＝2，,c＝2，))
∴f(x)＝－2x3＋2x2＋2x，
f′(x)＝－6x2＋4x＋2，
∴g′(2)＝f(2)＋2f′(2)＝－32.基本初等函数
导函数
f(x)＝c(c为常数)
f′(x)＝0
f(x)＝xα(α∈Q*)
f′(x)＝αxα－1
f(x)＝sin x
f′(x)＝cs x
f(x)＝cs x
f′(x)＝－sin x
f(x)＝ax
f′(x)＝axln a
f(x)＝ex
f′(x)＝ex
f(x)＝lgax
f′(x)＝eq \f(1,xln a)
f(x)＝ln x
f′(x)＝eq \f(1,x)
x
(－∞，－eq \f(1,3))
－eq \f(1,3)
(－eq \f(1,3)，0)
0
(0,1)
1
(1，＋∞)
h′(x)
－
0
＋
0
－
0
＋
h(x)
↘
极小值
↗
极大值
↘
极小值
↗