湖北省武汉市华中科技大学附属中学2024届高三下学期数学模拟（四）试卷（Word版附解析）

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.（ ）1
A. B. 1C. D.
【答案】C
【解析】
故选：C.
2.设全集，集合，B={x|≤1}，则=（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解对数不等式得：，即，
又，
所以，
故选:D．
3.设平面向量，均为单位向量，则“”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】因为
，
所以“”是“”的充分必要条件，
故选：C.
4.已知正项数列满足，若存在，使得，则的最小值为（ ）
A. 32B. 64C. 128D. 256
【答案】B
【解析】因为，所以为等比数列，设的公比为，
因为，所以，即，得．
所以．
因为，
所以，
当且仅当时等号成立，
所以．
故选：B.
5. 的展开式中的系数为（ ）
A 55B. C. 65D.
【答案】D
【解析】含的项为，
所以展开式中的系数为．
故选：
6.函数f(x)= cs (x-) ln( )的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】函数的定义域为，
，又因为
，
所以函数奇函数，故排除D，
因为，在上成立，在上成立，
故函数在上有，在上有，
所以排除A,B，故C正确.
故选：C.
7.已知抛物线过点，动点M，N为C上的两点，且直线AM与AN的斜率之和为0，直线l的斜率为，且过C的焦点F，l把分成面积相等的两部分，则直线MN的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为抛物线过点，
所以，解得：，所以，
设，
直线，代入中整理得，
所以,，
所以
，即，
则，解得：，
所以直线，
直线l的斜率为，且过C的焦点，
所以，则到直线的距离为，
所以l把分成面积相等的两部分，因为直线与直线平行，
所以到直线的距离为到直线距离的，
，解得：或（舍去）.
所以直线MN的方程为.
故选：D.
8.已知，且，函数，若关于x的方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】当时，，则，
则，
即，，可得的大致图像如图：
由图可知，此时的图像与直线仅有一个交点，
故关于x的方程仅有一个实数根，不满足题意；
当时，，则，
又，的大致图像如图：
因为关于x的方程有两个不相等的实数根，
所以的图像与直线有两个交点，
结合图象可知，解得．
故选：B．
选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.为了解中学生课外阅读情况，现从某中学随机抽取200名学生，收集了他们一年内的课外阅读量（单位：本）的数据，以下是根据数据绘制的统计图表的一部分．
下列推断正确的是（ ）
A. 这200名学生阅读量的平均数大于25本
B. 这200名学生阅读量中位数一定在区间内
C. 这200名学生中的初中生阅读量的分位数不可能在区间内
D. 这200名学生中的初中生阅读量的分位数一定在区间内
【答案】ABC
【解析】对于A：由表中数据可知，男生的平均阅读量为本，女生的平均阅读量为本，
男生人，女生人，这200名学生阅读量的平均数为，故A正确；
对于B：由于，阅读量在内有人，在内有人，在内有人，
所以这200名学生阅读量的中位数一定在区间内，故B正确；
对于C：设在区间内的初中生有人，由于在内有人，
故且，，
而，
即这200名学生中的初中生阅读量的分位数不可能在区间内，故C正确；
对于D：当时，初中生共有人，
，故分位数为第个与第个的平均数，因此在区间内，
当时，初中生共有人，
，故分位数为第个数，因此在区间内，故D错误；
故选：ABC
10.已知，是圆O：上两点，则下列结论正确的是（ ）
A. 若点O到直线的距离为，则
B. 若的面积为，则
C. 若，则点O到直线的距离为
D. 的最大值为，最小值为
【答案】AC
【解析】对于A：易知圆：的半径，
因为点O到直线的距离，
所以，
即选项A正确；
对于B：因为的面积为，
所以，
即，解得，
因为，
所以或，
即选项B错误；
对于C：因为，所以，
即，即，
因，所以，
即是边长为1的等边三角形，
所以点O到直线的距离为，
即选项C正确；
对于D：由题意设，，且，
则
因为，所以，
则，，
，
所以，
即，
即选项D错误.
故选：AC.
11.某区四所高中各自组建了排球队（分别记为“甲队”“乙队”“丙队”“丁队”）进行单循环比赛（即每支球队都要跟其他各支球队进行一场比赛），最后按各队的积分排列名次，积分规则为每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．若每场比赛中两队胜、平、负的概率都为，则在比赛结束时（ ）
A. 甲队积分为9分的概率为B. 四支球队的积分总和可能为15分
C. 甲队胜3场且乙队胜1场的概率为D. 甲队输一场且积分超过其余每支球队积分的概率为
【答案】ABD
【解析】对于选项A：若甲队积分为9分，则甲胜乙、丙、丁，
所以甲队积分为9分的概率为，故A正确；
对于选项B：四支球队共6场比赛，例如甲胜乙、丙、丁，而乙、丙、丁之间平，
则甲得9分，乙、丙、丁各得2分，
所以四支球队的积分总和可能为15分，故B正确；
对于选项C：每场比赛中两队胜、平、负的概率都为，
则甲队胜3场且乙队胜1场的概率为，故C错误；
对于选项D：甲队在输了一场且其积分仍超过其余三支球队的积分，
三队中选一队与甲比赛，甲输，，例如是丙甲，
若甲与乙、丁的两场比赛一赢一平，则甲只得4分，
这时，丙乙、丙丁两场比赛中丙只能输，否则丙的分数不小于4分，不合题意，
在丙输的情况下，乙、丁已有3分，
那个它们之间的比赛无论什么情况， 乙、丁中有一人得分不小于4分，不合题意；
若甲全赢（概率是）时，甲得6分，其他3人分数最高为5分，
这时丙乙，丙丁两场比赛中丙不能赢否则丙的分数不小于6分，只有全平或全输，
①若丙一平一输，概率，如平乙，输丁，则乙丁比赛时，丁不能赢，概率；
②若丙两场均平，概率是，乙丁这场比赛无论结论如何均符合题意；
③若两场丙都输，概率是，乙丁这场比赛只能平，概率是；
综上概率为，故D正确．
故选：ABD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.已知函数的部分图像如图所示，在区间内单调递减，则的最大值为________．
【答案】
【解析】由图可知函数过点，所以，即，所以或，，
因为，所以或，又函数在原点右侧最近的零点的右侧的极值点函数取得最小值，
所以，所以，
因为在区间内单调递减，，
所以，所以，
所以，则或，
解得或，
所以的最大值为.
故答案为：2
13.甲､乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和.若，则__________.
【答案】##
【解析】设母线长为，甲圆锥底面半径为，乙圆锥底面圆半径为，
则，所以，
又，则，所以，
所以甲圆锥的高，
乙圆锥的高，
所以.
故答案为：
14.如图，在直三棱柱中，，，，为线段上的一点，且二面角的正切值为3，则三棱锥的外接球的体积为__________.

【答案】
【解析】
如图，作，交于，则，
过作交于点，连接.
因为为直三棱柱，则平面，且，
则平面，且平面，所以，
又，，平面，
所以平面，平面，所以，
则是二面角的平面角，
所以，所以，
又，，所以，所以，.
可把三棱锥补成棱长为，，的长方体，
则三棱锥的外接球的半径为，
所以三棱锥的外接球的体积为.
故答案为：
解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
已知锐角，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且．
(1)证明：；
(2)若为的角平分线，交AB于D点，且．求的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由正弦定理可将转化为，结合角度关系转化得，即可证得；
（2）由为的角平分线，，可得，根据面积公式可求得，再由三角形为锐角三角形可得的范围，由平方公式二倍角公式可得的值，根据和差公式得的值，由余弦定理求得，再根据正弦定理的的值即可.
【详解】（1）证明：因为，由正弦定理得：
，又，
所以，整理得．
又，则，即.
（2）因为为的平分线，且，
所以，则，
所以，可得，
因为为锐角三角形，所以，解得，
所以，所以，
所以，
在中，由余弦定理可得，所以，
由正弦定理得.
16.如图，已知四棱锥中，，，，平面，平面平面
(1)证明：；
(2)若，且，为的重心．求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由面面垂直的性质定理、线面垂直的判定定理和性质定理即可证明；
（2）以为坐标原点，，为，轴，过平行于的直线为轴建立空间直角坐标系，分别求出直线的方向向量与平面的法向量，由线面角的向量公式代入即可得出答案.
【详解】（1）过作于，∵平面平面，平面平面，
因为平面，∴平面，又平面，
∴，又∵平面，平面，∴
平面，，
∴平面，又∵平面，∴
（2）以为坐标原点，，为，轴，过平行于的直线为轴建立空间直角坐标系，
∴，，，
又设，∵，∴①
∴，∴②
由①②得，，∴
又，故，
设平面的法向量为则，
令，∴
设直线与平面所成角为．
则．
17.已知函数，．
(1)当时，求函数的最小值；
(2)若函数的最小值为，求的最大值．
【答案】(1)0
(2)1
【分析】（1）当时，令，求得，根据在不同区间的符号判断的单调性，由单调性即可求出的最小值；
（2）将等价变换为，借助第（1）问中判断的符号时构造的在时取最小值，取，将问题转化为有解问题即可.
【详解】（1）当时，令，，
则，
令，，则，
易知在上单调递增，且，
∴当时，，在区间上单调递减，且，
当时，，在区间上单调递增，且，
∴当时，，在区间上单调递减，
当时，，在区间上单调递增，
当时，取得极小值，也是最小值，，
∴当时，函数的最小值为.
（2）由已知，的定义域为，
若函数的最小值为，则有，∴，，
令，即的最小值为，
由第（1）问知，当且仅当时，取最小值，
∴当且仅当时，取得最小值，
又∵，
∴只需令有解，即有解，
令，，则，
当时，，在区间上单调递增，
当时，，在区间上单调递减，
∴，
综上所述，若函数的最小值为，则的最大值为.
18.已知双曲线的离心率为，且点在双曲线C上.
(1)求双曲线C的方程；
(2)若点M，N在双曲线C上，且，直线不与y轴平行，证明：直线的斜率为定值.
【答案】(1)
(2)直线的斜率为定值
【分析】(1)根据离心率公式确定，再根据双曲线经过点即可求解；
(2)利用韦达定理用坐标表示出,进而可求解.
【详解】（1）由题可得离心率，所以，
又因为，所以，
所以双曲线方程为，
又因为双曲线过点，所以，解得，
所以双曲线方程为.
（2）设直线的方程为，
联立得，
则得，
，得，
，
，
因为，所以，
所以，
即，
所以，
所以即，
得或，
若，则直线的方程为，
即过点，不符合题意，
若，则，满足，
综上直线的斜率为定值.
19.数列满足：是等比数列，，且．
(1)求；
(2)求集合中所有元素的和；
(3)对数列，若存在互不相等的正整数，使得也是数列中的项，则称数列是“和稳定数列”．试分别判断数列是否是“和稳定数列”．若是，求出所有的值；若不是，说明理由．
【答案】(1)，
(2)
(3)数列是“和稳定数列”，，数列不是“和稳定数列”，理由见解析
【分析】（1）根据已知及等比数列的定义求出的通项公式，由已知和求通项可得的通项公式，
（2）根据等差数列及等比数列的求和公式可得结果
（3）根据“和稳定数列”的定义可判定.
【详解】（1），
又，，解得：
因为是等比数列，所以的公比，
又当时，，
作差得：
将代入，化简：，
得：
是公差的等差数列，
（2）记集合的全体元素的和为，
集合的所有元素的和为，
集合的所有元素的和为，
集合的所有元素的和为，则有
对于数列：
当时，是数列中的项
当时，不是数列中的项
，其中
即（其中表示不超过实数的最大整数）
（3）①解：当时，是的正整数倍，
故一定不是数列中的项；
当时，，不是数列中的项；
当时，，是数列中的项；
综上，数列是“和稳定数列”，；
②解：数列不是“和稳定数列”，理由如下：
不妨设：，则，且
故不是数列中的项.
数列不是“和稳定数列”.



性别
男
7
31
25
30
4
女
8
29
26
32
8
学段
初中
25
36
44
11
高中