湖南省长沙市湘郡培粹实验中学2023届九年级下学期中考三模数学试卷(含解析)

这是一份湖南省长沙市湘郡培粹实验中学2023届九年级下学期中考三模数学试卷(含解析)，共23页。

注意事项：
1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号；
2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效；
3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示；
4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁；
5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸；
6．本学科试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分．
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1. 四个实数﹣，1，2，中，比0小的数是（ ）
A. ﹣B. 1C. 2D.
答案：A
解析：解：根据负数都小于零可得，﹣＜0，故A正确．
故选：A．
本题考查了实数的大小比较，解答此题关键要明确：正实数＞零＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
2. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（ ）

A. 圆锥B. 三棱锥C. 三棱柱D. 四棱柱
答案：C
解析：解：由三视图知，该几何体是三棱柱，
故选：C．
本题主要考查由三视图判断几何体，由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状．
3. 为了调查我市某校学生的视力情况，在全校的2000名学生中随机抽取了300名学生，下列说法正确的是（ ）
A. 此次调查属于全面调查B. 样本容量是300
C. 2000名学生是总体D. 被抽取的每一名学生称为个体
答案：B
解析：解：A、此次调查属于抽样调查，故此选项不合题意；
B、样本容量是300，故此选项符合题意；
C、2000名学生的视力情况是总体，故此选项不合题意；
D、被抽取的每一名学生的视力情况称为个体，故此选项不合题意．
故选：B．
本题考查了全面调查与抽样调查，总体、个体、样本、样本容量，掌握这些数学概念是解题的关键．
4. 下列运算结果正确的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：C
解析：解：A、，故本选项错误，不符合题意；
B、，故本选项错误，不符合题意；
C、，故本选项正确，符合题意；
D、，故本选项错误，不符合题意；
故选：C．
本题主要考查了同底数幂相乘，合并同类项，幂的乘方，完全平方公式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
5. 若点在第二象限，则点的坐标为在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
答案：C
解析：解：∵点在第二象限，
∴，，
∴，
∴在第三象限，
故选：C．
本题考查了平面直角坐标系点的坐标特征，熟知平面直角坐标系中四个象限的点的坐标特征是解本题的关键．
6. 一组数据：2，0，2，3，若添加一个数据3，则不发生变化的统计量是（ ）
A. 平均数B. 中位数C. 众数D. 方差
答案：B
解析：解：A、原来数据的平均数是，添加数字3后平均数为，平均数发生了变化，故不符合题意；
B、原来数据的中位数是2，添加数字3后中位数仍为2，故符合题意；
C、原来数据的众数是2，添加数字3后众数为2和3，故不符合题意；
D、原来数据的方差，添加数字3后的方差，故方差发生了变化，故不符合题意；
故选：B．
本题主要考查的是众数、中位数、方差、平均数，熟练掌握相关概念和公式是解题的关键．
7. 某服装店新上一款运动服，第一天销售了件，第二天的销售量是第一天的两倍少3件，第三天比第二天多销售5件，则第三天的销售量是（ ）
A. 件B. 件C. 件D. 件
答案：C
解析：解：∵第一天销售了件，第二天的销售量是第一天的两倍少3件，即，第三天比第二天多销售5件，即，
∴第三天的销售量是件，
故选：C．
本题考查了列代数式，理解题意是解题的关键．
8. 将一个直角三角板和无刻度的直尺按如图所示放置，使三角板的直角顶点放在直尺的一边上，已知，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：解：如图，根据题意得：，，

∴，，
∵，
∴，
故选：A
本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
9. 如图，是的内切圆，若的周长为18，面积为9，则的半径是（ ）

A. 1B. C. 1.5D. 2
答案：A
解析：解：如图，设与的各边分别相切于点E、F、G，连接，设的半径为r，
则，，
∵
，
又的周长为18，面积为9，
∴，
∴，
故选：A.

本题考查了利用三角形的面积求三角形的内切圆半径，掌握求解的方法是解题的关键.
10. 在中，，，是上的一点，若的周长比的周长大3，根据下列尺规作图痕迹可以得到符合条件的的是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：解：∵，，
∴，
∵的周长比的周长大3，
∴，即，
∴当时，周长比的周长大3，
观察四个选项，只有选项B符合题意，
故选：D．
本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是___．
答案：
解析：解：根据题意，使二次根式有意义，即x﹣2≥0，
解得：x≥2．
故答案为：x≥2．
本题主要考查使二次根式有意义的条件，理解二次根式有意义的条件是解题关键．
12. 方程的解是__________．
答案：
解析：解：，
去分母得：，
解整式方程得：，
经检验是原方程的解，
所以方程的解为，
故答案为：．
本题主要考查了解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的一般步骤准确计算，注意解分式方程要进行检验．
13. 关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是_________．
答案：##
解析：解：根据题意得，
解得．
故答案为：．
本题考查了一元二次方程的根的判别式以及解一元一次不等式，理解并掌握一元二次方程的根的判别式的意义是解题关键．
14. 如图，的半径为，是的内接三角形，半径于，当时，的长是________．
答案：
解析：解：的半径为，
∴，
∵是的内接三角形，，
∴，
∴是等腰直角三角形，，，，
∵半径于，
∴，
故答案为：．
本题主要考查圆与三角形的综合，等腰直角三角形的性质的综合，掌握以上知识的综合运用解题的关键．
15. 春日好时光，读书正当时，在第个世界读书日来临之际，月日，由省教育厅等八个部门联合主办的年河南省青少年学生读书行动启动仪式暨河南省中小学书香校园建设现场会在漯河市举行．河南某中学以此次活动为契机，举行相关朗诵比赛，更好的落实五育并举的教育方针，促进师生珍惜时光、广泛阅读、下面是甲、乙、丙三名参赛选手的成绩如表所示，每名选手的成绩由观众评分和评委评分两部分组成：
经过最后汇总，总分最高的是________选手（填“甲、乙、丙”）．
答案：乙
解析：解：甲的平均成绩为：
乙平均成绩为：
丙的平均成绩为：
∴总分最高的是乙选手
故答案为：乙．
本题考查了求加权平均数，根据加权平均数作决策，熟练掌握加权平均数的计算方法是解题的关键．
16. 某学习兴趣小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：
（i）男学生人数多于女学生人数；
（ii）女学生人数多于教师人数；
（iii）教师人数的两倍多于男学生人数
①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为______；
②该小组人数的最小值为______．
答案： ①. 6 ②. 12
解析：解：①设男生有x人，女生有y人，且x＞y，根据题意得：
，，
解得：，
∵x、y均为整数，且x＞y，
∴x=6或7，y=5或6；
∴女学生人数的最大值为6
故答案为：6
②设男生有m人，女生有n人，教师有t人，根据题意得：
，
解得：，
∵m，n，t均为整数，且m＞n，
∴，
∴，即t＞2，
∴t的最小值为3，
当t=3时，n=4，m=5，
∴m+n+t=5+4+3=12．
故答案为：12
本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 计算：．
答案：
解析：解：原式
本题考查了负指数幂、二次根式化简、去绝对值、特殊角三角函数值，掌握公式及具体三角函数值是解题的关键．
18. 解不等式组：
答案：
解析：解：
解不等式①得；
解不等式②得；
∴不等式组的解集为．
题目主要考查求不等式组的解集，熟练掌握求不等式解集的方法是解题关键．
19. 科技改变生活，科技服务生活．如图为一新型可调节洗手装置侧面示意图，可满足不同人的洗手习惯，为竖直的连接水管，当出水装置在A处且水流与水平面夹角为时，水流落点正好为水盆的边缘C处；将出水装置水平移动至B处且水流与水平面夹角为30°时，水流落点正好为水盆的边缘D处，．
（1）求连接水管的长．（结果保留整数）
（2）求水盆两边缘C，D之间的距离．（结果保留一位小数）
（参考数据：）
答案：（1）
（2）
小问1解析：
∵，
∴．
答：连接水管的长为．
小问2解析：
如图，连接．
∵，
∴四边形为平行四边形．
∵，
∴四边形为矩形，
∴．
∵，
∴，
∴．
答：水盆两边缘C，D之间的距离为．
本题主要考查了解直角三角形的实际应用，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键．
20. 某校以中国传统节日端午节为契机，组织全体学生参加包粽子劳动体验活动，随机调查了部分学生，对他们每个人平均包一个粽子的时长进行统计，并根据统计结果绘制成如下不完整的统计图表．
根据图表信息，解答下列问题：
（1）本次调查的学生总人数为___，表中x的值为___；
（2）该校共有500名学生，请你估计等级为B的学生人数；
（3）本次调查中，等级为A的4人中有两名男生和两名女生，若从中随机抽取两人进行活动感想交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率．
答案：（1），
（2）200 （3）
小问1解析：
解：本次调查学生总人数为（人）
，
故答案为：，．
小问2解析：
（人），
答：等级为B的学生人数为200人．
小问3解析：
画树状图，如图所示：
共有12种等可能结果，其中符合题意的有8种，
抽到一名男生和一名女生的概率为．
本题考查了频数分布表，条形统计图，样本估计总体，画树状图法求概率，熟练掌握以上知识是解题的关键．
21. 如图，正方形中，E是上的一点，连接，过B点作，垂足为点G，延长交于点F，连接．
（1）求证：．
（2）若正方形边长是5，，求的长．
答案：（1）见解析 （2）
小问1解析：
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
小问2解析：
∵正方形边长是5，
∴，
∵，
∴由（1）得，
∴，
在中，由勾股定理得：．
此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，本题证明是解本题的关键．
22. 小明爸爸想锻炼小明的独立生活能力并提高用数学知识解决实际问题的能力，让小明周末期间去姑姑家，到姑姑家后，下面是一段对话：
小明：坐出租车价格怎么计费？
姑姑：2公里以内6元，还要加1元的燃油补贴，超过2公里，超出部分每公里2元，超出部分不再出燃油补贴，但不足1公里按1公里计费，例如公里按4公里收费．
根据对话解答下列问题：
（1）小明乘出租车去公里处的风景点A处要付司机 元．
（2）小明乘出租车去x公里(且x为整数)的风景点B处，要付钱 元（用含x的代数式表示）
（3）小明从风景点B处去C处，下了出租车交给司机师傅13元，说：“师傅，这些钱够不够？”师傅说：“钱数恰好，且路程也刚好为整数．”小明回家后告诉爸爸，我知道从风景点B到风景点C处有多少公里了．请你帮小明算一算．
答案：（1）9 （2）
（3）风景点B到风景点C处有5公里．
小问1解析：
解：小明乘出租车去公里处的风景点A处，取整为3，
则要付司机元．
故答案为：9；
小问2解析：
解：∵小明乘出租车去x公里风景点B处，
．
故答案为：；
小问3解析：
解：设风景点B到风景点C处有x公里，
，
解得：，
答：风景点B到风景点C处有5公里．
本题考查了列代数式，代数式求值，以及一元一次方程的知识点，关键看到路程和钱数的关系，从而可解．
23. 如图，已知，，，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，求的长．
答案：（1）见解析 （2）
小问1解析：
证明：，，
垂直平分，
，
，
，
，
四边形是平行四边形；
小问2解析：
过作于，
，
，
由（1）可知，
四边形是矩形，
，
，
，，
，
，
，
，
，，，
，
∴，
，
，
，
，
．
本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的判定和性质定理是解题的关键．
24. 定义：平面直角坐标系中有点，若点满足且，则称是的“界密点”．
（1）①点的“界密点”所组成的图形面积是__________；
②反比例函数图象上__________（填“存在”或者“不存在”）点的“界密点”．
（2）直线经过点，在其图像上，点的“界密点”组成的线段长为，求的值．
（3）关于的二次函数（是常数），将它的图象绕原点逆时针旋转得曲线，若与上都存在的“界密点”，直接写出的取值范围．
答案：（1）①；②存在
（2）的值为或或；
（3）．
小问1解析：
解：①设点的“界密点”为，
∴，，
∴，，
∴如图所示：所组成的图形是边长为的正方形，
∴点的“2界密点”所组成的图形面积是：，
故答案为：；
②设点的“界密点”为，
∴，，
∴，,
∴当，时，在反比例函数的图象上．
故答案为：存在；
小问2解析：
设点的“界密点”，
∴，，
①当直线与左边界相交时，
∵，，
∴，
解得，，
∴直线不可能和上边界相交．
②当直线与下边界相交时，
∵点，点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
综上的值为或或．
小问3解析：
设点的“界密点”，
∴，，
∵的二次函数（是常数），将它的图象绕原点逆时针旋转得曲线，与上都存在的“界密点”，
∴有图象可知：抛物线的取值在之间时，与上都存在的“界密点”，
∴当抛物线经过点时，有最大值，
∵图象绕原点逆时针旋转得曲线
∴当抛物线经过点时，有最小值，
∴，
本题考查了新定义“界密点”，反比例函数的性质，二次函数的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，平面内点的坐标特征，掌握反比例函数的性质及二次函数的性质是解题的关键．
25. 如图1，为半圆O的直径，C为延长线上一点，切半圆于点D，，交延长线于点E，交半圆于点F，已知．点P，Q分别在线段上（不与端点重合），且满足．设．
（1）求半圆O的半径．
（2）求y关于x的函数表达式．
（3）如图2，过点P作于点R，连结．
①当为直角三角形时，求x的值．
②作点F关于的对称点，当点落在上时，求的值．
答案：（1）
（2）
（3）①或；②
小问1解析：
解：如图1，连结．设半圆O的半径为r．
∵切半圆O于点D，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，即半圆O的半径是．
小问2解析：
由（1）得：．
∵，
∴．
∵，
∴．
小问3解析：
①显然，所以分两种情况．
ⅰ）当时，如图2．
∵，
∴．
∵，
∴四边形为矩形，
∴．
∵，
∴，
∴．
ⅱ）当时，过点P作于点H，如图3，
则四边形是矩形，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
由得：，
∴．
综上所述，x的值是或．
②如图4，连结，
由对称可知，
∵BE⊥CE，PR⊥CE，
∴PR∥BE，
∴∠EQR=∠PRQ，
∵，，
∴EQ=3-x，
∵PR∥BE，
∴，
∴，
即：，
解得：CR=x+1，
∴ER=EC-CR=3-x，
即：EQ= ER
∴∠EQR=∠ERQ=45°，
∴
∴，
∴．
∵是半圆O的直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
本题是圆的综合题，主要考查了切线的性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，三角函数等知识，利用三角函数表示各线段的长并运用分类讨论思想是解题的关键．
评分人
评分权重
甲
乙
丙
观众（学生）
分
分
分
评委（老师）
分
分
分
等级
时长（单位：分种）
人数
所占百分比
A
B
C
D