湖南省长沙市湘郡培粹实验中学2024届九年级上学期开学考试数学试卷(含解析)

这是一份湖南省长沙市湘郡培粹实验中学2024届九年级上学期开学考试数学试卷(含解析)，共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1. 下列各式中 ， ， ， ， ， ，二次根式的个数有（ ）
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
答案：A
解析：是二次根式；中被开方数3a可能是负数，故不是二次根式；中，=35>0，则是二次根式；中，a2+b2≥0，则是二次根式；中，m2+20≥0，则是二次根式；中，-144是负数，则不是二次根式.
综上，二次根式有4个，
故选A.
2. 函数是关于的二次函数，则的值为( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：函数是关于的二次函数，
且，
解得，
故选：C．
本题主要考查的是二次函数的概念，掌握二次函数的概念是解题的关键．
3. 如图，矩形中，交于点，分别为的中点．若，则的长为（ ）
A. 2B. 4C. 8D. 16
答案：B
解析：解：四边形是矩形，交于点，，
，
，即，
，
分别为的中点，
是的中位线，
，
故选：B．
本题主要考查了矩形的性质以及三角形中位线的定理，解题的关键是找到线段间的倍分关系．
4. 已知一次函数y=kx+b,当x增加3时,y减小2,则k的值是( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：由题意得：y=kx+b，y-2=k（x+3）＋b，两式相减得2=-3k，
∴k=-．
故选D
本题考核知识点：一次函数的值. 解题关键点：理解函数值的意义.
5. 若，则的值为（ ）
A. 2或B. 或6C. 6D. 2
答案：D
解析：解：设，则有，
∴，
，
或，
∴，，
∵，
∴，故D正确．
故选：D．
本题考查用因式分解法解一元二次方程，熟练掌握用用因式分解法解一元二次方程是解题的关键，注意整体思想的运用．
6. 两个物体A，B所受的压强分别为，（都为常数）．它们所受压力F与受力面积S的函数关系图象分别是射线、，已知压强，则（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：解∶观察图象得：当受力面积S相同时，射线位于的上方，即，
∵，
∴．
故选：B
本题考查了反比例函数的的应用，函数的图象，是学科综合题，还考查综合运用知识的能力，反映学生在理科方面的水平．
7. 节约用水是全社会的共识，小明统计了学校5日的用水量，并绘制了如下统计图，对于统计图中的数据，下列说法正确的是（ ）

A. 平均数是6B. 众数是7C. 中位数是11D. 方差是8
答案：D
解析：由折线统计图可得到样本数据为：．
按从小到大的顺序排列依次为：．
平均数为；众数为；中位数是7．故均错误．
方差，D正确．
故选：D．
本题考查了折线统计图中的平均数，中位数，众数和方差，解题的关键在于能够熟知相关定义．
8. 将抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位后所得到的抛物线的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
答案：D
解析：解：∵抛物线的顶点坐标为，
∴抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到的抛物线的顶点坐标为，
∴平移后抛物线的解析式为．
故选：D．
此题考查了二次函数的图象与几何变换，解题的关键是熟练掌握二次函数的平移规律：上加下减,，左加右减．
9. 如图，在矩形中，点B的坐标是，则A，C两点间的距离是（ ）

A. B. C. D. 6
答案：B
解析：解：如图，连接，，

∵四边形是矩形，
∴，
∵点B的坐标是，点，
∴，
∴A，C两点间的距离为，
故选：B．
本题考查矩形的对角线相等，解题的关键是熟练运用矩形的性质以及勾股定理．
10. 如图，在平面直角坐标系中，已知矩形，，点为轴上的一个动点，以为边在右侧作等边，连接，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：解：如图，以为边在右侧作等边，
∴，
连接并延长交轴于点，过点作于点，
在矩形中，
∵，
∴，，
∴，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴点在过定点且与垂直直线上运动，即点在直线上运动，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
当点与不重合时，，
当点与重合时，，
综上所述：，
∴的最小值为，
故选：B．

本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，角的直角三角形的性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11. 已知关于x的方程的两个根是0和，则的值为_______．
答案：2
解析：解：∵关于x的方程的两个根是0和，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：2．
本题考查了一元二次方程的解，根据定义得出二元一次方程组是解题的关键．
12. 已知两条线段的长为和，当第三条线段的长为_________时，这三条线段能组成一个直角三角形.
答案：13或
解析：解：根据勾股定理，当12为直角边时，第三条线段长为=13；
当12为斜边时，第三条线段长为=；
故答案为13或．
本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握并正确运用勾股定理逆定理是解题的关键，注意要分两种情况讨论．
13. 一个样本为1、3、2、2、a，b，c．已知这个样本的众数为3，平均数为2，那么这个样本的方差为_____．
答案：．
解析：解：因为众数为3，可设a=3，b=3，c未知
平均数=（1+3+2+2+3+3+c）=2，解得c=0
根据方差公式S2= [（1-2）2+（3-2）2+（2-2）2+（2-2）2+（3-2）2+（3-2）2+（0-2）2]=
故答案为：．
14. 已知二元一次方程组的解为，则图中两直线的交点的坐标为______．

答案：
解析：解：因为关于，的二元一次方程组的解为，
则直线和直线的交点坐标为，
故答案为：．
本题考查了一次函数与二元一次方程（组，解题的关键是理解两一次函数的交点坐标就是两函数解析式所组成的方程组的解．
15. 将一副三角尺如图所示叠放在一起，若=14cm，则阴影部分的面积是___cm2
答案：
解析：解：∵∠B=30°，∠ACB=90°，=14cm，
∴AC=AB=7cm,
在ΔAFC中，∠AFC=∠D=45°，
∴CF=AC=7cm，
则阴影部分的面积是()
故答案为：
16. 已知直线的解析式为，菱形，，，…按图所示的方式放置，顶点，，，，…均在直线上，顶点，，，…均在轴上，则点的坐标是____．

答案：
解析：设与轴交于点，如图，

由一次函数，当时，，∴，
当时，，解得：，∴，
∵四边形是菱形,
∴垂直平分,
∴，
把代入得，
∴，
∵同理：，
把代入得，
∴，
依次规律：，
∴当时，，
故答案为：．
此题考查了菱形的性质，一次函数图形上点的坐标特征，正确得到点的坐标的规律是解题的关键．
三、解答题（共9题，第17题8分，第18-19题各5分，第20-21各8分，第22-23各9分，24-25各10分，共72分．）
17 解方程：
（1）；
（2）．
答案：（1）
（2）
小问1解析：
解：，
，
，
，
，
，
，
原方程的解为；
小问2解析：
解：，
或，
解得：，
原方程的解为：．
本题考查了一元二次方程，解一元二次方程的方法有：公式法、直接开平方法、配方法、因式分解法，选择合适的方法是解题的关键．
18. 计算：．
答案：
解析：解：原式
．
本题考查了二次根式的运算，涉及到了平方差公式和完全平方差公式，解题关键是牢记公式．
19. 如图，中，，平分，交于点，，．求线段的长．

答案：的长为
解析：解：如图所示，过点作于点，

∵平分，，即，且，
∴，
在中，，
在中，
，
∴，
∴，
设，则，且，
∴在中，，
∴，解得，，
∴的长为．
本题主要考查角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理的运用的综合，掌握以上知识的综合运用是解题的关键．
20. 甲、乙两名运动员在次百米跑训练中的成绩如下表：（单位：秒）
请你比较这两组数据的众数、平均数、中位数，并利用这些数据对甲、乙两名运动员进行评价？
答案：从众数上看，乙的整体成绩大于甲的整体成绩；从平均数上看，乙的平均成绩优于甲的平均成绩；从中位数看，甲、乙的成绩一样好
解析：甲：数据出现次，次数最多，所以众数是；
平均数；
中位数；
乙：数据出现次，次数最多，所以众数；
平均数；
中位数；
所以从众数上看，乙的整体成绩大于甲的整体成绩；
从平均数上看，乙的平均成绩优于甲的平均成绩；
从中位数看，甲、乙的成绩一样好．
本题主要考查了平均数,中位数，解本题的要点在于了解平均水平的判断主要分析平均成绩，优秀成绩的判断从中位数不同可以得到，众数比较整体成绩等知识点.
21. 如图，在矩形中，、分别是边、上的点，，连接、，与对角线交于点，且，．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
答案：（1）见解析 （2）
小问1解析：
证明：四边形是矩形，
，
．
在和中，
，
，
．
小问2解析：
解：如图：连接．
，，
，
在中，．
，
．
四边形是矩形，
，
．
，即，
．
，
，
．
本题主要考查的是矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形等知识点，正确作出辅助线是解决此题的关键．
22. 某水晶厂生产的水晶工艺品非常畅销，某网店专门销售这种工艺品，成本为30元/件，每天销售y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系如图所示．
（1）直接写出y与x之间的函数关系式 ；
（2）如果规定每天工艺品的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？
（3）该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出150元给希望工程，当捐款后每天剩余利润不低于3600元时，试确定该工艺品销售单价的范围和每天的最大销量．
答案：（1）y=-10x+700．
（2）销售单价为46元时，利润最大为3840元．
（3）当45≤x≤55时，捐款后每天剩余利润不低于3600元；最大销量为250件．
小问1解析：
解：设y与x之间的关系式：y=kx+b，
由题意可得：
解得
∴y与x之间的函数关系式为：y=-10x+700；
小问2解析：
解：设利润为w，由题意得：-10x+700≥240
解得x≤46
则w=（x-30）·y
=（x-30）（-10x+700）
=-10x2+1000x-21000
=-10（x-50）2+4000
∵-10＜0
∴x＜50时，w随x的增大而增大
∴x=46时，w最大值=-10（46-50）2+4000=3840
∴当销售单价为46元时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元；
小问3解析：
解:设捐款后的利润为P，则P=-10x2+1000x-21000-150,
整理得：P=-10x2+1000x-21150
根据题意得：P≥3600
∴-10x2+1000x-21150≥3600
-10(x-50)2≥-250
又∵-10<0
∴解集为45≤x≤55
∴当45≤x≤55时,捐款后每天剩余利润不低于3600元；
又∵y=-10x+700
∴当45≤x≤55时，x=45时，y取最大值
∴y最大销量=-10×45+700=250(件)．
本题主要考查二次函数的应用，一次函数的应用．利用二次函数的图象与性质得出最值，能从实际问题中抽象出二次函数模型是解题的关键．
23. 为了推动长沙旅游业跨越发展，某旅行社推出“湖南博物院岳麓书院+橘子洲”一日游活动团队旅游收费标准：如果人数不超过人，人均费用为元；如果超过人，每增加人，人均费用降低元，但人均费用不得低于元．
（1）当旅游人数为人时，人均费用为元，求的取值范围；
（2）若某团队其支付旅游费用元，求该团队有多少人．
答案：（1）
（2）人
小问1解析：
解：∵，
∴当人均费用为元时，人数一定超过人
∴，
解得：，
∴当时，人均费用为元；
小问2解析：
解：设该团队这次旅游共有人．
∵，
∴人数一定超过人，
∴，
∴，
整理得，
解得：，，
当时，，符合题意；
当时，，故舍去．
答：该团队有人．
本题考查了一元一次方程与实际问题，一元二次方程与实际问题，读懂题意找出数量关系和等量关系是解题的关键．
24. 阅读下列各题并按要求完成：
（1）定义：若两个一元二次方程有一个相同的实数根，则称这两个方程为“友好方程”，已知关于的一元二次方程与为“友好方程”，求的值；
（2）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，，且二次根式有意义，若，求的取值范围．
答案：（1）的值为或
（2）的取值范围为
小问1解析：
解：
因式分解得，，
∴，，
∵关于的一元二次方程与为“友好方程”，
∴一元二次方程解为，，
当时，代入方程得，，解得，；
当时，代入方程得，，解得，；
∴的值为或．
小问2解析：
解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，，
∴，整理得，，解得，，
∵二次根式有意义，
∴，解得，，
∴，
∵方程有两个不相等的实数根，，
∴，，
∵
把，代入，
∴
，
∴，即或，
∴，
∵，
∴，即，
又∵或，
∴，且
∴的取值范围为．
本题主要考查解一元二次方程的方法，一元二次方程判别式与根的关系，根与系数的关系，韦达定理的运用，解不等式的方法的综合，掌握以上知识是解题的关键．
25. 如图，在平面直角坐标系中，的边，，，点P、Q分别是边、上的动点，点P以每秒2个单位的速度从点C向点B运动，同时点Q以每秒个单位的速度从点O向点C运动，当其中一点到达终点时，两点都停止运动，设运动时间为．

（1）点B的坐标为___________；
（2）连接、交于点E，过Q点作于D，当___________时，D、E、P三点在一条直线上；
（3）将沿翻折到的位置，当四边形是菱形时，则___________；
（4）当点P运动到的中点时，在平面内找一点M，使得以C、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形，则点M的坐标为___________．
答案：（1）
（2）4 （3）
（4）或或
小问1解析：
解：过点C作于点H，如图所示：

∵，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，，
∴，
∴；
小问2解析：
解：如图所示，

由题意得：，是等腰直角三角形，
∴，
在中，，
∴，
当点D、E、P三点共线时，如图，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴当时，D、E、P三点在一条直线上；
小问3解析：
解：由（2）及题意可知：，，
∴，
由折叠的性质可知：，当四边形是菱形时，则需满足，
∴，
解得：；
∴；
小问4解析：
解：当点P运动到的中点时，则有，解得：，
∴由（3）可知点，
当以C、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形时，则可分：
①当为对角线时，则根据平行四边形的性质可得，，
∴，
②当以为对角线时，即，
∴，
∴；
③当以为对角线时，即，，如图所示，过点M作于点N，
∴，
∴，
∴

∴综上所述：当以C、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形时，则点或或．
本题主要考查图形与坐标、平行四边形的性质、菱形的性质及勾股定理，熟练掌握图形与坐标、平行四边形的性质、菱形的性质及勾股定理是解题的关键．
甲






乙