第21章 一元二次方程小结与复习 人教版数学九年级上册课件

这是一份第21章 一元二次方程小结与复习 人教版数学九年级上册课件，共29页。
小结与复习第二十一章 一元二次方程实际问题设未知数，列方程 一元二次方程ax2 + bx + c = 0方程 ax2 + bx + c = 0 的根解方程实际问题的答案 检验 配方法公式法因式分解法降次1. 一元二次方程的三个判断条件：③未知数的最高次数是 2.①方程两边都是整式；②只含有一个未知数；2. 根的判别式与根与系数的关系：根根的判别式 Δ = b2 − 4acΔ > 0，方程有两个不等的实数根*根与系数的关系Δ < 0，方程无实数根Δ = 0，方程有两个相等的实数 根3. 解一元二次方程几种方法：解法因式分解法直接开平方法公式法 (mx + n)2 = p (p≥0，m≠0) (mx + n)2 = p (p≥0) 配方法考点一 一元二次方程的定义例1 若关于 x 的方程 (m - 1)x2 + mx - 1 = 0 是一元二次方程，则 m 的取值范围是 ( )  A. m ≠ 1 B. m = 1 C. m≥1 D. m ≠ 0A二次项系数不为 0m - 1 ≠ 0m ≠ 1 1. (西藏)已知关于 x 的一元二次方程 (m - 1)x2 + 2x - 3 = 0 有实数根，则 m 的取值范围 ( )  A. B. C. D. DΔ = 22 − 4(m-1)×(−3)≥0m - 1 ≠ 0考点二 一元二次方程的解法例2 (1) 用配方法解方程 x2 - 2x - 5 = 0 时，原方程应变 为 ( ) A. (x - 1)2 = 6 B. (x + 2)2 = 9  C. (x + 1)2 = 6 D.( x - 2)2 = 9 AA(2) (易错题) 三角形两边长分别为 3 和 6，第三边的长是方程 x2﹣13x + 36 = 0 的根，则该三角形的周长为 ( )A. 13 B. 15 C. 18 D. 13 或 18例3 解方程 (x2 − 2x)2 − 5x2 + 10x + 6 = 0．解：方程整理得 (x2 − 2x)2 − 5(x2 − 2x) + 6 = 0.设 x2 − 2x = m，则原方程变为 m2 −5m + 6 = 0.换元法解得 m1 = 3，m2 = 2.当 m = 3 时，x2 − 2x = 3，解得 x = 3 或 x = −1；当 m = 2 时，x2 − 2x = 2，解得 x = 1± .综上所述，原方程的解为 x1 = 3，x2 = −1，1. 用适当的方法解方程：(1) x2 − 4x − 1 = 0； (2) (2x − 1)2 = (3 − x)2.解：(1)配方，得 x2 - 4x + 22 = 5，开平方，得(x - 2)2 = 5.解得移项，得 x2 - 4x = 1.即a = 1，b = −4，c = −1.公式法： Δ = 20＞0. 配方法：(2) (2x − 1)2 = (3 − x)2.解：直接开方法：即 2x −1 = 3 − x，或 2x − 1 = −3 + x.∴ x1 = ，x2 = −2.(2x − 1)2 − (3 − x)2 = 0.则 (2x − 1 − 3 + x)(2x − 1 + 3 − x) = 0，即 3x − 4 = 0，或 x + 2 = 0.∴ x1 = ，x2 = −2.2x −1=±(3 - x)，因式分解法：考点三 一元二次方程的根的判别式的应用例4 已知关于 x 的一元二次方程 x2 - 3m = 4x 有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围是（ ）A. B. m < 2 C. m≥0 D. m < 0A10×6x2=1500 Δ > 0(-4)2 - 4×1×(-3m)= 16 + 12m > 0化为一般形式总结确定 a，b，c 的值2. (西宁) 关于 x 的一元二次方程 2x2 + x - k = 0 没有实数根，则 k 的取值范围 ( )  A. B. C. D. Δ＜012 - 4×2×(-k)＜0 A3. (内蒙古) 对于实数 a，b 定义运算“※”为 a※b = b2 - ab，例如 3※2=22 - 3×2 = -2，则关于 x 的方程 (k - 3)※x = k - 1 的情况，下列说法正确的是 ( ) A. 有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C. 无实数根 D.无法确定 A 转化为一般式，判断 Δx2 - (k - 3)x = k - 1代入新运算考点四 一元二次方程的根与系数的关系例5 已知一元二次方程 x2 - 4x - 3 = 0 的两根为 m，n，则 m2 - mn + n2 = ．25总结重要公式变形：2. 已知关于 x 的一元二次方程 x2 + 2mx + m2 + m = 0 有两个实数根．(1) 求 m 的取值范围；(2) 设 x1，x2 是方程的两根，且 = 12，求 m 的值.解：(1) 根据题意得 Δ = (2m)2 − 4(m2 + m)≥0，解得 m≤0.(2) 根据题意得 x1 + x2 = −2m，x1x2 = m2 + m，故 m 的值是 −2.∴ (−2m)2 − 2(m2 + m) = 12，解得 m1 = −2，m2 = 3 (不合题意，舍去).∴ (x1 + x2)2 − 2x1x2 = 12.考点五 一元二次方程的应用例6 某班同学毕业时，都将自己的照片向本班其他同学送一张留念，全班一共送了 1260 张，如果全班有 x 名同学，根据题意，列出方程为 ( ) A. x(x + 1) = 1260 B. 2x(x + 1) = 1260C. x(x − 1) = 1260×2 D. x(x − 1) = 1260D 例7 某机械公司经销一种零件，已知这种零件的成本为每件 20 元，调查发现当销售价为 24 元时，平均每天能售出 32 件；而当销售价每上涨 2 元时，平均每天就少售出 4 件. (1) 若公司每天的销售价为 x 元，求每天的销售量； (2) 如果物价部门规定这种零件的销售价不得高于每件 28 元，该公司想要每天获得 150 元的销售利润，销售价应当为多少元？解析：设公司每天的销售价为 x 元. 则其基本数量关系列表分析如下：432x - 20150等量关系：总利润 = 单件利润×销售量.128解：(1) 32 - (x - 24) ÷2×4 = 80 - 2x (件).(2) 由题意可得 (x - 20)(80 - 2x) = 150.解得 x1 = 25，x2 = 35.∵ x≤28，∴ x = 25，即销售价应当为 25 元.例8 某单位准备将院内一个长为 30 m，宽为 20 m 的矩形空地建成一个花园，要求在花园中修两条纵向平行和一条弯折的小道，剩余的地方种植花草，如图所示，要使种植花草的面积为 532 m2，那么小道的宽度应为多少米？(所有小道的进出口宽度相等，且每段小道为平行四边形)解：设小道进出口的宽为 x m， 根据题意得 (30 − 2x)(20 − x) = 532，解得 x1 = 1，x2 = 34.答：小道进出口的宽度应为 1 m.∵ 30 − 2x＞0，20 − x＞0，∴ x＜15. ∴ x = 1.4. (河池) 某厂家今年一月份的口罩产量是 30万个，三月份的口罩产量是 50 万个，若设该厂家一月份到三月份的口罩产量的平均增长率为 x，则所列方程为 ( ) A.30(1 + x)2 = 50 B.30(1 - x)2 = 50 C.30(1 + x2) = 50 D.30(1 - x2) = 50A基础练习1. (黑龙江) 关于 x 的一元二次方程 (m - 3)x2 + m2x = 9x + 5 化为一般形式后不含一次项，则 m 的值为 ( )A.0 B.±3 C.3 D.-3D2. (济宁) 已知 m，n 是一元二次方程 x2 + x - 2021 = 0 的两个实数根，则代数式 m2 + 2m + n 的值等于 ( ) A. 2019 B. 2020 C. 2021 D. 2022Bm2 + m + m + nm2 + 2m + nx2 + x - 2021 = 0 m + n = -1，m2 + m = 2021m2 + m + m + n = 20203. (衢州) 将一个容积为 360 m2 的包装盒剪开铺平，纸样如图所示，利用出图中 x(cm) 满足一元二次方程________________.(不用化简) 15x(10 - x) = 3604. (宁夏)受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势，其地 92 号汽油价格三月底是 6.2 元/升，五月底是 8.9 元/升设该地 92 号汽油价格这两个月平均每月的增长率为 x，根据题意列出方程，正确的是 ( ) A. 6.2(1 + x)2 = 8.9 B. 8.9(1 + x)2 = 6.2C. 6.2(1 + x2) = 8.9 D. 6.2(1 + x) + 6.2(1 + x)2 = 8.9A5.(宜昌)某造纸厂为节约木材，实现企业绿色低碳发展，通过技术改造升级，使再生纸项目的生产规模不断扩大.该厂 3、4 月份共生产再生纸 800 吨，其中 4 月份再生纸产量是 3 月份的 2 倍少 100 吨.(1) 求 4 月份再生纸的产量；解：(1)设 3 月份再生纸的产量为 x 吨，则 4 月份再生纸的产量为 (2x -100) 吨， 依题意得 x + 2x - 100 = 800.解得 x = 300.∴2x - 100 = 2×300 - 100 = 500.答：四月份的再生纸的产量为 500 吨.(2) 若 4 月份每吨再生纸的利润为 1000 元.5 月份再生纸产量比上月增加 m %.5 月份每吨再生纸的利润比上月增加 %，则 5 月份再生纸项目月利润达到 66 万元，求 m 的值；整理得 m2 + 300m - 6400 = 0.解得 m1 = 20，m2 = -320 (不符合题意，舍去).答：m 的值为 20.(3)若 4 月份每吨再生纸的利润为 1200 元，4 至 6 月每吨再生纸利润的月平均增长率与 6 月份再生纸产量比上月增长的百分数相同，6 月份再生纸项目月利润比上月增加了 25%.求 6 月份每吨再生纸的利润是多少元?(3) 设 4 至 6 月每吨再生纸利润的月平均增长率为 y ，5月再生纸的产量为 a 吨.依题意得：∴1200(1 + y)2 = 1500.答：6 月每吨再生纸利润是 1500 元.