2024年广东省九年级中考数学模拟冲刺试卷

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注意事项：
1．答卷前，考生必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、姓名、班级、座位号和考生号填写在答题卡相应的位置上，再用2B铅笔把考号的对应数字涂黑．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上，涉及作图的题目，用于2B铅笔画图；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，改动后的答案也不能超出指定的区域；不准使用铅笔（作图除外）、涂改液和修改带．不按以上要求作答的答案无效．
4．考生必须保证答题卡的整洁，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
5．考试时不可使用计算器．
第一部分 选择题（共30分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．的倒数是（ ）
A．B．2024C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了倒数定义，根据题意利用倒数定义（互为倒数的两个数乘积为1）即可得出本题答案．
【详解】解：
∴的倒数为，
故选：C．
2．下列图案中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义．
3．2024年全国高考报名人数约为13530000人，数13530000用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了科学记数法：把一个大于10的数表示成的形式（a大于或等于1且小于10，n是正整数）；n的值为小数点向左移动的位数．
根据科学记数法的定义，计算求值即可；
【详解】解： ，
故选：B．
4．如图，是的直径，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
连接，得，求出的度数，由同弧所对圆周角相等即可得出结论．
【详解】
解：连接，
是的直径，
，
，
，
故选：．
【点睛】
本题主要考查了圆周角的有关定理，作出辅助线，构建直角三角形，是解本题的关键．
5．不等式的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，表示在数轴上即可．
【详解】解：不等式组整理得：，
解得：，
数轴上表示，如图所示：
．
故选：C．
【点睛】此题考查了解一元一次不等式组，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
6．如图，平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线，的反向延长线交于主光轴上一点P．若，则的度数是（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】首先求出和，再根据平行线的性质求出和即可．
【详解】解：∵
∴，，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．
7．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是
①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D在AB的中垂线上；④S△DAC：S△ABC=1：3．
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【详解】①根据作图的过程可知，AD是∠BAC的平分线．故①正确．
②如图，∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，
∴∠CAB=60°．
又∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠1=∠2=∠CAB=30°，
∴∠3=90°﹣∠2=60°，即∠ADC=60°．故②正确．
③∵∠1=∠B=30°，
∴AD=BD．
∴点D在AB的中垂线上．故③正确．
④∵如图，在直角△ACD中，∠2=30°，
∴CD=AD．
∴BC=CD+BD=AD+AD=AD，S△DAC=AC•CD=AC•AD．
∴S△ABC=AC•BC=AC•AD=AC•AD．
∴S△DAC：S△ABC．故④正确．
综上所述，正确的结论是：①②③④，共有4个．
故选D．
8．港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，被誉为“现代世界七大奇迹”的超级工程，它是我国从桥梁大国走向桥梁强国的里程碑之作．港珠澳大桥主桥为三座大跨度钢结构斜拉桥，其中九洲航道桥主塔造型取自“风帆”，寓意“扬帆起航”．某校九年学生为了测量该主塔的高度，站在B处看塔顶A，仰角为，然后向后走160米（米），到达C处，此时看塔顶A，仰角为，则该主塔的高度是（ ）

A．80米B．米C．160米D．米
【答案】B
【分析】过点A作于点D，先根据三角形的外角性质可得，从而可得米，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答．
【详解】解：如图，过点A作于点D，

根据题意得：，
∵，
∴，
∴，
∴米，
在中，米．
即该主塔的高度是米．
故选：B
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
9．已知二次函数的x与y的部分对应值如表：
下列结论正确的是（ ）
A．
B．的解集是
C．对于任意的常数m，一定存在
D．若点，点，点在该函数图象上，则
【答案】C
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，先根据表格中的数据，确定顶点坐标，根据二次函数的性质，逐一进行判断即可．解题的关键是掌握二次函数图象的对称性．
【详解】解：由表格可知：和时的函数值相等，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴顶点坐标为，
由表格可知，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，
∴抛物线的开口向下，
∴，
∵，
∴，
当时，，即：，
∴，故选项A错误；
∵图象过点，对称轴为直线，
∴抛物线与轴的另一个交点为，
∴的解集是；故选项B错误；
∵时，函数有最大值9，
∴，
∴；故选项C正确；
∵点，点，点在该函数图象上，图象上点到对称轴的距离越远，函数值越小，
又，
∴；故选项D错误；
故选C．
10．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．连接，若平分，且正方形的面积为3，则正方形的面积为（ ）
A．B．C．D．15
【答案】A
【分析】设直角三角形的长直角边是，短直角边是，得到，由，得到，由，得到，因此，由，得到，即可求出，的值，由勾股定理即可解决问题．
【详解】解：设直角三角形的长直角边是，短直角边是，
正方形的边长是，
正方形的面积为3，
，
，
平分，
，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
正方形的面积是．
故选：A．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，关键是求出直角三角形的直角边的长，由勾股定理即可解决问题．
第二部分 非选择题（共90分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．）
11．若，则
【答案】
【分析】本题考查了因式分解，解答的关键是掌握因式分解常见方法．
利用因式分解得到，然后把代入计算即可．
【详解】解：，
将代入得，原式．
故答案为：．
12．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E是BC延长线上一点，若∠BAD=105°，则∠DCE的度数是 °．
【答案】105
【详解】∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠DAB+∠DCB=180°，
∵∠BAD=105°，
∴∠DCB=180°﹣∠DAB=180°﹣105°=75°，
∵∠DCB+∠DCE=180°，
∴∠DCE=∠DAB=105°．
故答案为105
13．如图，在中，，，通过观察尺规作图的痕迹，可以求得 ．
【答案】/度
【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理等知识点，熟练掌握线段垂直平分线的性质、角平分线的定义是解答本题的关键．
由题可得，直线是线段的垂直平分线，为的平分线，再根据线段垂直平分线的性质、角平分线的定义以及三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：由题可得，直线是线段的垂直平分线，为的平分线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
14．如下图，小红同学用仪器测量一棵大树AB的高度，在C处测得，在E处测得，米，仪器高度米，这棵树AB的高度为 米（结果用含根号表示）．

【答案】/
【分析】首先根据题意可得米，米，然后设米，米，则在与，利用正切函数，即可求得与的关系，解方程组即可求得答案．
【详解】解：根据题意得，四边形是矩形，
米，米，
设米，米，
在中，，
在中，，
米，
，
（米），
这棵树的高度为米．
故答案为：．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是解题的关键．
15．如图，在平面直角坐标系中，直线AB经过点和，将沿直线AB翻折，点O的对应点C恰好落在反比例函数的图象上，则k的值为 ．

【答案】
【分析】作，利用三角形相似可求得长度，从而求得的面积，最后利用面积关系的转换形式可求得的长度，即C点的纵坐标，再利用勾股定理求得的长度，即可知C的横坐标．求得C点的坐标后，反比例函数的系数便迎刃而解了．
【详解】如图，连接，与交于点H，自C作，垂足为G．

由已知点和可知，
∴在直角中，．
由点O、点C关于AB对称可知，且．
∵，
∴，
∴，
由得
，又，
∴，
∴．
∴．
在直角中，由勾股定理得：
．
因点C在第二象限，故C点坐标为，
将C点坐标代入反比例函数中，
求得．
【点睛】本题考查了三角形的翻折、相似三角形的性质、三角形的面积关系、反比例函数的关系式等相关知识点，求得C点的坐标是本题的关键．
16．如图，在矩形ABCD中，BC=4，CD=3，将△ABE沿BE折叠，使点A恰好落在对角线BD上的点F处，则DE的长是 ．
【答案】
【分析】由为矩形，得到为直角，且三角形与三角形全等，利用全等三角形对应角、对应边相等得到，，，利用勾股定理求出的长，由求出的长，在中，设，表示出，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出的长．
【详解】∵矩形，
∴，
由折叠可得，
∴，，，
在中，，，
根据勾股定理得：，即，
设，则有，
根据勾股定理得：，
解得：，则．
故答案为：．
【点睛】此题考查了翻折变换，矩形的性质，以及勾股定理，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．计算：
【答案】
【分析】先将二次根式化简、分别得出零指数幂、负指数幂、特殊角的三角函数值，然后根据实数的运算法则求得计算结果即可．
【详解】解：原式
【点睛】本题主要考查二次根式化简、零指数幂、负指数幂、特殊角的三角函数值，熟练掌握二次根式化简、零指数幂、负指数幂、特殊角的三角函数值的化简计算是解决本题的关键．
18．先化简，再求值：，其中．
【答案】
【分析】题目主要考查分式的化简求值及二次根式的化简，熟练掌握运算法则是解题关键．
【详解】解：原式

，
∵，
∴原式．
19．爬山能强身健体，亲近自然，陶冶情操．黄老师周末到附近的山区爬山，山的形状如图①，爬山路线示意图如图②，黄老师从山脚A出发，沿走420米到达B点，再沿到山顶C点，已知山高为360米，，，交的延长线于点F，，．（图中所有点均在同一平面内）
(1)求的长；
(2)求黄老师从山脚A点到达山顶C点共走了多少米？（结果精确到1米）．（参考数据：，，）
【答案】(1)的长为210米；
(2)黄老师从山脚点到达山顶C点的路程为米．
【分析】本题考查了含30度的三角形的性质，矩形的判定性质，解直角三角形，解题的关键是理解三角函数的概念．
（1）在中，根据，可得即可求解；
（2）根据，，得出，再根据四边形是矩形结合即可求解．
【详解】（1）解：在中，，
米，
∴的长为210米；
（2）解：，，
∴，

∴四边形是矩形，，米，米，
在中，，
∴米，
∴米．
∴黄老师从山脚点到达山顶C点的路程为米．
20．中华文化源远流长，文学方面，《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》是我国古代长篇小说中的典型代表，被称为“四大古典名著”．某中学为了了解学生对四大古典名著的阅读情况，就“四大古典名著你读完了几部”的问题在全校学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成如下尚不完整的统计图．
请根据以上信息，解决下列问题：
（1）本次调查所得数据的众数是________部，中位数是________部；
（2）扇形统计图中“部”所在扇形的圆心角为________度；
（3）请将条形统计图补充完整；
（4）没有读过四大古典名著的两名学生准备从中各自随机选择一部来阅读，请用列表或画树状图的方法求他们恰好选中同一名著的概率．
【答案】（1）1，2；（2）°；（3）见解析；（4）见解析，
【分析】（1）先根据调查的总人数，求得2部对应的人数，进而得到本次调查所得数据的众数以及中位数；
（2）根据扇形圆心角的度数=部分占总体的百分比×360°，即可得到“4部”所在扇形的圆心角；
（3）根据2部对应的人数，即可将条形统计图补充完整；
（4）根据列表所得的结果，可判断他们选中同一名著的概率．
【详解】解：（1）调查的总人数为：10÷25%=40，
∴2部对应的人数为40-2-14-10-8=6，
∴本次调查所得数据的众数是1部，
∵2+14+10=26＞21，2+14＜20，
∴中位数为2部．
故答案为：1，2
（2）扇形统计图中“4部”所在扇形的圆心角为：
故答案为：72°.
（3）2部对应的人数为：40-2-14-10-8=6人
补全统计图如图所示．
（4）将《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》分别记作A，B，C，D，
画树状图可得：
由图可知，共有16种等可能的结果，其中选中同一名著的有4种，．
故答案为：．
【点睛】此题考查了树状图法与列表法求概率，以及条形统计图与扇形统计图的知识．解题时注意：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）= ．
21．如图，已知反比例函数与一次函数的图象交于、两点，且点的横坐标和点的纵坐标都是．求：
(1)一次函数的解析式；
(2)的面积；
(3)直接写出使反比例函数的值大于一次函数的值的的取值范围．
【答案】(1)
(2)6
(3)或
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题，正确求出两交点坐标是解题的关键．
（1）先求出A、B坐标，然后利用待定系数法求解即可；
（2）先求出点M的坐标，再根据进行求解即可；
（3）利用图象法求解即可．
【详解】（1）解；当时，，
∴点A的坐标为；
当，则，解得：，
∴点B的坐标为．
∵一次函数过A、B两点，
∴，
解得：，
∴一次函数的解析式为；
（2）解；∵
∴令，即
解得
∴点M的坐标为，
∴；
（3）解：观察函数图象发现：
当或时，反比例函数图象在一次函数图象上方，
∴当或时，反比例函数的值大于一次函数的值．
22．某商场有A、B两种商品，一件B商品的售价比一件A商品的售价多5元，若用1500元购进A种商品的数量恰好是用900元购进B种商品的数量的2倍.
(1)求A、B两种商品每件售价各多少元；
(2)B商品每件的进价为20元，按原售价销售，该商场每天可销售B种商品100件，假设销售单价每上涨一元，B种商品每天的销售量就减少5件，设一件B商品售价a元，B种商品每天的销售利润为W元，求B种商品销售单价a为多少元时，B种商品每天的销售利润W最大，最大利润是多少元？
【答案】(1)种商品售价为25元 ;种商品售价为30元；
(2)当B种商品销售单价a为35元时，B种商品每天的销售利润W最大，最大为1025元；
【分析】（1）根据题意设商品的售价为元，则商品的售价为元，再由题意列出分式方程，解之即可；
（2）根据题意列出等式，化简即可求得答案．
【详解】（1）解：设商品的售价为元，则商品的售价为元，
由题意得：
解得
经经验，符合题意，是分式方程的解，
商品的售价为元，则商品的售价为元．
（2）解：根据题意得
化简得．
当B种商品销售单价a为元时，B种商品每天的销售利润W最大，最大为元
【点睛】本题考查了分式方程及二次函数销售应用题，解题关键是正确列出分式方程和会求二次函数的最值．
23．如图，是的直径，点C是上一点，和过点C的直线互相垂直，垂足为D，交于点E，且平分．

(1)求证：直线是的切线；
(2)连接，若，，求的长．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【分析】（1）如图所示，连接，根据角平分线的定义和等边对等角证明，则，由，可证，即可证明直线是的切线；
（2）先求出，利用勾股定理求出，证明求出，利用勾股定理求出，，则．
【详解】（1）证明：如图所示，连接，
平分,
，
，
，
，
，
，
，
又点C在上，
直线是的切线；
（2）解：如图所示，连接，，

由（1）得，
，
，
是的直径，
，
，
，
即，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了切线的判定，相似三角形的性质与判定，圆周角定理，等腰三角形的性质与判定，勾股定理等等，正确作出辅助线是解题的关键．
24．某个农场有一个花卉大棚，是利用部分墙体建造的．其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在墙体上，另一端固定在墙体上，其横截面有根支架，，相关数据如图所示，其中支架，，这个大棚用了根支架．
为增加棚内空间，农场决定将图中棚顶向上调整，支架总数不变，对应支架的长度变化，如图所示，调整后与上升相同的高度，增加的支架单价为元/米（接口忽略不计），需要增加经费元．
(1)分别以和所在的直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系．
①求出改造前的函数解析式．
②当米，求的长度．
(2)只考虑经费情况下，求出的最大值．
【答案】(1)①；②米
(2)米
【分析】（1）①设改造前的函数解析式为，根据所建立的平面直角坐标系得到，，，然后代入解析式得到关于、、的方程组，求解即可；
②根据已知条件得到函数的解析式，再利用函数解析式得到、的坐标即可得到结论；
（2）根据已知条件表示出、的坐标得到的不等式，进而得到的最大值．
【详解】（1）解：①如图，以为原点，分别以和所在的直线为x轴和y轴建立如图所示的平面直角坐标系，
由题意可知：，，，
设改造前的抛物线解析式为，
∴，
解得：，
∴改造前的抛物线的函数表达式为；

②如图，建立与（1）相同的平面直角坐标系，
由①知改造前抛物线的解析式为，
∴对称轴为直线，
设改造后抛物线解析式为：，
∵调整后与上升相同的高度，且，
∴对称轴为直线，则有，
当时，，
∴，
∴，，
∴改造后抛物线解析式为：，
当时，
改造前：，
改造后：，
∴（米），
∴的长度为米；
（2）如（2）题图，设改造后抛物线解析式为，
∵当时，，
当时，，
∴，，
∴，
由题意可列不等式：，
解得：，
∵，
要使最大，需最小，
∴当时，的值最大，最大值为米．
【点睛】本题考查用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的对称轴，二次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用等知识点．掌握二次函数的性质及是一元一次不等式的应用解题的关键．
25．如图（1），已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，垂足为点E，GF⊥CD，垂足为点F．
（1）证明与推断：
①求证：四边形CEGF是正方形；
②推断：的值为 ：
（2）探究与证明：
将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图（2）所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由：
（3）拓展与运用：
正方形CEGF在旋转过程中，当B，E，F三点在一条直线上时，如图（3）所示，延长CG交AD于点H．若AG=6，GH=2，则BC= ．
【答案】（1）①四边形CEGF是正方形；②；（2）线段AG与BE之间的数量关系为AG=BE；（3）3
【分析】（1）①由、结合可得四边形CEGF是矩形，再由即可得证；
②由正方形性质知、，据此可得、，利用平行线分线段成比例定理可得；
（2）连接CG，只需证∽即可得；
（3）证∽得，设，知，由得、、，由可得a的值．
【详解】（1）①∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°，∠BCA=45°，
∵GE⊥BC、GF⊥CD，
∴∠CEG=∠CFG=∠ECF=90°，
∴四边形CEGF是矩形，∠CGE=∠ECG=45°，
∴EG=EC，
∴四边形CEGF是正方形；
②由①知四边形CEGF是正方形，
∴∠CEG=∠B=90°，∠ECG=45°，
∴，GE∥AB，
∴，
故答案为；
（2）连接CG，
由旋转性质知∠BCE=∠ACG=α，
在Rt△CEG和Rt△CBA中，
=、=，
∴=，
∴△ACG∽△BCE，
∴，
∴线段AG与BE之间的数量关系为AG=BE；
（3）∵∠CEF=45°，点B、E、F三点共线，
∴∠BEC=135°，
∵△ACG∽△BCE，
∴∠AGC=∠BEC=135°，
∴∠AGH=∠CAH=45°，
∵∠CHA=∠AHG，
∴△AHG∽△CHA，
∴，
设BC=CD=AD=a，则AC=a，
则由得，
∴AH=a，
则DH=AD﹣AH=a，CH==a，
∴由得，
解得：a=3，即BC=3，
故答案为3．
【点睛】本题考查了正方形的性质与判定，相似三角形的判定与性质等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线，熟练掌握正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键.
x
…
0
1
2
3
…
y
…
0
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