2023-2024学年江苏省镇江市丹阳市九年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省镇江市丹阳市九年级（下）期中数学试卷（含解析），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列运算正确的是( )
A. B. C. D.
2.下列四个有关环保的图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.九章算术是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀、六只燕，共重两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”解：设雀每只两，燕每只两，则可列出方程组为( )
A. B.
C. D.
4.把的图象沿轴向下平移个单位后，图象与轴的交点坐标是
．( )
A. B. C. D.
5.如图是由一些边长为的等边三角形组成的网格，其中、、、均是等边三角形的顶点，延长交于点，则的值为( )
A. B. C. D.
6.如图，点为矩形的边上一点，动点，同时从点出发以相同的速度运动，其中，点沿折线运动到点时停止，点沿运动到点时停止．设点出发时，的面积为，与的函数关系如图所示曲线为抛物线的一部分，则下列结论中正确的有
( )
；，的运动速度都是；；当时，．
A. B. C. D.
二、填空题：本题共12小题，每小题3分，共36分。
7.的绝对值是________．
8.分解因式：________．
9.已知一种流感病毒的细胞直径约为纳米纳米米，那么用科学记数法表示该病毒的直径约为_____米．
10.当______时，式子有意义．
11.已知圆锥的底面半径是，母线长，则它的侧面展开图的面积为___________．
12.一组数据，，，，的众数为，则这组数据的中位数为______．
13.已知是方程一个根，则代数式的值为_____．
14.一次函数与的图象如图所示，则当________时，．
15.如图，内接于，，，则的半径等于______．
16.如图，抛物线经过点，对称轴为直线，则的值为____________．
17.如图，在的顶点在函数的图像上，过边的三等分点、分别作轴的平行线交于点、若四边形的面积为，则的值为________．
18.如图，在菱形中，，点是上一点，连接，过作交于点，若，则_______．
三、计算题：本大题共2小题，共12分。
19.计算化简：
；
．
20.解方程：； 解不等式组：．
四、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.本小题分
如图，，，于点，于点．
求证：≌；
若，，求的长．
22.本小题分
为庆祝中国共产党建党周年，某区组织了学生参加党史知识竞赛，并从中抽取了名学生的成绩得分取正整数，满分为分进行统计，根据成绩分成如下组：，，，，并绘制成两个统计图．
频数分布直方图中的____，____；
在扇形统计图中，组所对应扇形的圆心角为，求的值；
求组共有多少人？该区共有名学生参加党史知识竞赛，如果设定获得一等奖的分数不低于分，那么请你通过计算估计全区获得一等奖的人数是多少？
23.本小题分
为弘扬中华传统文化，扬中市近期举办了中小学生“汉字诗词听写大赛”比赛项目为：唐诗；宋词；论语；三字经．比赛形式分“单人组”和“双人组”．
甲参加“单人组”，她从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“三字经”的概率是______；
甲、乙两人组成一个小组参加“双人组”比赛，比赛规则是：同一小组的两名队员的比赛项目不能相同，且每人只能随机抽取一次，则恰好甲抽中“唐诗”且乙抽中“宋词”的概率是多少？请用画树状图或列表的方法进行说明．
24.本小题分
如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，图中都是格点，是上一点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．
如图，先画点，使四边形为平行四边形，连接，再画的中点；
如图，若是与网格线的交点，先画点绕点逆时针旋转的对应点，再在上画点，使得．
25.本小题分
如图，小明想测量斜坡旁一棵垂直于地面的树的高度，他们先在点处测得树顶的仰角为，然后在坡顶测得树顶的仰角为，已知斜坡的长度为，，______，求的长．
给出下列条件：；：；
请在个条件中选择一个能解决上述问题的条件填到上面的横线上填序号，并解决该问题．
26.本小题分
如图，为半的直径，点从点开始沿着半圆逆时针运动到点，在运动中，作，且，已知．
当点不与，点重合时，求证：为切线；
当时，与交于点，求的长：
点在运动过程中，当与的差最大时，直接写出此时的弧长．
27.本小题分
如图，正方形的边长是，点是边上一个动点，连接，将沿直线翻折得到．
如图，若点落在对角线上，则线段与的数量关系是______；
若点落在线段的垂直平分线上，在图中用直尺和圆规作出不写作法，保留作图痕迹连接，则______；
如图，连接，，若，求的长．
28.本小题分
已知，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线上一点．
求抛物线的解析式．
接，，，若，求直线的解析式
如图，当点位于第二象限时，过点作直线、分别交轴于、两点，请问的值是否为定值若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】根据幂的乘方、同底数幂乘法、同底数幂除法、积的乘方的运算法则逐项进行计算即可得．
【详解】解：． ，故A选项错误；
B. ，故B选项错误；
C. ，故C选项错误；
D.，正确，
故选D．
2.【答案】
【解析】【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此不选项符合题意．
故选C．
3.【答案】
【解析】【分析】设雀每只两，燕每只两，根据“五只雀、六只燕，共重两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重”可列出方程组，从而可得答案．
【详解】设雀每只两，燕每只两，则可列出方程组为：
．
故选：．
4.【答案】
【解析】【分析】由一次函数平移性质，可求得平移后的一次函数，从而完成求解．
【详解】的图象沿轴向下平移个单位后得：
当时，
的图象沿轴向下平移个单位后，图象与轴的交点坐标是
故选：．
5.【答案】
【解析】【分析】证明∽，根据相似三角形的性质求得，即可求得，由此即可求得的值．
【详解】由题意可得，，
，
，
∽，
，
即，
，
，
．
故选D．
6.【答案】
【解析】【分析】由图得，当运动到点处，当运动到点处时，、都运动了，即可求解；由图得，、都运动了时间，，设速度为，即可求解；由图得，可求从运动到的时间，求出，即可求解；设的解析式为，求出解析式后，即可求解．
【详解】解：如图
动点，同时从点出发以相同的速度运动，
由图得，当运动到点处，当运动到点处时，
、都运动了，
，
故正确；
由图得，当运动到点处，当运动到点处时，
、都运动了时间，，
，
设速度为，则有，
由图得，从运动到所用时间为，
，
，
解得，
故错误；
由图得，从运动到的时间为，
，
四边形是矩形，
，
，
故错误；
如图
设的解析式为，由图得经过，，则有
解得：
，
当时，
，
故正确；
故选：．
7.【答案】
【解析】【分析】本题考查了绝对值．熟练掌握绝对值是解题的关键．
根据的绝对值为，求解作答即可．
【详解】解：由题意知，的绝对值为，
故答案为：．
8.【答案】
【解析】【分析】直接提取公因式即可得出答案．
【详解】
故答案为：
9.【答案】
【解析】【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
【详解】解：纳米这个数用科学记数法表示为：纳米米，
故答案为：．
10.【答案】
【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件可得，再解不等式即可．
【详解】解：，
解得．
故答案为：．
11.【答案】
【解析】【分析】先求出底面圆的周长，再利用扇形面积公式求解．
【详解】解：由半径为可得圆锥的底面周长为，
侧面展开图的面积为，
故答案为：．
12.【答案】
【解析】【分析】根据众数和中位数的概念求解．
【详解】数据，，，，的众数为，
，
则数据重新排列为、、、、，
所以中位数为．
故答案为：．
13.【答案】
【解析】【分析】根据方程的根的定义，把代入方程求出的值，然后整体代入代数式进行计算即可得解．
【详解】解：是方程的一个根，
，
整理得，，
．
故答案是：．
14.【答案】大于
【解析】【分析】根据当一次函数的图象在一次函数的图象下方时，即，再结合图象即可求出的取值范围．
【详解】由图象可知当时，一次函数的图象在一次函数的图象下方，即此时．
故答案为：．
15.【答案】
【解析】【详解】试题分析：连接，，根据圆周角定理可求得，再由判断出是等边三角形，由此可得出．
考点：圆周角定理
16.【答案】
【解析】【详解】【分析】由“对称轴是直线，且经过点”可知抛物线与轴的另一个交点是，代入抛物线方程即可解得．
【详解】因为抛物线对称轴且经过点，
所以抛物线与轴的另一个交点是，
代入抛物线解析式中，得．
所以，
又因为，
所以，
所以
故正确答案为：
17.【答案】
【解析】【分析】易证∽∽，由相似三角形的性质：面积比等于相似比的平方可求出的面积，进而可求出的面积，则的值也可求出．
【详解】，
∽∽，
、是的三等分点，
，
，
四边形的面积为，
，
，
，
，
，
故答案为：．
18.【答案】
【解析】【分析】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形判定和性质，菱形的性质等知识．过点作交延长线于点，延长交延长线于点，过点作交延长线于点，则，设，则，在中，利用锐角三角函数可得，，，从而得到，进而得到，，再由，即可求解．
【详解】解：如图，过点作交延长线于点，延长交延长线于点，过点作交延长线于点，则，
设，则，
四边形是菱形，
，，
，
，，
，
，
，即，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：
19.【答案】【小问详解】
解：原式
；
【小问详解】
原式
．

【解析】【分析】本题考查实数的运算，分式的运算．
先算零指数幂，负整数指数幂，算术平方根，特殊角的锐角三角函数，再算加减即可；
先把除法改为乘法并分解因式，再约分即可．
20.【答案】详解：方程两边同乘，得，
解得，
经检验，是增根，原方程无解．
解：．
由得：，
由得：，
不等式的解集为．

【解析】【详解】分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解；
分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可．
21.【答案】【小问详解】
证明：于点，于点，
，
，
，
在和中，
≌；
【小问详解】
解：≌，，，
，，
，
的长为．

【解析】【分析】由于点，于点得，而，根据同角的余角相等可证明，还有，即可证明≌；
由≌，根据全等三角形的性质即可求解．
22.【答案】解：，，
故答案为：，；
；
人，
人，
答：组有人，估计全区获得一等奖的人数是人．

【解析】【分析】分别用总人数乘以、等级对应百分比即可得出、的值；
用乘以组人数占被调查人数的比例即可；
根据各分组人数之和等于被调查人数求解即可得组人数；用总人数乘以样本中不低于分的人数所占比例即可．
23.【答案】【小问详解】
解：甲参加“单人组”，随机抽取种，一个有种等可能的情况，其中恰好抽中“三字经”的有种，故其概率为；
【小问详解】
画树状图如下：
共有种情况，其中恰好甲抽中“唐诗”且乙抽中“宋词”的有种，故其概率为．

【解析】【分析】本题考查画树状图求概率．
直接用概率公式求解即可；
先画树状图展示所有的可能情况，再找出符合题意的情况即可．
24.【答案】【小问详解】
解：如图，点即为所求；
【小问详解】
解：如图，点即为所求．

【解析】【分析】根据平行四边形的性质即可画出点，连接，与相交于点，由网格可知，因为点为的中点，所以为的中位线，故点为的中点；
取格点，连接，交网格于点，根据网格可证明，得到，进而可得，再利用由三角形全等可得；连接格点，与网格相交于点，连接，与相交于点，由正方形的性质可得，进而可得，即可证到，即得到，又因为，故，即；
本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握平行四边形和正方形的性质是解题的关键．
25.【答案】解：选择，理由如下：
在中，
，，
，
．
，，
，．
，
，
，
，
．
答：的长为．
故答案为：．

【解析】【分析】先根据米，得出，故可得出，再由可知，由可得出，故，所以，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．
26.【答案】【小问详解】
证明：连接，
，
，
，
，
，
，
，
为圆的切线；
【小问详解】
连接交于点，
为圆的直径，
，
，，
，
，，
，
，即
解得：，
为圆的直径，
，
，
，
，
四边形为平行四边形，
，
四边形为矩形，
，，
，
设，
则，，，
，
解得，
即
【小问详解】
设，
，即
，
当时，即时，的值最大，
，
，
，
弧长为．

【解析】【分析】连接，可证，结合，即可证明；
连接交于点，先证明，得出，再证明四边形为矩形，列出方程求解即可；
设，由得出，得出关于的二次函数，即可进行求解得出最值．
27.【答案】解：正方形中，，
由折叠的性质可得，，
，
为等腰直角三角形，即，
由勾股定理可得：，即，
【小问详解】
解：作图如下：
则为所求的三角形，
由题意可得：垂直平分，垂直平分，
点在上，则，
由折叠的性质可得，
为等边三角形，
，为等腰三角形
，
；
【小问详解】
解：取边的中点为，连接，，如图：
．
，，
≌．
．
．
点，，三点共线．
设，则．
在中，．
解这个方程，得即的长是．
方法二：延长交于如图：
由题意可得：
，
，
，
设，则，，
中，由勾股定理可得：，解得，
设，，
在中，由勾股定理可得：，解得

【解析】【分析】根据折叠的性质和正方形的性质，求解即可；
先作出的垂直平分线，以为圆点，以长为半径画弧，交于点正方形内部的点，连接，作的角平分线，交于点，连接，即可，根据垂直平分线的性质和等腰三角形的性质求解即可；
方法一：取边的中点为，连接，，通过证明≌得到点，，三点共线，设，勾股定理求解即可；
方法二：延长交于先证明，再在中应用勾股定理可求解．
28.【答案】【小问详解】
解：将、代入，
，解得
．
【小问详解】
函数的对称轴为直线：，
点的坐标为，
点的坐标为，
，，
，，，
，
当点在第四象限时，过点作交于点，过点作轴交于点，如图所示：
，
，
，
，
，
，
，
，
设直线的解析式为，
解得
直线的解析式为，
当点在第一象限时，过点作交于点，过点作于，如图所示：
，
，
，
，
，
，
，
点的坐标为，
设直线的解析式为，点和都在直线上，
则，解得
直线的解析式为：，
综上所述：直线的解析式为或．
【小问详解】
的值是为定值，理由如下：
设，，设直线的解析式为，
，
，
，
设直线的解析式为，
，
，
，
的值是为定值．

【解析】【分析】将、代入解析式解得、的值即可求解．
由题意：由题意得，，当点在第四象限时，过点作交于点，过点作轴交于点，则求出，再由，求出；当点在第一象限时，过点作交于点，过点作于，，求得，再由可求得进而可求解．
设，分别用待定系数法求出直线，直线的解析式，进而可求出和的长，即可求解．