2023-2024学年辽宁省辽阳二中协作校八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年辽宁省辽阳二中协作校八年级（下）期中数学试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列图形是轴对称图形而不是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2.若，则下列不等式中正确的是( )
A. B. C. D.
3.下列式子从左到右的变形是因式分解的是( )
A. B.
C. D.
4.如图，将直角三角形沿方向平移得到，交于点，，，则阴影部分的面积为( )
A.
B.
C.
D.
5.如图，是由绕点顺时针旋转后得到的图形，若点恰好落在上，且，则的度数是( )
A.
B.
C.
D.
6.若关于的不等式组的解为，则下列各式正确的是( )
A. B. C. D.
7.如图，已知中，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，点，为垂足，若，，，则的长为( )
A. B. C. D.
8.若一次函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集是( )
A.
B.
C.
D.
9.如图，是的角平分线，，垂足为的面积为，，，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
10.已知如图，等腰，，，于点，点是延长线上一点，点是线段上一点，，下面的结论：；；是等边三角形；其中正确的是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.用反证法证明：“在中，若，则”，则应先假设______．
12.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则等腰三角形的底角度数为 ．
13.在实数范围内规定新运算“”，其规则是：，已知不等式的解集在数轴上如图表示，则的值是______．
14.如图，在平面直角坐标系中，已知点，，对连续作旋转变换，依次得到、、、则的直角顶点的坐标为______．
15.若关于的不等式组的解集为，且关于的方程有非负整数解，则满足条件的所有整数的和为______．
三、解答题：本题共8小题，共71分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
因式分解：．
利用因式分解计算：．
17.本小题分
解不等式组，并写出它的所有非负整数解．
18.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点都在格点上，坐标分别为，，．
画出关于原点对称的；
将绕原点顺时针旋转，得到，写出点坐标．
在轴上找一点，使的和最小，求出点坐标．
19.本小题分
“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期基本中学为了落实双减政策，丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号“文房四宝”，经过调查得知：每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵元，买套甲型号和套乙型号共用元．
求每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是多少？
若学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共套，总费用不超过元，并且根据学生需求，要求购进乙型号“文房四宝”的数量必须低于甲型号“文房四宝”数量的倍，问有几种购买方案？最低费用是多少？
20.本小题分
如图，和的平分线交于点，过作交的延长线于点，交于点．
求证：；
联结，求证：．
21.本小题分
如图，在中，，、是边上的两点，且满足以点为旋转中心，将按逆时针方向旋转得到，连接．
求证：；
如图，若，其他条件不变．求证：．
22.本小题分
如图，点是等边内一点，是外的一点，，，≌，，连接．
求证：是等边三角形；
当时，试判断的形状，并说明理由；
探究：当为多少度时，是等腰三角形．
23.本小题分
【数学阅读】
如图，在中，，点为边上的任意一点，过点作，，垂足分别为，，过点作，垂足为，求证：．
小尧的证明思路是：如图，连接，由与面积之和等于的面积可以证得：．
【推广延伸】
如图，当点在延长线上时，其余条件不变，请运用上述解答中所积累的经验和方法，猜想，与的数量关系，并证明．
【解决问题】
如图，在平面直角坐标系中有两条直线：，：，，与轴的交点分别为，．
两条直线的交点的坐标为______；
说明是等腰三角形；
若上的一点到的距离是，运用上面的结论，求点的坐标．
答案和解析
1.【答案】
解：、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项符合题意；
B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：．
根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度与自身重合．
2.【答案】
解：由，得，那么A错误，故A不符合题意．
B.由，得，推断出，那么B正确，故B符合题意．
C.由，得，那么C错误，故C不符合题意．
D.由，得，那么D错误，故D不符合题意．
故选：．
根据不等式的性质解决此题．
本题主要考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解决本题的关键．
3.【答案】
解： ，是多项式的乘法运算，不是因式分解，故该选项不正确，不符合题意；
B.，等式的右边不是整式的乘积的形式，故该选项不正确，不符合题意；
C.，等式的左边不是多项式，故该选项不正确，不符合题意；
D.，是因式分解，故该选项正确，符合题意．
故选：．
根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．
本题考查了因式分解的定义，明确因式分解的结果应是整式的积的形式．
4.【答案】
解：由平移的性质可知，，，，
，
故选：．
由平移的性质可知，，，进而得出的长，根据，即可得出答案．
本题主要考查了平移的性质，求阴影部分的面积等，将阴影部分的面积转化为规则图形面积是解题的关键．
5.【答案】
解：是由绕点顺时针旋转后得到的图形，
，，，
，
，
，
，
，
故选：．
由旋转的性质可得，，，由等腰三角形的性质可求，由三角形内角和定理可求解．
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
6.【答案】
解：关于的不等式组的解为，
，
，
故选：．
根据判断不等式组的解集口诀：同大取大，求出与的大小关系，再根据不等式的性质求出，的大小即可．
本题主要考查了不等式的解集，解题关键是熟练掌握判断不等式组的解集口诀：同大取大．
7.【答案】
【解析】【分析】
根据线段垂直平分线的性质得出，当长，利用勾股定理逆定理得出是直角三角形，进而利用勾股定理解答即可．
本题考查了线段垂直平分线的性质和勾股定理的逆定理的应用，解题关键是是添加辅助线构造直角三角形．
【解答】
解：连接，，
的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，
，，
，
，
是直角三角形，，
由勾股定理可得：，
故选D．
8.【答案】
解：根据图象可得：关于的不等式的解集是，
故选：．
根据函数图象，找出满足题意的范围即可．
此题考查了一次函数与一元一次不等式，以及一次函数的性质，利用了数形结合的思想，熟练掌握一次函数性质是解本题的关键．
9.【答案】
解：作于，
是的角平分线，，，
，
，
，
，
故选：．
作于，根据角平分线的性质得到，根据三角形面积公式计算即可．
本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，利用等边对等角，即可证得：，，则，据此即可求解；因为点是线段上一点，所以不一定是的角平分线，可作判断；证明且，即可证得是等边三角形；首先证明≌，则，．
【解答】
解：如图，连接，
，，
，，
，
，
，
，，
；故正确；
由知：，，
点是线段上一点，
与不一定相等，则与不一定相等，故不正确；
，
，
，
，
，
，
是等边三角形；故正确；
如图，在上截取，连接，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
在和中，
≌，
，
；故正确；
本题正确的结论有：，
故选A．
11.【答案】
解：由反证法的定义可知，假设需要否定结论，
所以先假设
故答案为：．
根据反证法证明命题的步骤求解即可．
本题考查了反证法的概念，牢记反证法先假设否定结论是解题的关键．
12.【答案】或
解：在等腰中，，为腰上的高，，
当在内部时，如图，
为高，
，
，
，
；
当在外部时，如图，
为高，
，
，
，
，
而，
；
综上所述，这个等腰三角形底角的度数为或．
故答案为：或．
在等腰中，，为腰上的高，，讨论：当在内部时，如图，先计算出，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和可计算出；当在外部时，如图，先计算出，再根据等腰三角形的性质和三角形外角性质可计算出．
本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两腰相等；等腰三角形的两个底角相等；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．
13.【答案】
解：根据图示知，已知不等式的解集是．
则
，
且，
．
故答案是：．
根据新运算法则得到不等式，通过解不等式即可求的取值范围，结合图象可以求得的值．
本题考查了在数轴上表示不等式的解集、解一元一次不等式．在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示．
14.【答案】
解：点，，
．
由图可知，每旋转三次为一个循环组依次循环，一个循环组前进的长度为．
，
的直角顶点是第个循环组的最后一个三角形的直角顶点．
，
的直角顶点的坐标为．
故答案为．
由图可知，每旋转三次为一个循环组依次循环，一个循环组前进的长度为，探究规律求解即可．
本题考查旋转变换，勾股定理，规律型点的坐标等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．
15.【答案】
解：，
解不等式得，
解不等式得，
由题意得，
解方程得，，
关于的方程有非负整数解，
且为奇数，
解得，，
的取值范围为：，
为奇数，
整数的取值为，，，，，，
符合条件的所有整数的和为：．
故答案为：．
先解该不等式组并求得符合题意的的取值范围，再解关于的方程并求得符合题意的的取值范围，然后确定的所有取值，最后计算出此题结果．
此题考查了解一元一次不等式，一元一次方程的解，一元一次不等式的整数解，关键是能准确求解，并根据题意确定字母参数的取值．
16.【答案】解：原式


；
原式

．
【解析】利用提公因式法进行计算即可；
利用提公因式法进行计算即可．
本题考查的是因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
17.【答案】解：，
解不等式得，，
解不等式得，，
所以不等式组的解集是，
所以不等式组的非负整数解是．
【解析】分别求出两个不等式的解集，然后求出两个解集的公共部分，再写出范围内的非负整数解即可．
本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到无解．
18.【答案】解：如图，即为所求；

如图，即为所求，；
作点关于轴的对称点，再连接与轴的交点即为所求点，
由题意可得，，
设直线解析式为，代入得：
，
解得，
直线解析式为，
令得，
．
【解析】根据中心对称的性质作图，即可得出答案．
根据旋转的性质作图，即可得出答案；
作点关于轴的对称点，再连接与轴的交点即为所求点再利用一次函数解析式求点坐标即可．
本题主要考查中心对称作图，旋转变换作图，轴对称作图，求一次函数解析式，熟练掌握旋转变换的定义和性质是解题的关键．
19.【答案】解：设每套甲型号“文房四宝”的价格是元，则每套乙型号“文房四宝”的价格是元，
由题意可得，
解得，
．
答：每套甲型号“文房四宝”的价格是元，则每套乙型号“文房四宝”的价格是元；
设需购进乙种型号“文房四宝”套，则需购进甲种型号“文房四宝”套，
由题意可得：，
解得，
又为正整数，
可以取，，，，；
共有种购买方案，
方案：购进套甲型号“文房四宝”，套乙型号“文房四宝”；
方案：购进套甲型号“文房四宝”，套乙型号“文房四宝”；
方案：购进套甲型号“文房四宝”，套乙型号“文房四宝”；
方案：购进套甲型号“文房四宝”，套乙型号“文房四宝”；
方案：购进套甲型号“文房四宝”，套乙型号“文房四宝”；
每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵元，
甲型号“文房四宝”的套数越少，总费用就越低，
最低费用是元．
【解析】根据每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵元，买套甲型号和套乙型号共用元，得出方程，解方程即可；
设需购进乙种型号“文房四宝”套，则需购进甲种型号“文房四宝”套，根据题意得到不等式组，解不等式组即可得到结论．
本题考查了一元一次不等式的应用，一元一次方程的应用，正确地列出一元一次方程和一元一次不等式是解题的关键．
20.【答案】证明：如图，过点作于点，

平分，，，
，
平分，，，
，
．
，，
，
再和中，
，
≌，
．
【解析】过点作于点，利用角平分线的性质即得证；
通过证明≌即可．
本题主要考查角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
21.【答案】证明：，
，
由旋转而成，
，，
，
在与中，
，
≌，
；
证明：将按逆时针方向旋转得到，
，，
，
图形旋转后点与点重合，与重合，
，
，
，
在中，，
，
，
同可得，
．
【解析】先根据可知，再由图形旋转的性质可知，，故可得出，由全等三角形的性质即可得出≌，故可得出结论；
把逆时针旋转，由于是等腰直角三角形，故可知图形旋转后点与点重合，，所以，由证，再根据勾股定理即可得出结论．
本题考查的是图形的旋转及勾股定理，熟知旋转前、后的图形全等是解答此题的关键．
22.【答案】证明：≌，
．
，
是等边三角形．
解：是直角三角形．
理由如下：
是等边三角形，
，
≌，，
，
，
是直角三角形．
解：是等边三角形，
．
，，
，
，
．
当时，，
．
当时，，
．
当时，
，
．
综上所述：当或或时，是等腰三角形．
【解析】根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形可得证；
根据全等易得，结合中的结论可得为，那么可得所求三角形的形状；
根据题中所给的全等及的度数可得的度数，根据等腰三角形的两底角相等分类探讨即可．
综合考查了全等三角形的性质及等腰三角形的判定；注意应分类探讨三角形为等腰三角形的各种情况．
23.【答案】解：【数学阅读】如图，连接，
，，，
，，，
，
，
又，
；
【推广延伸】
如图，连接，
，，，
，，，
，
，
又，
；
【解决问题】
；
：，令，则，
．
：，令，则，
，
，
在中，，
，
，
，
是等腰三角形．
当在线段上时，过分别作轴，，垂足分别为、，
上的一点到的距离是，
，
由图的结论得：，
，
点的纵坐标为，
又在直线，
当时，，
坐标为；
同理，由前面结论可知当点在线段外时，有，
可求得或，即点的纵坐标为或，
分别代入，可求得或舍，因为它到的距离不是，
点的坐标为；
综上可知点的坐标为或．
【解析】【分析】
本题是一次函数的综合运用，涉及等腰三角形的性质、三角形的面积、勾股定理和等积法等知识，考查了用面积法证明几何问题，考查了运用已有的经验解决问题的能力，体现了自主探究与合作交流的新理念，是充分体现新课程理念难得的好题．
【数学阅读】
连接，由，，且知，结合即可得证；
【推广延伸】连接，同理利用与面积之差等于的面积可以证得结论；
【解决问题】联立方程组，解之可得交点的坐标；
先求出点，坐标，利用勾股定理可求得，的长，即可得证；
分在线段上和在线段外两种情况，再分别根据图和的结论，求得到的距离，即点的纵坐标，再代入的解析式可求出的坐标．
【解答】
解：【数学阅读】
见答案；
【推广延伸】
见答案；
【解决问题】
由题意得，
解得，
则两条直线的交点的坐标为，
故答案为：；
见答案．