2023-2024学年江苏省盐城市鹿鸣路初级中学九年级（下）期中数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省盐城市鹿鸣路初级中学九年级（下）期中数学试题（含解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.2024的相反数是( )
A. −2024B. 2024C. 12024D. −12024
2.下列交通标志中，是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.由六块相同的小正方体搭成的几何体如图所示，则它的主视图是( )
A. B. C. D.
4.下列运算正确的是( )
A. a3−a2=aB. a2⋅a=a3C. a23=a5D. a6÷a2=a3
5.如图，A、B两点被一座山隔开，M、N分别是AC、BC中点，测量MN的长度为30m，那么AB的长度为
( )
A. 30mB. 60mC. 120mD. 160m
6.5G网络理论下载速度可以达到每秒1300000KB以上，这意味着下载一部高清电影只需要1秒．将数据1300000用科学记数法表示为
( )
A. 1.3×106B. 1.3×105C. 13×105D. 1.3×107
7.如图，烧杯内液体表面AB与烧杯下底部CD平行，光线EF从液体中射向空气时发生折射，光线变成FH，点G在射线EF上．已知∠HFB=20∘，∠FED=60∘，则∠GFH的度数为
( )
A. 20∘B. 40∘C. 60∘D. 80∘
8.如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y=k1x+b1与y=k2x+b2(其中k1k2≠0)的图像分别为直线l1和直线l2，下列结论中一定正确的是
( )
A. k1+k2<0B. k1k2>0C. b1+b2<0D. b1b2>0
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.若 x+1在实数范围内有意义，则x的取值范围是______．
10.一组数据：2，3，1，2中的众数为________．
11.分解因式：m2−4=_____．
12.如图，点A，B，C在⊙O上，若∠BOC=58∘，则∠BAC=________．
13.反比例函数y=kxk≠0的图像如图所示，则k的值可能是________(只填一个符合题意的即可)．
14.化学中直链烷烃的名称用“碳原子数+烷”来表示，当碳原子数为1∼10时，依次用天干——甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸——表示，其中甲烷、乙烷、丙烷的分子结构式如图所示，则庚烷分子结构式中“H”的个数是__________．
15.如图，在矩形ABCD中，AB= 3,AD=1，把该矩形绕点A顺时针旋转α度得矩形AB′C′D′，点C′落在AB的延长线上，则图中阴影部分的面积是_____．
16.如图，在Rt▵ABC中，∠ACB=90∘，AC=BC=6，点D在边BC上，BD=2，动点P在AB边上，连接PD、PC，当PC+PD的结果为整数时，此时点P的个数为________．
三、计算题：本大题共2小题，共12分。
17.计算：14−1+33−40− 9+sin30∘．
18.解分式方程：3x−2x−2=0
四、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
先化简，再求值：(x+1)(x−1)+(x−2)2，其中x2−2x−1=0．
20.(本小题8分)
一个不透明的盒子中，装有2个白球和1个红球，这些球除颜色外其余都相同．
(1)搅匀后从中任意摸出1个球，摸出白球的概率是________．
(2)搅匀后从中任意摸出1个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球，用画树状图或列表的方法求2次都摸到红球的概率．
21.(本小题8分)
我校鹿鸣“博·约”和融课程极大地满足了学生的兴趣需求，受到社会的广泛赞誉，现在“博·约”和融课程需开设数学类拓展性课程，为了解学生最喜欢的数学类拓展性课程内容，随机抽取了部分学生进行问卷调查(每人必须且只选其中一项)，并将统计结果绘制成如下统计图(不完整).根据统计图提供的信息，解答下列问题：
(1)m=________，n=________；
(2)在扇形统计图中，“C.实验探究”所对应的扇形的圆心角度数是________度；
(3)请根据以上信息补全条形统计图；
(4)我校共有6000名学生，试估计全校最喜欢“思想方法”的学生人数．
22.(本小题8分)
如图，在▵ABC中，过点C作CD/​/AB，E是AC的中点，连接DE并延长，交AB于点F，交CB的延长线于点G，连接AD，CF．

(1)求证：四边形AFCD是平行四边形；
(2)若GB=2，BC=4，BF=1，求AB的长．
23.(本小题8分)
如图1是我市某小区的“垃圾分类定时定点投放点”，智能化按键式开启投放门的投放方式，让我市人民的垃圾投放变得更智能更环保，图2是投放门开启后的侧面示意图，投放口挡板AB长50cm，挡板底部距地面高BD为120cm，挡板开启后，张角∠CAD的最大值为53∘．
(1)求投放门前端C到AD的最大距离CF；
(2)求投放门前端C到地面DE的最大距离，(参考数据：sin53∘≈0.80，cs53∘≈0.60，tan53∘≈1.33)
24.(本小题8分)
随着盐城交通的快速发展，城乡居民出行更加便捷.盐城高铁站候车厅的饮水机(图1)有温水、开水两个按钮，图2为其示意图，小明先接温水后再接开水，接满500ml的水杯，期间不计热损失，利用图中信息解决下列问题：
(1)若先接温水10秒，求再接开水的时间．
(2)设接温水的时间为x秒，接到水杯中水的温度为y．
①若y=44，求x的值；
②求y关于x的函数关系式，并写出达到最佳水温时x的取值范围．
25.(本小题8分)
如图，BE为⊙O的直径，点A为⊙O上一点，∠BAE的平分线AD交⊙O于点D，交BE于点F，C是BE延长线上一点，且FC=AC．
(1)试判断AC与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若BE=6，OF=1，求AC的长；
(3)连接CD交⊙O于点G，请探究线段DB、DC、DG的数量关系并证明．
26.(本小题8分)
鹿鸣学堂兴趣小组进行一次科学实验探究活动，图1是由七根连杆链接而成的机械装置，图2是其示意图．已知O，P两点固定，连杆PA=PC=126cm，AB=BC=CQ=QA=54cm，O、P两点间距与OQ长度相等．当OQ绕点O转动时，点A，B，C的位置随之改变，点B恰好在线段MN上来回运动．当点B运动至点M或N时，点A，C重合，点P，Q，A，B在同一直线上(如图3)，此时点P到MN的距离为144cm．
(1)直接判断OP与MN是否一定垂直：___________(填“是”或“不是”)；
(2)求O、P两点间的距离；
(3)当点P，O，A在同一直线上时，求点Q到MN的距离．
27.(本小题8分)
【知识回顾】我们知道：一个图形绕着某一点旋转180∘，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这点对称，也称这两个图形成中心对称，这个点叫对称中心．
【知识理解】求证：反比例函数y=kx(k≠0且k为常数)的两支图像关于原点成中心对称．
【知识迁移】如图1，在平面直角坐标系中，抛物线M：y=−x2+bx+c的图像与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，抛物线N：y=x2+2x−3的图像与抛物线M：y=−x2+bx+c的图像关于原点成中心对称，且抛物线N：y=x2+2x−3的图像与x轴交于点A′、B′，与y轴交于点C′，连接BC、BC′，点P为线段BO上的一个动点，过点P作直线l//y轴，交线段BC于D，交抛物线M的图像于点E，交BC′于Q．
①求抛物线M的函数表达式，并求出DE最大时点P的坐标；
②当DE最大时，点G在抛物线M对称轴右侧的图像上，线段B′G交直线l于点R，线段B′G与线段BC交于点K，若∠B′KC=∠B′KQ，则线段GR与B′R的比值为________．
【知识创新】如图2，在两个同心圆上，连接大圆上的点A和小圆上的点B的线段叫做同心圆的“环弦”.点P是小圆内一定点，用无刻度的直尺和圆规作“环弦”AB，使得点P是“环弦”AB的中点．(保留作图痕迹，不写作法)
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】本题主要考查了相反数的定义，解题的关键是根据相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，进行求解即可．
【详解】解：2024的相反数是−2024，
故选：A．
2.【答案】D
【解析】【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，根据轴对称图形的定义逐一判断即可．
【详解】解：A、图形不是轴对称图形，不符合题意；
B、图形不是轴对称图形，不符合题意；
C、图形不是轴对称图形，不符合题意；
D、图形是轴对称图形，符合题意；
故选D．
3.【答案】A
【解析】【分析】本题主要考查了小正方体堆砌而成的几何体的三视图，根据主视图是从正面看到的图形进行求解即可．
【详解】解：从正面看，看到的图形分为上下两层，共三列，从左边数，上面一层第一列和第二列各有1个小正方形，下面一层三列各有一个小正方形，即看到的图形如下：
，
故选；A．
4.【答案】B
【解析】【分析】根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项，逐项分析判断即可求解．
【详解】A．a3与a2不能合并，故该选项不正确，不符合题意；
B.a2⋅a=a3，故该选项正确，符合题意；
C.a23=a6，故该选项不正确，不符合题意；
D.a6÷a2=a4，故该选项不正确，不符合题意；
故选：B．
5.【答案】B
【解析】【分析】由三角形中位线定理即可求得AB的长度．
【详解】∵M、N分别是AC、BC中点，且MN=30m，
∴MN是▵ABC的中位线，
∴AB=2MN=2×30=60(m)；
故选：B．
6.【答案】A
【解析】【分析】本题考查了科学记数法的表示，根据科学记数法正确表示即可，熟练掌握“将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤a<10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法”是解题的关键．
【详解】解：1300000=1.3×106，
故选∶A．
7.【答案】B
【解析】【分析】由题意知，AB/​/CD，则∠GFB=∠FED=60∘，根据∠GFH=∠GFB−∠HFB，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，AB/​/CD，
∴∠GFB=∠FED=60∘，
∴∠GFH=∠GFB−∠HFB=40∘，
故选：B．
8.【答案】B
【解析】【分析】根据图像所过象限，结合一次函数性质判断k1，k2，b1，b2与0的关系即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
∵一次函数y=k1x+b1与y=k2x+b2的图像都过一三象限，
∴k1>0，k2>0，
∵直线l1过第二象限和直线l2过第四象限，
∴b1>0，b2<0，且b1>b2，
故选B．
9.【答案】x≥−1
【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，列不等式求解即可．
【详解】由题意可知x+1≥0，
∴x≥−1．
故答案为：x≥−1．
10.【答案】2
【解析】【分析】本题考查众数的定义，根据“出现次数最多的即是众数”得出答案即可，掌握众数的定义是解题的关键．
【详解】解：∵2，3，1，2中，2出现的次数最多，
∴众数为2．
故答案为：2．
11.【答案】(m+2)(m−2)
【解析】【分析】直接根据平方差公式进行因式分解即可．
m2−4=(m+2)(m−2)，
故填(m+2)(m−2)
12.【答案】29∘##29度
【解析】【分析】本题考查了圆周角定理，根据同弧所对的圆心角是圆周角的一半，进行作答即可．
【详解】解：∵CB⌢=CB⌢，
∴∠BAC=12∠BOC=12×58∘=29∘，
故答案为：29∘．
13.【答案】3(答案不唯一)
【解析】【分析】本题主要考查了反比例函数图象的性质、反比例函数中比例系数k的几何意义，对于反比例函数y=kxk≠0，根据题中图象在第一象限，据此可得k>0，根据反比例函数中比例系数k的几何意义，得出k>2，写出符合的k的值即可．熟练掌握反比例函数图象的性质、反比例函数中比例系数k的几何意义是解题的关键．
【详解】解：∵题中反比例函数y=kxk≠0的图象在第一象限，
∴k>0，
∵题中长方形面积=1×2=2，函数图象在长方形上方，
∴k>2，
∴k的值可以是3，
故答案为：3(答案不唯一)．
14.【答案】16
【解析】【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，根据题目中的图形，可以发现“H”的个数的变化特点，然后即可写出第7个庚烷分子结构式中“H”的个数．
【详解】解：由图可得：甲烷分子结构中“H”的个数是：2+2×1=4，
乙烷分子结构中“H”的个数是：2+2×2=6，
丙烷分子结构中“H”的个数是：2+2×3=8，
……
∴庚烷分子结构中“H”的个数是：2+2×7=16，
故答案为：16．
15.【答案】 32−π4
【解析】【分析】首先根据题意利用锐角三角函数关系得出旋转角的度数，进而求出S▵AB′C′,S扇形BAB′，即可得出阴影部分面积．
【详解】解：∵在矩形ABCD中，AB= 3,AD=1，
∴tan∠CAB=1 3= 33,AB=CD= 3,AD=BC=1，
∴∠CAB=30∘，
∴∠BAB′=30∘，
∴S▵AB′C′=12×1× 3= 32，
S扇形BAB′=30π×( 3)2360=π4，
S阴影=S▵AB′C′−S扇形BAB′= 32−π4．
故答案为： 32−π4．
16.【答案】9
【解析】【分析】作▵ABC′≌▵ABC，点D′在线段BC′上，且BD′=BD=2，连接AD′，连接CD′交AB于点P1，根据两点之间线段最短，结合勾股定理，求出“当点C、P、D′在同一直线上时，即点P运动到P1时PC+PD的最小值”，从P1向AB两端运动，PC+PD逐渐变大，利用勾股定理，分别求出“当点P运动到和点B重合时”和“当点P运动到和点A重合时”，PC+PD的值，根据PC+PD的数值变化范围，分析得出当PC+PD的结果为整数时，此时点P的个数即可．
【详解】解：如图，作▵ABC′≌▵ABC，点D′在线段BC′上，且BD′=BD=2，连接AD′，连接CD′交AB于点P1，
∵在Rt▵ABC中，∠ACB=90∘，AC=BC=6，▵ABC′≌▵ABC，
∴∠AC′B=∠ACB=90∘，∠D′BP=∠DBP=180∘−90∘2=45∘，
在▵D′BP和▵DBP中，
BD′=BD∠D′BP=∠DBPBP=BP,
∴▵D′BP≌▵DBPSAS，
∴PD′=PD，
∴PC+PD=PC+PD′，
当点C、P、D′在同一直线上时，即点P运动到P1时PC+PD最小= BC2+BD′2= 62+22= 40，
当点P运动到和点B重合时，PC+PD=BC+BD2=6+2=8，
当点P运动到和点A重合时，PC+PD=AD′+AC= 62+6−22+6= 52+6，
∵36<40<49，49<52<64，
∴6< 40<7，7< 52<8，
∴13< 52+6<14，
∵大于6并小于等于8的整数有“7，8”这2个，
大于6并小于14的整数有“7，8，9，10，11，12，13”这7个
∴线段P1B上有2个点P的位置，使得PC+PD的结果为整数；线段P1A上有7个点P的位置，使得PC+PD的结果为整数，
∴7+2=9，即当PC+PD的结果为整数时，此时点P的个数为9．
故答案为：9．
17.【答案】解：14−1+33−40− 9+sin30∘
=4+1−3+12
=52．

【解析】【分析】本题主要考查了负整数指数幂、零指数幂、求算术平方根、特殊角的三角函数值，先计算负整数指数幂、零指数幂、求算术平方根、特殊角的三角函数值，最后加减计算即可，掌握运算法则、正确计算是解题的关键．
18.【答案】【详解】解：3x−2x−2=0，
移项，得：3x=2x−2，
3x−2=2x，
3x−6=2x，
3x−2x=6，
解得：x=6，
经检验：x=6是原方程的解，
∴原方程的解是x=6．

【解析】【分析】本题考查了分式方程的解法，根据分式方程的解法步骤求解即可，解决本题的关键是将分式方程转化为整式方程，检验也是解分式方程时经常容易被忽略的步骤．
19.【答案】【详解】解：(x+1)(x−1)+(x−2)2，
=x2−1+x2−4x+4，
=2x2−4x+3，
∵x2−2x−1=0，
∴上式=2x2−2x−1+5，
=2×0+5，
=5．

【解析】【分析】本题考查了整式的化简求值，熟练掌握平方差公式、完全平方公式以及单项式乘以多项式的法则是解题的关键．先利用平方差公式、完全平方公式以及合并同类项的法则进行化简，再将2x2−4x+3变换为2x2−2x−1+5代入x2−2x−1=0求值，即可解题．
20.【答案】【小问1详解】
解：∵有2个白球和1个红球，
∴摸到白球的概率=22+1=23，
故答案为：23；
【小问2详解】
解：画树状图如下，
∵有9种结果，其中2次都摸到红球的结果有1种，
∴2次都摸到红球的概率=19．

【解析】【分析】本题考查了概率公式求概率、画树状图或列表求概率．
(1)直接由概率公式求解即可；
(2)画树状图，共有9种等可能的结果，其中2次都摸到红球的结果有4种，再由概率公式求解即可．
21.【答案】【小问1详解】
解：观察条形统计图与扇形统计图知：选A的有12人，占20%，
故总人数有12÷20%=60(人)，
m=15÷60×100%=25%，
n=9÷60×100%=15%，
故答案为：25%，15%；
【小问2详解】
解：360∘×15%=54∘，
故答案为：54；
【小问3详解】
解：D类别人数为60×30%=18(人)，
补全图形如下：
【小问4详解】
解：6000×660=600(人)，
答：估计全校最喜欢“思想方法”的学生人数有600人．

【解析】【分析】本题考查了扇形统计图、条形统计图及用样本估计总体的知识，解题的关键是能够读懂两种统计图并从中整理出进一步解题的有关信息．
(1)先用选A的人数除以其所占的百分比即可求得被调查的总人数，然后根据百分比=其所对应的人数÷总人数分别求出m、n的值；
(2)用360∘乘以C所占的百分比即可求解；
(3)用总人数乘以D类别所占百分比即可求出对应人数，从而补全条形统计图；
(4)用样本估计总体即可确定全校最喜欢“思想方法”的学生人数．
22.【答案】【小问1详解】
证明：∵E是AC的中点，
∴AE=CE，
∵CD//AB，
∴∠AFE=∠CDE，
在▵AEF和▵CED中，
∠AFE=∠CDE∠AEF=∠CEDAE=CE,
∴▵AEF≌▵CEDAAS，
∴AF=CD，
又∵CD//AB，即AF/​/CD，
∴四边形AFCD是平行四边形；
【小问2详解】
解：∵CD//AB，
∴∠GBF=∠GCD，∠GFB=∠GDC，
∴▵GBF∽▵GCD，
∴GBGC=BFCD，
∵GB=2，BC=4，BF=1，
∴22+4=1CD，
∴CD=1×62=3，
∵四边形AFCD是平行四边形，
∴AF=CD=3，
∴AB=AF+BF=3+1=4．

【解析】【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握知识点推理证明解题的关键．
(1)由E是AC的中点知AE=CE，由CD/​/AB知∠AFE=∠CDE，利用AAS即可证△AEF≌△CED，从而得AF=CD，结合CD/​/AB即可得证；
(2)证明▵GBF∽▵GCD，得出GBGC=BFCD，计算得出CD=3，由AF=CD、AB=AF+BF得出答案即可．
23.【答案】【小问1详解】
解：在Rt▵ACF中，∠A=53∘，AC=AB=50(cm)，
∴CF=AC⋅sin53∘≈50×0.80=40(cm)，
∴投放门前端C到AD的最大距离CF为40cm；
【小问2详解】
解：∵AF=AC⋅cs53∘≈50×0.60=30(cm)，
∴FD=AB+BD−AF=50+120−30=140(cm)，
∴投放门前端C到地面DE的最大距离为140cm．

【解析】【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，
(1)在Rt▵ACF中，利用CF=AC⋅sin53∘即可求得答案；
(2)在Rt▵ACF中，利用AF=AC⋅cs53∘，结合FD=AB+BD−AF可求得答案．
24.【答案】【小问1详解】
解：设再接开水的时间为m秒，
根据题意得，20×10+15m=500，
解得m=20，
答：再接开水的时间为20秒；
【小问2详解】
解：①根据题意可得，温水体积20xml，开水体积为500−20xml，
20x×44−30=500−20x×100−44，
解得x=20；
②根据题意可得：20x⋅y−30=500−20x⋅100−y，
整理可得：y=−145x+100，
∵饮水最佳温度是37−40(包括37与40)，
∴当37≤y≤40时，y随x的增大而减小，
∴37≤−145x+100≤40，解得1507≤x≤452．

【解析】【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一次函数性质的应用，解一元一次不等式，解题的关键在于读懂题意列出关系式．
(1)设再接开水的时间为m秒，根据“小明先接温水后再接开水，接满500ml的水杯”，结合图2中开水和温水的水流速度，列出等量关系式，即可求解；
(2)①根据等量关系，列式，即可求解；
②根据等量关系，列出y关于x的函数，根据解析式列出不等式求解，即可解题．
25.【答案】【小问1详解】
解：AC与⊙O相切，理由如下，
如图，连接AO、DO，
∵AC=FC，
∴∠FAC=∠CFA，
∵∠DFO=∠CFA，
∴∠DFO=∠FAC，
∵AO=DO，
∴∠OAF=∠ODF，
∵BE为⊙O的直径，
∴∠BAE=90∘，
∵AD平分∠BAE，
∴∠BAD=12∠BAE=45∘，
∴∠BOD=90∘，
∴∠CAO=∠CAF+∠OAF=∠DFO+∠ODF=90∘，
∴AO⊥AC，
又∵点A在⊙O上，
∴AC是⊙O的切线，
∴AC与⊙O相切；
【小问2详解】
解：∵FC=AC，BE=6，OF=1，
∴AO=BO=EO=12BE=3，设FC=AC=x，则CO=FC+OF=x+1，
∵(1)过程已证∠CAO=90∘，
∴CO2=AC2+AO2，
x+12=x2+32，
x2+2x+1=x2+9，
2x=8，
解得；x=4，
∴AC=4；
【小问3详解】
解：DB2=DC⋅DG，证明如下，
如图，连接BG，
∵BE为⊙O的直径，
∴∠BAE=90∘，
∵AD平分∠BAE，
∴∠BAD=∠EAD=12∠BAE=45∘，
∴∠BGD=∠CBD=∠BAD=∠EAD=45∘，
又∵∠BDG=∠CDB，
∴▵BDG∽▵CDB，
∴DBDC=DGDB，
∴DB2=DC⋅DG．

【解析】略
26.【答案】【小问1详解】
解：∵PA=PC=126cm，AB=BC=CQ=QA=54cm，
∴点P,Q,B都在AC的中垂线上，
∴点P,Q,B三点共线，
当PB⊥MN时，此时O,Q,B三点共线，
∴OP一定垂直于MN；
故答案为：是；
【小问2详解】
如图，延长PO交MN于点T，过点O作OH⊥PQ，则：PT⊥MN，∠OHP=PTM=90∘，
由题意，得：PT=144，OP=OQ，
∴PH=12PQ，
∵PA=126,AQ=AB=54，
∴PQ=AP−AQ=72,PM=PA+AB=180，
∴PH=12PQ=36，
∵∠OHP=PTM=90∘,∠P=∠P，
∴▵OHP∽▵MTP，
∴OPPM=PHPT=36144=14，
∴OP=14PM=45cm；
【小问3详解】
当点P，O，A在同一直线上时，如图，过点Q作QH⊥OP于点H，
∵PT=144,PA=126,OQ=OP=45，
∴OA=PA−OP=81,AT=PT−PA=18，
设AH=x，则：OH=81−x，
由勾股定理，得：QH2=OQ2−OH2=AQ2−AH2，
∴452−81−x2=542−x2，
解得：x=46，
∴AH=46，
∴HT=AH+AT=46+18=64，
∴点Q到MN的距离为64cm．

【解析】【分析】(1)根据PA=PC=126cm，AB=BC=CQ=QA=54cm，得到点P,Q,B都在AC的中垂线上，进而得到点P,Q,B三点共线，再根据PB⊥MN时，O,Q,B三点共线，即可得出结论；
(2)延长PO交MN于点T，过点O作OH⊥PQ，证明▵OHP∽▵MTP，列出比例式进行求解即可；
(3)过点Q作QH⊥OP于点H，设AH=x，则：OH=81−x，利用勾股定理求出x的值，再求出AH+AT的长，即可．
27.【答案】解：知识理解：设反比例函数y=kx(k≠0且k为常数)的图像上任意一点a,ka，
∴a,ka的关于原点对称的点为−a,−ka，
∵−a×−ka=k，
∴−a,−ka也在反比例函数y=kx(k≠0且k为常数)的图像上，
∴反比例函数y=kx(k≠0且k为常数)的图像上任意一点a,ka，都存在也在反比例函数y=kx(k≠0且k为常数)的图像上且关于原点对称的点−a,−ka，
∴反比例函数y=kx(k≠0且k为常数)的两支图像关于原点成中心对称；
知识迁移：①∵抛物线N：y=x2+2x−3的图像与x轴交于点A′、B′，
∴x2+2x−3=0，
x+3x−1=0，
x+3=0或x−1=0，
解得：x1=−3，x2=1，
∴A′1,0，B′−3,0，
∵抛物线M：y=−x2+bx+c的图像与x轴交于点A、B，抛物线N：y=x2+2x−3的图像与抛物线M：y=−x2+bx+c的图像关于原点成中心对称，
∴A−1,0，B3,0，C′0,−3，
∴抛物线M的函数表达式为y=−x+1x−3，即y=−x2+2x+3，
∴C0,3，
∴OB=OC=OC′=3，
又∵∠BOC=∠BOC′=90∘，
∴∠CBO=∠BCO=∠C′BO=∠BC′O=180∘−90∘2=45∘，
点P为线段BO上的一个动点，过点P作直线l//y轴，交线段BC于D，交抛物线M的图像于点E，交BC′于Q，
∴设点P的坐标为m,0，则点E坐标为m,−m2+2m+3，
∴直线l⊥x轴，即∠DPB=90∘，
∴∠BDP=∠DBP=∠BQP=∠QBP=45∘，
∴OP=m，DP=BP=QP=3−m，EP=−m2+2m+3，
∴DE=EP−DP=−m2+2m+3−3−m=−m2+3m，
∴DE最大时，m=−3−1×2=32，
∴DE最大时点P的坐标为32,0；
②如图，连接B′Q，在BC延长线上取点F，使得B′F=B′Q，连接QF，作FH⊥x轴于点H，作B′J⊥QF于点J，延长交BC于点K，交抛物线于点G，连接QK、B′C、B′C′、B′F；过点G作GI//y轴，过点R作RI//x轴，所作两线交于点I，
∵①过程已得B3,0，B′−3,0，C0,3，C′0,−3，∠CBO=∠BCO=∠C′BO=∠BC′O=45∘，
∴OB=OB′=OC=OC′=3，DP=BP=QP=3−m=3−32=32，
B′P=B′B−BP=3+3−32=92，
∴四边形BCB′C′是平行四边形，Q32,−32，
又∵BB′⊥CC′，
∴四边形BCB′C′是菱形，
又∵BB′=CC′=3+3=6，
∴四边形BCB′C′是正方形，
∴∠B′CB=∠B′CF=∠B′C′Q=∠CB′C′=90∘，B′C=B′C′，
∴在Rt▵B′CF和Rt▵B′C′Q中，
B′C=B′C′B′F=B′Q,
∴Rt▵B′CF≌Rt▵B′C′QHL，
∴∠CB′F=∠C′B′Q，
∴∠FB′Q=∠CB′F+∠CB′Q=∠C′B′Q+∠CB′Q=∠CB′C′=90∘，
∴∠QB′P+∠HB′F=90∘，
∵直线l//y轴，FH⊥x轴，
∴直线l⊥x轴，∠B′HF=∠QPB′=90∘，
∴∠QB′P+∠PQB′=90∘，
∴∠HB′F=∠PQB′，
∴在△HB′F和△PQB′中，
∠HB′F=∠PQB′∠B′HF=∠QPB′B′F=B′Q
∴▵HB′F≌▵PQB′AAS，
∴FH=B′P=92，B′H=QP=32，
∵B′−3,0，
∴−3+32=−32，0+92=92，
∴F−32,92，
∵B′F=B′Q，B′J⊥QF于点J，
∴点J为QF的中点，
∴直线B′G是线段QF的垂直平分线，
∴KF=KQ，
又∵Q32,−32，
∴−32+32÷2=0，−32+92÷2=32，
∴J0,32，
情况一：当点G在图中位置时，
在▵FKB′和▵QKB′中，
B′F=B′QB′K=B′KKF=KQ,
∴▵FKB′≌▵QKB′SSS，
∴∠B′KC=∠B′KQ，
设直线B′G解析式为y=kx+b，
∵B′−3,0，J0,32，
∴−3k+b=0b=32,
解得：k=12b=32,
∴直线B′G解析式为y=12x+32，
∵点G在抛物线M对称轴右侧的图像上，
∴−x2+2x+3=12x+32，
整理得：2x2−3x−3=0，
x=3± −32−4×2×−32×2=3± 334，
∵点G在抛物线M对称轴右侧的图像上，
∴点G横坐标为3+ 334，
∵线段B′G交直线l于点R，
∴点R横坐标为32，
∵GI//y轴，RI//x轴，
∴IR=3+ 334−32= 33−34，GI//PR，RI//B′P，
∴∠GRI=∠RB′P，∠RGI=∠B′RP，
∴▵RGI∽▵B′RP，
∴GRB′R=IRB′P= 33−34÷92= 33−34×29= 33−318；
情况二：当点G、点K和点B重合时，点R和点P重合，∠B′KC=∠B′KQ=∠CBO=∠C′BO=45∘，
∴GR=BP=32，B′R=B′P=92，
∴GRB′R=32÷92=13．
综上所述，线段GR与B′R的比值为 33−318或13，
故答案为： 33−318或13；
知识创新：如图，AB即为所求作图形，
．

【解析】【分析】知识理解：设反比例函数y=kx(k≠0且k为常数)的图像上任意一点a,ka，证明对称的点为−a,−ka也在反比例函数y=kx(k≠0且k为常数)的图像上，即可得证；
知识迁移：①根据抛物线N：y=x2+2x−3的图像与x轴交于点A′、B′，求出点A′、B′的坐标，根据抛物线M和抛物线N关于原点成中心对称，得出A、B的坐标，得出抛物线M解析式y=−x2+2x+3，设点P的坐标为m,0，结合图形与坐标，表示出DE=−m2+3m，求出DE最大时，m的值，得出点P的坐标即可；②连接B′Q，在BC延长线上取点F，使得B′F=B′Q，连接QF，作FH⊥x轴于点H，作B′J⊥QF于点J，延长交BC于点K，交抛物线于点G，连接QK、B′C、B′C′、B′F；过点G作GI//y轴，过点R作RI//x轴，所作两线交于点I，根据正方形的判定与性质，利用HL证明Rt▵B′CF≌Rt▵B′C′Q，推出∠FB′Q=90∘，利用AAS证明▵HB′F≌▵PQB′，结合图形与坐标，得出点F的坐标，结合点Q坐标，证明并求出QF的中点J的坐标．情况一：当点G在图中位置时，利用SSS证明▵FKB′≌▵QKB′，得出∠B′KC=∠B′KQ，根据B′−3,0，J0,32，求出直线B′G解析式，结合抛物线M解析式，求出点G横坐标，根据GI//y轴，RI//x轴，证明推出▵RGI∽▵B′RP，得出GRB′R=IRB′P，结合图形与坐标计算即可；情况二：当点G、点K和点B重合时，点R和点P重合，∠B′KC=∠B′KQ=45∘，根据图形与坐标，得出GR、B′R的长，计算求出GRB′R的值即可；
知识创新：在大圆上取两条不平行的弦，分别以弦两端为圆心，大于弦一半长度为半径画弧相交两点，连接两交点，作出两弦的垂直平分线相交于一点，即为两同心圆的圆心O，连接OP并延长，以点P为圆心，截取OP为半径画弧交OP延长线于一点，以该点为圆心，截取小圆半径为半径画圆，则该圆与小圆关于点P成中心对称，点P是对称中心，该圆与大圆交于点A，连接AP并延长交小圆于点B，点A和点B关于点P成中心对称，则点P是“环弦”AB的中点，故AB即为所求作的图形．
物理知识：开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可转化为：开水体积×开水降低的温度=温水体积×温水升高的温度．
生活经验：饮水最佳温度是37−40(包括37与40)，这一温度比较接近人体体温．