人教A版 (2019)必修 第一册3.2 函数的基本性质导学案

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册3.2 函数的基本性质导学案，文件包含322《奇偶性一》导学案教师版docx、322《奇偶性一》导学案学生版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共8页， 欢迎下载使用。

一．学习目标
1.结合具体函数, 逐步形成函数奇偶性的概念和学会函数奇偶性的判断（重点）
2.深入了解函数奇偶性的概念，探究、理解与掌握函数奇偶性的简单变换与应用（难点）
二．自主预习（基础部分和要点部分：预习内容和预习题）
学生阅读课本，预习奇偶性
三．课堂导学

如果一个图形沿某条直线对折，对折的两部分是完全重合的，那么就称这样的图形为轴对称图形．这条直线叫做这个图形的对称轴．
问题 类比轴对称的性质呢?画出并观察函数fx=x2和函数gx=2-|x|的图象,观察两个函数图象有什么共同特征？

知识点 函数的奇偶性
提醒 (1)函数的奇偶性是函数的整体性质;(2)若奇函数在原点处有意义,则必有f(0)＝0;(3)若f(-x)＝-f(x),且f(-x)＝f(x),则f(x)既是奇函数又是偶函数.
思考：
奇、偶函数的定义域分别有什么特点?
提示:由于f(x)和f(-x)须同时有意义,所以奇、偶函数的定义域关于原点对称.
1.下列函数为奇函数的是( )
A.y＝｜x｜ B.y＝3-x C.y＝1x3 D.y＝-x2＋14
解析:C A、D两项,函数均为偶函数,B项中函数为非奇非偶函数,而C项中函数为奇函数.故选C.
2.若函数y＝f(x),x∈[-2,a]是偶函数,则a的值为( )
A.-2 B.2 C.0 D.不能确定
解析:B 因为偶函数的定义域关于原点对称,所以-2＋a＝0,所以a＝2.
3.若f(x)是定义在R上的奇函数,f(3)＝2,则f(-3)＝ ,f(0)＝ .
解析:因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(-3)＝-f(3)＝-2,f(0)＝0.
答案:-2 0
四．典例分析、举一反三
题型一 判断函数的奇偶性
【例1】判断下列函数的奇偶性:
(1) fx=1x2
(2) f(x)=|x-2|-|x+2|
(3) f(x)＝xx-1;
(4) f(x)=x3+3x,x∈[-4,4)
解 :(1)函数fx=1x2的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),定义域关于原点对称.
因为f-x=1(-x)2=1x2=fx,所以函数fx=1x2是偶函数.
(2)函数f(x)=|x-2|-|x+2|的定义域为实数集R,关于原点对称.
因为f(-x)=|-x-2|-|-x+2|=|x+2|-|x-2|=-(|x-2|-|x+2|)=-f(x),所以函数f(x)=|x-2|-|x+2|是奇函数.
(3)∵函数f(x)的定义域为{x｜x≠1},不关于原点对称,
∴f(x)是非奇非偶函数.
(4)因为函数的定义域不关于原点对称,即存在-4∈[-4,4),而4∉[-4,4),所以函数f(x)=x3+3x,x∈[-4,4)既不是奇函数也不是偶函数.
练1-1. 判断下列函数的奇偶性:
(1) f(x)＝2x2+2xx+1;
(2) f(x)＝x3＋x5
解:(1) 函数f(x)的定义域是(-∞,-1)∪(-1,＋∞),不关于原点对称,∴f(x)是非奇非偶函数.
(2) 函数的定义域为R.∵f(-x)＝(-x)3＋(-x)5＝-(x3＋x5)＝-f(x),∴f(x)是奇函数.
题型二 奇、偶函数的数形结合问题
【例2】已知函数f(x)=x|x|-2x，则下列结论正确的是( )
A. f(x)是偶函数，递增区间是(0,+∞)
B. f(x)是偶函数，递减区间是(-∞,1)
C. f(x)是奇函数，递减区间是(-1,1)
D. f(x)是奇函数，递增区间是(-∞,0)
解：由函数f(x)=x|x|-2x可得，函数的定义域为R，且f(-x)=-x|-x|-2(-x )=-x|x|+2x=-f(x)，
故函数为奇函数．
函数f(x)=x|x|-2x=x2-2x , x≥0-x2-2x , x<0，
如图所示：故函数的递减区间为(-1,1)，
故选：C．
练2-1. 已知定义在区间[-7,7]上的一个偶函数，它在[0,7]上的图象如图，则下列说法正确的有( )

A. 这个函数有两个单调递增区间B. 这个函数有三个单调递减区间
C. 这个函数在其定义域内有最大值7D. 这个函数在其定义域内有最小值-7
解：根据偶函数的对称性画出函数的完整图象：
由图象可知，这个函数有三个单调增区间，三个单调减区间，
这个函数在其定义域内有最大值7，最小值不是-7；故选BC．
题型二 求值问题
【例3】如图给出了奇函数y=f(x)的局部图像，则f(-2)的值为( )
A. 32B. -32C. 12D. -12
解：由函数的图象可知f2=32，
因为y=f(x)为奇函数，
所以f-2=-f2=-32．故选B．
练3-1. 函数f(x)是定义在R上的奇函数，下列命题：
①f(0)=0；
②若f(x)在[0,+∞)上有最小值-1，则f(x)在(-∞,0]上有最大值1；
③若f(x)在[1,+∞)上为增函数，则f(x)在(-∞,-1]上为减函数；
④若x>0时，f(x)=x2-2x，则f(-1)=3.
其中正确的命题是( )
A. ①B. ②C. ③D. ④
解：因为f(x)是定义在R上的奇函数，
所以f(-x)=-f(x)，所以f(0)=0，故①对；
因为奇函数的图象关于原点对称，
若f(x)在[0,+∞)上有最小值为-1，则f(x)在(-∞,0]上有最大值为1；故②对；
根据奇函数图象的对称性以及f(x)在[1,+∞)上为增函数，则f(x)在(-∞,-1]上为增函数；故③错；
对于④，因为f(-1)=-f(1)=1，故④错误；
所以正确的命题有①②，故选AB．
五、课堂小结（学生自行总结）
六、当堂检测
1.下列图象表示的函数中具有奇偶性的是( )
解析:B 选项A中的图象关于原点或y轴均不对称,故排除;选项C、D中的图象表示的函数的定义域不关于原点对称,不具有奇偶性,故排除;选项B中的图象关于y轴对称,其表示的函数是偶函数.
2.如图,给出奇函数y＝f(x)的部分图象,则f(-2)＋f(-1)＝( )
A.-2 B.2 C.1 D.0
解析:A f(-2)＋f(-1)＝-f(2)-f(1)＝-32-12＝-2.
3.(多选)下列函数是奇函数的是( )
A.y＝x(x∈[0,1]) B.y＝3x4 C.y＝1x D.y＝x｜x2｜
解析:CD 利用奇函数的定义,首先定义域关于原点对称,排除选项A;又奇函数需满足f(-x)＝-f(x),排除选项B;选项C、D符合奇函数的定义.
4. 设函数fx= 2x+m,x≤0, gx,x>0是奇函数，则f2=( )
A. 34B. -34C. 4D. -4
解：根据题意，函数f(x)=2x+m,x⩽0g(x),x>0是奇函数，
则有f(0)=20+m=0，解可得：m=-1，
则f(-2)=2-2-1=-34，
又由f(x)为奇函数，则f(2)=-f(-2)=34．故选A．
七．课后作业
八、问题日清（学生填写，老师辅导解答）
1. 2.
学生签字 老师签字偶函数
奇函数
前提
函数f(x)的定义域为D,∀x∈D,都有 -x∈D
条件
f(-x)＝ f(x)
f(-x)＝ -f(x)
定义域
关于 原点 对称
图象
关于 y轴 对称
关于 原点 对称