湖北省襄阳第四中学2024届高三下学期5月高考适应性考试（二）数学试卷（Word版附答案）

这是一份湖北省襄阳第四中学2024届高三下学期5月高考适应性考试（二）数学试卷（Word版附答案），共9页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答等内容，欢迎下载使用。
数学
全卷满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知函数，则（ ）
A.1B.C.2D.4
2.已知函数，则（ ）
A.8B.12C.16D.24
3.春暖花开，某学校组织学生春游，每个班级可以在周一到周六任选一天出游，则甲、乙两班不在同一天出游的概率为（ ）
A.B.C.D.
4.已知，，则（ ）
A.B.C.D.
5.若是平面上两个非零的向量，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
6.四名同学各掷骰子5次，并各自记录每次骰子出现的点数，分别统计四名同学的记录结果，可以判断出一定没有出现点数6的是（ ）
A.平均数为3，中位数为2B.中位数为3，众数为2
C.中位数为3，方差为2.8D.平均数为2，方差为2.4
7.把沿三条中位线折叠成四而体ABCD，其中，，，则四面体ABCD的外接球表面积为（ ）
A.B.C.D.
8.已知椭圆的左焦点为，如图，过点作倾斜角为的直线与椭圆交于两点，为线段AB的中点，若（为坐标原点），则椭圆的离心率为（ ）
A.B.C.D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.抛物线的焦点为，为其上一动点，当运动到时，，直线与抛物线相交于两点，下列结论正确的是（ ）
A.抛物线的方程为：
B抛物线的准线方程为：
C.当直线过焦点时，以AF为直径的圆与轴相切
D.
10.已知函数，将函数的图像横坐标缩短为原来的倍，再向左平移单位，得到函数.则下列结论中正确的是（ ）
A.为偶函数
B.不等式的解集为
C.在上单调递增
D.函数在的零点为且，则
11.已知复数满足，（为虚数单位），是方程在复数范围内的两根，则下列结论正确的是（ ）
A.的最小值为B.的最小值为4
C.当时，则D.当时，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知空间中的三个点，，，则点到直线的距离为_______.
13.已知等差数列和等比数列满足，，，.数列和中的所有项分别构成集合A、B，将集合中的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列，数列的前项和为，则_______.
14.知识卡片：一般地，如果是区间上的连续函数，并且，那么.这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式.
当，时，有如下表达式：，
两边同时积分得：，
从而得到如下等式：
请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，由二项式定理
计算：_______.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且，（1）求；
（2）若外接圆的直径为，求的取值范围.
16.已知函数（其中，为自然对数的底数）.
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，，求a的取值范围.
17.如图，在几何体中，底面为以AC为斜边的等腰直角三角形.已知平面平面，平面平面，平面，，，为垂足，，为垂足.
（1）证明：平面；
（2）若，设为棱的中点，求当几何体的体积取最大值时，与所成角的正切值.
18.某商场周年庆进行大型促销活动，为吸引消费者，特别推出“玩游戏，送礼券”的活动，活动期间在商场消费达到一定金额的人可以参加游戏，游戏规则如下：在一个盒子里放着六枚硬币，其中有三枚正常的硬币，一面印着字，一面印着花；另外三枚硬币是特制的，有两枚双面都印着字，一枚双面都印着花，规定印着字的面为正面，印着花的面为反面.游戏者蒙着眼睛随机从盒子中抽取一枚硬币并连续投掷两次，由工作人员告知投掷的结果，若两次投掷向上的面都是正面，则进入最终挑战，否则游戏结束，不获得任何礼券.最终挑战的方式是进行第三次投掷，有两个方案可供选择：方案一，继续投掷之前抽取的那枚硬币，如果掷出向上的面为正面，则获得200元礼券，方案二，不使用之前抽取的硬币，从盒子里剩余的五枚硬币中再次随机抽取一枚投掷，如果掷出向上的面为正面，则获得300元礼券，不管选择方案一还是方案二，如果掷出向上的面为反面，则获得100元礼券.
（1）求第一次投掷后，向上的面为正面的概率；
（2）若已知某顾客抽取一枚硬币后连续两次投掷，向上的面均为正面，求该硬币是正常硬币的概率；
（3）在已知某顾客进入了最终挑战环节的条件下，试分别计算他选择两种抽奖方案最终获得的礼券的数学期望，并以此判断应该选择哪种抽奖方案更合适.
19.已知椭圆的左右顶点分别为，点是椭圆上任意一点，点和关于轴对称，设直线和交点为
（1）求点的轨迹的方程；
（2）若为曲线的右焦点，过的直线与交，两点，在第二象限，
（i）以为直径的圆是否经过点，若是，请说明理由；
（ii）设为直径的圆与曲线在第一象限交点为，证明点是的内心.
数学答案
一.选择题
二.填空题
12.13.55714.
三.解答题
15.解：（1），
，
，
又，，
又，.
（2）在中由正弦定理知：，
得，，
，
又，，，，
故的取值范围是.
16.解：（1）得或，
①若即时，，在上单调递增，
②若，即时，得或，
得，
此时在单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
③若即时，得或，
得，
此时在单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
综上所述：，在上单调递增；
，在单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
，在单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
（2）等价于证：，，
记，在单增且，，，，
由零点存在性定理知存在唯一使即，
且时，，，单调递减，
时，，，单调递增，
，
故的取值范围为.
17（1）证明：连接，
平面平面，平面平面，
平面，，
平面，同理：平面，
，四点共面，
又平面，平面，平面平面，
，又，四边形为矩形，
，又，，
平面.
（2），平面，
两两垂直，可建如图坐标系：
设，则中，，
，，
，
当，即时，最大，
此时，，，，
，，，，
，，
故和所成角的正切值为6.
17.解：记“抽正常硬币”，“抽双面印字硬币”，“抽双面印花硬币”，
则，，，
（1）“第一次掷正面”，“第二次掷正面”，
，
故第一次掷后，向上为正面的概率为.
（2），
故已知抽一枚硬币连掷两次为正面时，该硬币正常的概率为.
（3）由（2）已知，，
设“第三次掷正面”，
若选方案一，设获礼券为元，
此时，
分布列为：
若选方案二：设获礼券为元，此时，
此时分布列为：
，
故选择方案二收益更高.
18.解（1）设，则，则有，
相乘得.
（2）不与轴平行，可设，设，，
，
，，
，
故以为直径的圆经过点.
（3）设，，
过的圆可设：，
由题知圆存在则系数：得，
设与的交点为，
，恰为双曲线的右准线，
设到右准线的距离分别为，
，平分，
又垂直平分，，
，1
，即，平分，
又，是的内角平分线，
综上：为的内心.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
B
D
A
C
A
D
D
B
BC
BD
ABD
X
200
100
P
X
300
100
P