云南省开远市第一中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题（Word版附解析）

这是一份云南省开远市第一中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题（Word版附解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 已知集合M=xx2−2x≤3，N=yy=2−x，则M∩N=（ ）
A．−1,1 B．0,+∞ C．0,3 D．0,3
2. 已知复数z满足（为虚数单位），则（ ）
A.3 B. C.5 D.
3. 设α,β是两个不同的平面，l,m是两条直线，且m⊂α,l⊥α.则“l⊥β”是“m//β”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
4.已知向量，则在上的投影向量的坐标为（ ）
A． B． C． D．
5.安排包括甲、乙在内的4名大学生去3所不同的学校支教，每名大学生只去一个学校，每个学校至少去1名，甲、乙不能安排在同一所学校，则不同的安排方法有（ ）
A．36种 B．30种 C．24种 D．12种
6. 设，，，则（ ）
A． B． C． D．
7.已知，则的值是（ ）
A. B. C. D.
8. 过圆上的两点分别作圆的切线，若两切线的交点恰好在直线上，则的最小值为（ ）
A. B.3 C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列命题中，真命题有（ ）
A. 若随机变量，则
B. 数据6，2，3，4，5，7，8，9，1，10的分位数是8.5
C. 若随机变量，，则
D. 若事件，满足且，则与相互独立
已知抛物线y2＝2px(p>0)过点M(1，2)，其焦点为F，过点F的直线l与抛物线交于点
A(x1，y1)，B(x2，y2).设直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，则下列结论正确的是（ ）
A．p＝2 B．AB ≥ 4 C．·＝－4 D．k1k2＝－4
11. 已知函数和是定义域为的函数.若，，且，则下列结论正确的是（ ）
A. 函数的图象关于直线对称
B.
C. 函数的图像关于直线对称
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在的展开式中，常数项为 ．（用数字作答）
13. 记为数列的前项和，已知则 ．
14.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，是右支上一点，线段与的左支交于点．若△PMF2为正三角形，则的离心率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. （13分）已知△ABC的内角，，的对边分别为，，，且.
(1)求角；
(2)若是的角平分线，，△ABC的面积为，求的值.
16.（15分）长跑可提高呼吸系统和心血管系统机能，较长时间有节奏的深长呼吸，能使人体呼吸大量的氧气，吸收氧气量若超过平时的7—8倍，就可以抑制人体癌细胞的生长和繁殖．其次长跑锻炼还改善了心肌供氧状态，加快了心肌代谢，同时还使心肌肌纤维变粗，心收缩力增强，从而提高了心脏工作能力．某学校对男、女学生是否喜欢长跑进行了调查，调查男、女生人数均为200，统计得到以下列联表：
(1)试根据小概率值的独立性检验，能否认为学生对长跑的喜欢情况与性别有关联？
(2)为弄清学生不喜欢长跑的原因，从调查的不喜欢长跑的学生中按性别采用分层抽样的方法随机抽取9人，再从这9人中抽取3人进行面对面交流，记随机变量X表示抽到的3人中女生的人数，求X的分布列；
(3)将频率视为概率，用样本估计总体，从该校全体学生中随机抽取12人，记其中喜欢长跑的人数为Y，求Y的数学期望．
附：，其中．
17.（15分）如图，在四棱台中，底而为平行四边形，侧棱平面，，，.
(1)证明：；
(2)若四棱台的体积为，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.

18. （17分）已知椭圆：的短轴长等于，离心率．
（1）求椭圆的方程；
（2）过右焦点的直线与椭圆交于、两点，线段的垂直平分线交轴于点，
证明：为定值．
19．（17分）已知曲线在点处的切线为．
（1）求直线的方程；
（2）证明：除点外，曲线在直线的下方；
（3）设，求证：．开远市第一中学校2024年春季学期高二年级期中考试
数 学
2024.05
考生注意：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填涂在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。超出答题区域书写的答案无效，在试卷、草稿纸上作答无效。
喜欢
不喜欢
合计
男生
120
80
200
女生
100
100
200
合计
220
180
400
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
高二年级期中考试数学参考答案
一、单选题
1.【解析】解不等式x2−2x≤3可得M=x−1≤x≤3，
由指数函数y=2−x的值域可得N=yy>0，
所以M∩N=x02.【解析】复数，故.
3.【解析】l⊥β，且l⊥α，所以α//β，又m⊂α，所以m//β，充分性满足，
如图：满足m//β，m⊂α,l⊥α，但l⊥β不成立，故必要性不满足，
所以“l⊥β”是“m//β”的充分而不必要条件.
4.【解析】因为，
所以在上的投影向量的坐标为．
5.【解析】若每名大学生只去一个学校，每个学校至少去1名，则不同的安排方法有种，若甲、乙安排在同一所学校，则不同的安排方法有种，所以甲、乙不能安排在同一所学校，则不同的安排方法有种.
6.【解析】，，
而，则，即，所以.
7.【解析】
因为，
可得，所以.
8.【解析】因为圆的方程为，所以圆心，半径.因为是圆的两条切线，所以，由圆的知识可知四点共圆，且，所以，又，
所以当最小，即时，取得最小值，此时，
所以.
二、多选题
9.【解析】对于A：根据二项分布的方差公式可得，A正确；
对于B：数据1，2，3，4，5，6，7，8，9， 10的分位数，，则，B错误；
对于C：随机变量，，则，C错误；
对于D：因为，
所以，故与独立，D正确.
10.【解析】因为抛物线y2＝2px(p>0)过点M(1，2)，所以22＝2p，解得p＝2，故A正确；抛物线方程为y2＝4x，则焦点F为(1，0)，设直线l：x＝my＋1，联立消去x整理得y2－4my－4＝0，则Δ＝16m2＋16>0，所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4，则x1＋x2＝m(y1＋y2)＋2＝4m2＋2，x1x2＝(my1＋1)·(my2＋1)＝m2y1y2＋m(y1＋y2)＋1＝1，所以AB＝x1＋x2＋2＝4m2＋4≥4，故B正确；因为＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，所·＝x1x2＋y1y2＝－3，故C错误；k1k2＝·＝－4，故D正确．
11.【解析】由可知的图象关于直线对称，C正确；
所以，则①，
令为，则②.
的图象关于点对称，，令，故B正确；
由①②可知，所以的图象关于直线对称.故错误；
所以4是的周期，由，得，令，由①得是的周期.有2024项，故，故D错误.
三．填空题
12.【答案】448
【解析】展开式的通项为，
令，解得，故常数项为．
13.【答案】
【解析】由题意，
所以
.
14.【答案】
【解析】因为点是右支上一点，线段与的左支交于点，且，
因为△PMF2为等边三角形，所以，，
由双曲线定义得，，
又由，解得，
则，且，
在中，由余弦定理得，
化简整理得，所以双曲线的离心率为.
四、解答题
15. 【解析】（1）由及正弦定理得，，所以，因为，
所以，又，所以.……………………………………………………5分
（2）由 ，得，
又所以，
由余弦定理得
所以.…………………………………………………………………………………13分
16.【解析】（1）解：零假设为：学生对长跑的喜欢情况与性别无关联.
由列联表中的数据，可得，
依据小概率值的独立性检验，可以推断不成立，即认为学生对长跑的喜欢情况与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.050．………………………………………4分
（2）从调查的不喜欢长跑的学生中按性别采用分层抽样的方法随机抽取9人，
其中男生的人数为人，女生的人数为人，
从9人中随机抽取3人，所以随机变量的可能取值为，
可得，，
则随机变量的分布列为：…………………………………………………………………11分
（3）解：由题意知，任抽1人喜欢长跑的概率为，
所以随机变量服从二项分布，即，所以.………………15分
17.【解析】(1)底面为平行四边形，
，.
，，
由余弦定理可得：，，
则，，
侧棱平面，平面，，
又平面，平面，且，
平面，
又平面，.…………………………………………………………6分
（2）四棱台中的体积为，
，
，
，解得：.
如图，以点为原点，，，所在直线为轴，轴，轴，
建立如图的空间直角坐标系，

则，，，，
，，
设平面的法向量为，
则有，所以
平面的法向量为，
设平面与平面所成锐二面角为，
则.
…………………………………………………………………………………………15分
18.【解析】（1）椭圆：的短轴长等于，离心率可得，
，解得，所以椭圆的方程为.
……………………………………………………………………………………………5分
（2）由椭圆的方程，可得右焦点，
当直线斜率不存在时被轴垂直平分，不符合题意；
当直线斜率为0时，；
直线斜率存在且不为0时，设直线的方程为，，中点为，
联立方程组，整理得，
可得，
所以，则，
即，则中垂线的方程为，
令，可得，所以，
又由
，
所以（定值）；
综上所述，为定值.
……………………………………………………………………………………………17分
19．【解析】（1）因为，所以，
所以直线的方程为：………………………………………………………4分
（2）令，则
，令，则，由，解得，由，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，当且仅当等号成立，
所以除切点之外，曲线在直线的下方．………………………………………9分
（3）由，解得，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，，
当时，．
因为，则，不妨令．
因为曲线在点的切线方程为，
设点在切线上，有，
由（1）知时，，
则，即，
要证：，
只要证：，
只要证：，
又，
只要证：，
令，
则，
易证在上单调递增，在上单调递减，
所以，
所以在上单调递减，所以成立，
所以原命题成立．…………………………………………………………………………17分
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
D
A
C
B
B
C
D
题号
9
10
11
答案
AD
ABD
BC
0
1
2
3